周德強(qiáng)，閆紅超，王春燕，王 睿

(1.裝備工程技術(shù)研究實(shí)驗(yàn)室，河北 石家莊050081； 2.河北軌道運(yùn)輸職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河北 石家莊 050000； 3.河北省儀器儀表工程技術(shù)研究中心，河北 承德 067000)

0 引言

目前的相位估計(jì)方法主要有2種：數(shù)據(jù)輔助方法和非數(shù)據(jù)輔助方法。數(shù)據(jù)輔助方法要求信號(hào)中有導(dǎo)頻序列，雖然估計(jì)性能較好但是會(huì)降低通信系統(tǒng)的數(shù)據(jù)傳輸速率[1-3]。非數(shù)據(jù)輔助方法有：M次冪算法[4]、V&V算法[5-6]、基于期望最大化算法[7]、PL算法[8]、基于高階統(tǒng)計(jì)量算法[9]、直方圖算法[10]、基于循環(huán)累積量的算法[11]、判決引導(dǎo)算法[12]以及最大似然估計(jì)算法[13]等。判決引導(dǎo)算法通常用于相位跟蹤，M次冪算法、V&V算法、基于期望最大化算法、PL算法、基于高階統(tǒng)計(jì)量算法、直方圖算法和基于循環(huán)累積量的算法通常用于相位捕獲。文獻(xiàn)[12，14]將捕獲算法和相位跟蹤算法結(jié)合使用取得了較好的效果。M次冪算法、V&V算法、基于期望最大化算法、PL算法、直方圖算法、最大似然估計(jì)算法和判決引導(dǎo)算法要求信號(hào)已經(jīng)經(jīng)過符號(hào)同步，有一定的使用范圍限制。對(duì)于OQPSK信號(hào)，它的符號(hào)同步對(duì)載波相位很敏感，對(duì)于某些相偏，符號(hào)同步算法的性能會(huì)很差[1，15]。

針對(duì)BPSK，QPSK，OQPSK信號(hào)的相位估計(jì)問題，本文提出一種基于代價(jià)函數(shù)的相位估計(jì)算法。該算法不依賴符號(hào)同步信息，計(jì)算簡單，適合用于相位的初始估計(jì)，加速載波同步環(huán)路的收斂。尤其是對(duì)于OQPSK信號(hào)，可以先用本文提出的算法糾正相偏，再進(jìn)行符號(hào)同步，從而避免殘余相偏導(dǎo)致的符號(hào)同步性能降低的問題。

1 信號(hào)模型

BPSK，QPSK，OQPSK信號(hào)經(jīng)過接收天線、接收機(jī)的射頻前端、AD采樣和數(shù)字下變頻后，可以表示為：

xk=ak+jbkej2πf0k+θ0+

nIk+jnQk，k=1，2，3，…，N，

(1)

xk=ak+jbkejθ0+nIk+jnQk，

k=1，2，3，…，N。

(2)

2 算法原理

首先，對(duì)接收信號(hào)進(jìn)行一個(gè)相位為θ的相位旋轉(zhuǎn)得到y(tǒng)k，yk表示為：

yk?xke-jθ=ak+jbkejθ0-θ+

nIk+jnQke-jθ。

(3)

為方便表示，記γ?θ0-θ，代入式(3)可得：

yk=akcosγ-bksinγ+
nIkcosθ+nQksinθ+
jaksinγ+bkcosγ+
nQkcosθ-nIksinθ。

(4)

為方便表示，記Ak?akcosγ-bksinγ，Bk?aksinγ+bkcosγ，則yk的實(shí)部和虛部分別表示為：

Ik?Ak+nIkcosθ+nQksinθ，

(5)

Qk?Bk+nQkcosθ-nIksinθ。

(6)

Ak分別與nIk和nQk相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，Bk分別與nIk和nQk相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。

構(gòu)造代價(jià)函數(shù)為：

Jθ?EIk2-Qk22。

(7)

將式(5)和式(6)代入式(7)可得：

Jθ=EAk+nIkcosθ+nQksinθ2-
Bk+nQkcosθ-nIksinθ22。

(8)

將式(8)展開并化簡可得：

(9)

根據(jù)Ak和Bk的定義可得：

EA2k+B2k=Ea2k+b2k，

(10)

(11)

對(duì)于星座點(diǎn)位于坐標(biāo)軸上的BPSK，QPSK，OQPSK信號(hào)，有

Ea3kbk≈Eakb3k≈0。

(12)

將式(12)代入式(11)可得：

(13)

將式(10)和式(13)代入式(9)可得：

(14)

記

(15)

(16)

將式(15)和式(16)代入式(14)可得:

Jθ=Dcos4θ0-θ+C。

(17)

可見，從理論上說，代價(jià)函數(shù)Jθ是一個(gè)以π/2為周期的正弦函數(shù)。當(dāng)BPSK，QPSK，OQPSK信號(hào)的星座點(diǎn)位于坐標(biāo)軸上時(shí)，D>0。因此，

(18)

QPSK和OQPSK信號(hào)的星座點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上時(shí)的星座點(diǎn)相位與星座點(diǎn)位于坐標(biāo)軸上時(shí)相差π/4。因?yàn)榇鷥r(jià)函數(shù)Jθ的周期是π/2，所以一個(gè)周期內(nèi)代價(jià)函數(shù)最大值位置與最小值位置恰好相差π/4。所以此時(shí)相位估計(jì)值有如下2種計(jì)算方式：

(19)

(20)

文中選取式(20)來實(shí)現(xiàn)相位估計(jì)算法。

3 算法實(shí)現(xiàn)

采用搜索的方式實(shí)現(xiàn)基于代價(jià)函數(shù)的相位估計(jì)算法：在[0，π/2)上以Δθ為步長取等間隔取M+1個(gè)角度，分別計(jì)算這些角度對(duì)應(yīng)的代價(jià)函數(shù)值，最大(或者最小)的代價(jià)函數(shù)值所對(duì)應(yīng)的角度即為相位的估計(jì)值，具體步驟如下：

② 計(jì)算角度值：θi=i*Δθ；

③ 處理接收信號(hào)：yk=xke-jθi，k=1，2，…，N，xk是長度為N個(gè)采樣點(diǎn)的接收信號(hào)；

④ 計(jì)算代價(jià)函數(shù)：

其中,Re·和Im·分別表示取復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部。由于算法不關(guān)心代價(jià)函數(shù)的具體大小，為了計(jì)算方便，可以將其放大N倍，即

4 性能分析

根據(jù)文獻(xiàn)[17-18]，MPSK信號(hào)相位估計(jì)的均方誤差滿足：

(21)

式中，L為符號(hào)個(gè)數(shù)；Es為每個(gè)符號(hào)的平均能量；N0為噪聲的功率譜密度。

(22)

所以均方誤差的理論值為：

(23)

由于噪聲的影響，均方誤差肯定比理論值大，即

(24)

基于代價(jià)函數(shù)的相位估計(jì)算法同時(shí)滿足式(21)和式(24)。

5 計(jì)算復(fù)雜度分析

由第3節(jié)可知，基于代價(jià)函數(shù)的相位估計(jì)算法主要涉及乘法和加法，目前的DSP芯片都有專門的乘法器和各種專門的乘法指令，運(yùn)算速度較快，因此提出的算法適合DSP實(shí)現(xiàn)。對(duì)于固定步長的情況，計(jì)算量主要有：(M+1)N次復(fù)數(shù)乘法、(M+1)(3N+1)次實(shí)數(shù)乘法和(M+1)(2N-1)次加法。在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，使用粗細(xì)結(jié)合的搜索方法，可以大幅度降低計(jì)算量。

6 仿真實(shí)驗(yàn)

仿真參數(shù)設(shè)置如下：信號(hào)為零中頻信號(hào)，符號(hào)速率為100 kBaud，采樣率為600 ksps，信號(hào)采用平方根升余弦滾降濾波器進(jìn)行成型濾波，滾降系數(shù)為0. 35，調(diào)制方式為BPSK，QPSK，OQPSK。

6. 1 代價(jià)函數(shù)仿真

信號(hào)的調(diào)制方式是BPSK，信號(hào)長度為400個(gè)符號(hào)，帶內(nèi)Eb/N0為15 dB，信號(hào)沒有相偏，計(jì)算出的代價(jià)函數(shù)Jθ如圖1所示。從圖1中可以看出，代價(jià)函數(shù)確實(shí)是一個(gè)余弦函數(shù)，與理論推導(dǎo)一致。

圖1 代價(jià)函數(shù)示意

6. 2 搜索步長對(duì)相位估計(jì)性能的影響

信號(hào)的調(diào)制方式分別是BPSK，QPSK，OQPSK，帶內(nèi)Eb/N0分別取10 dB和20 dB，搜索步長Δθ分別取0. 000 1π，0. 00 1π，0. 01π，0. 02π，0. 03π，0. 04π，0. 05π，在不同信噪比和不同Δθ下分別進(jìn)行10 000次蒙特卡羅仿真，每次蒙特卡羅仿真中的相偏是在[0，π/2)中均勻分布的隨機(jī)數(shù)，仿真結(jié)果如圖2所示。從圖中可以看出：當(dāng)Δθ>0. 001π時(shí)，隨著Δθ的減小，均方誤差快速減??；當(dāng)Δθ≤0. 001π之后，隨著Δθ的減小，均方誤差減小的趨勢比較緩慢。

圖2 搜索步長與均方誤差的關(guān)系曲線

6. 3 數(shù)據(jù)長度對(duì)相位估計(jì)的影響

信號(hào)的調(diào)制方式分別為BPSK，QPSK，OQPSK，帶內(nèi)Eb/N0分別取10 dB和20 dB，Δθ為0. 001π，在不同信噪比和不同信號(hào)長度下分別進(jìn)行10 000次蒙特卡羅仿真，每次蒙特卡羅仿真中的相偏是在[0，π/2)中均勻分布的隨機(jī)數(shù)，仿真結(jié)果如圖3所示。從圖中可以看出：當(dāng)信號(hào)長度在10～200個(gè)符號(hào)之間時(shí)，隨著信號(hào)長度的增加，均方誤差快速減??；當(dāng)信號(hào)長度大于200個(gè)符號(hào)時(shí)，隨著信號(hào)長度的增加，均方誤差減小的趨勢比較緩慢；總的來說，信號(hào)長度越長，均方誤差越小，即相位估計(jì)的準(zhǔn)確性越高。

圖3 信號(hào)長度與均方誤差的關(guān)系曲線

6. 4 信噪比對(duì)相位估計(jì)性能的影響

信號(hào)的調(diào)制方式分別為BPSK，QPSK，OQPSK，信號(hào)長度為400個(gè)符號(hào)，Δθ為0. 001π，在不同信噪比下分別進(jìn)行10 000次蒙特卡羅仿真，每次蒙特卡羅仿真中的相偏是在[0，π/2)中均勻分布的隨機(jī)數(shù)，仿真結(jié)果如圖4所示。從圖中可以看出：Eb/N0越大，均方誤差越小，相位估計(jì)準(zhǔn)確性越高。

圖4 信噪比與均方誤差的關(guān)系曲線

7 結(jié)束語

本文提出的基于代價(jià)函數(shù)的相位估計(jì)算法適用于估計(jì)BPSK，QPSK，OQPSK信號(hào)的相位，通過仿真試驗(yàn)可以看出，當(dāng)搜索步長小于0. 001π并且信號(hào)長度大于200個(gè)符號(hào)時(shí)，算法具有較好的性能。該算法在使用時(shí)不依賴符號(hào)同步信息等先驗(yàn)信息，特別適合應(yīng)用于BPSK，QPSK，OQPSK信號(hào)的偵察解調(diào)等場景中。