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        不含3K1和K1+C4為導(dǎo)出子圖的圖色數(shù)上界?

        2019-03-26 08:43:44
        計算機與數(shù)字工程 2019年3期
        關(guān)鍵詞:鄰點上界子圖

        王 曉

        (商洛學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機應(yīng)用學(xué)院 商洛 726000)

        1 引言

        如果對于G的任一導(dǎo)出子圖H都有色數(shù)?χ(H)和團數(shù) ω(H),則稱圖 G 稱為完美圖[1]。對于給定圖H,如果圖G不含與H同構(gòu)的圖為導(dǎo)出子圖,則稱圖G是 H-free的(不含 H為導(dǎo)出子圖)。Gyárfás[2]在此基礎(chǔ)上,提出了用 f(ω)表示圖的色數(shù)上界的概念,并給出猜想:設(shè)F是一個森林,對于每一個F-free的圖G,都存在整數(shù)函數(shù)f(x,y)使得 χ(G)≤f(F,ω(G))。關(guān)于此猜想的一些特殊情形的結(jié)論可參閱文獻[3~12]。

        設(shè)G1和G2為兩個圖,它們的聯(lián)圖,記為G1+G2,表 示 滿 足 V(G1+G2)=V(G1)∪V(G2)和E(G1+G2)=E(G1)∪ E(G2)∪{xy|x ∈ V(G1),y∈ V (G2)}的圖。設(shè)3K1表示三個獨立點,在文獻[13]中Choudum等給出圖的結(jié)果。

        定理1[13]如果G 是一個不含3K1和 K1+C4為導(dǎo)出子圖的圖,則有 χ(G)≤2ω(G)。

        2 預(yù)備知識

        本文中所涉及的圖均為無向、有限、簡單圖。圖G的頂點集和邊集分別用V(G)和 E(G)來表示。設(shè) v∈V(G),A?V(G),我們用 NG(v)表示圖G中v的鄰點集,G[A]表示圖G中由頂點子集A導(dǎo)出的子圖。如果G[A]為完全圖,則稱A為G的一個團。圖G中最大團的階數(shù)稱為圖G的團數(shù),記為 ω(G)。如果存在映射 f:?V(G)→{1,2,…,k}使得對任意的 xy∈E(G)都有 f(x)≠f(y),則稱圖G是k-可著色,最小的正整數(shù)k稱為圖G的色數(shù),用 χ(G)來表示。其他文中涉及到的術(shù)語和符號可參考文獻[1]。

        設(shè) Δ(G)=max{d(v)|v∈V(G)} ,即為圖 G 最大度。顯然有 ω(G)≤χ(G)≤Δ(G)+1。1941年Brooks[1]給出著名的定理:如果圖G是連通圖并且既不是奇圈也不是完全圖,則有 χ(G)≤Δ(G)。1998 年Reed[14]猜想用 ω(G)和 Δ(G)+1的均值作為圖 G 色數(shù)的上界。

        猜想1[14]對每一個圖G ,都有χ(G)≤

        定理2[15]設(shè)圖是滿足 α(G)=2 的圖。如果的補圖的匹配數(shù)滿足,則有否則,有

        命題1設(shè)G是不含3K1和K1+C4為導(dǎo)出子圖 的 圖 且 不 同 構(gòu) 于 C5,則 有 ?χ(G)≤

        證明如果圖G是不連通的,我只需要對每個連通分支分別考慮即可,因此這里我們假設(shè)G是一個連通圖,下面根據(jù)G的頂點個數(shù)來分類證明。

        情形1|V(G)|≤4。

        此時,?χ(G)=4 當且僅當 ?G=K4;?χ(G)=3 當且僅當 ?G≠K4且 ?G 中含 K3為子圖;?χ(G)=2 當且僅當 ?G 為二部圖。所以成立。

        情形2|V(G)|=5。

        此時,?χ(G)=5 當且僅當 ?G=K5。如果 χ(G)≤2 或 χ(G)=5,則顯然有如果 ?χ(G)=4 ,即圖 G 既不是 C5也不是 K5,由Brooks定理,Δ(G)≥χ(G)=4 ,且 G 中必然含有 K3(因為G既不是二部圖也不是C5),所以成立。如果 χ(G)=3 ,由ω(G)≥2 ,Δ(G)≥2 ,不成立時當且僅當 ?ω(G)=Δ(G)=2 ,此時有G=C5。

        情形3|V(G)|≥6。

        因為圖G不含3K1為導(dǎo)出子圖,所以α(G)≤2 。如果 α(G)=1,則圖 G 是完全圖,即有如 果 α(G)=2 ,又 由(否則,圖 G 含有 K1+C4為其導(dǎo)出子圖),根據(jù)定理 2,所以即 有

        3 主要結(jié)論及證明

        定理3設(shè)G是不含3K1和K1+C4為導(dǎo)出子圖的圖,則有

        1)當 Δ(G)=|V(G)|-1 或 者 ?G=C5時 ,有

        2) 當 Δ(G)<|V(G)|-1 且 ?G≠C5時 ,有

        證明假設(shè)圖G是階數(shù)最小的不含3K1和K1+C4為導(dǎo)出子圖且滿足的圖。首先G是連通的,否則必有G的一個連通分支G'滿足不含3K1和K1+C4為導(dǎo)出子圖且滿足這與 G 的階數(shù)最小性矛盾。設(shè)v∈V(G)是 圖 G 中 一 個 最 大 度 的 點 ,即d(v)=Δ(G)。

        如果 Δ(G)=|V(G)|-1,則有 ω(G-v)=ω(G)-1。根據(jù) G 的階數(shù)最小性,有所以

        如果 ?G=C5,則有

        因此,現(xiàn)設(shè) Δ(G)<|V(G)|-1且 ?G≠C5,則存在w∈V(G){v}使得 vw?E(G)。令

        A={x∈ V(G)|vx∈ E(G),wx∈ E(G)},

        B={x∈ V(G)|vx∈ E(G),wx? E(G)},

        C={x∈ V(G)|vx? E(G),wx∈ E(G)}。

        由于圖G不含3K1為導(dǎo)出子圖,因此V(G)=A∪B∪C 且 G[B]和 G[C]都是完全圖。設(shè)A1為G[A]中最大的團,令 A2=AA1,則有

        結(jié)論1A2=或者G[A2]為完全圖且{xy∈

        假設(shè) A2≠,即存在 y1∈A2。若有 x1∈A1使得 x1y1∈E(G),由 A1為 G[A]中最大的團,故存在x2∈A1{x1}使得 x2y1?E(G)。這樣則有 G[{v,w,,矛盾。因此有 {xy∈E(G)|x∈現(xiàn) 設(shè) 存 在且 滿 足y1y2?E(G),由 于 x1y1?E(G),x1y2? E(G),即矛盾。所以 G[A2]為完全圖。即結(jié)論1成立。

        設(shè)B1={z∈B|存在 y∈A2使得 zy?E(G)},B2={z∈ B|存在 x∈ A1使得 zx? E(G)},B3=B(B1∪ B2)。則有

        結(jié)論2如果 A2≠,則有G[B1∪A1∪B3]和G[B2∪A2∪B3]都為完全圖。

        如果 A2=,因為G[A],?G[B]都是完全圖且 A和B中的點都是v的鄰點,所以有|A|≤ω(G)-1和|B|≤ ω(G)-1 。即有 Δ(G)=d(v)=|A|+|B|≤2ω(G)-2 。 由 ?G≠C5,根 據(jù) 命 題 1,有 χ(G)≤

        注 :當 ?G ∈{C5,?K1+C5,?K1+(K1+C5)} 時 ,有因 此 ,當K1+(K1+C5)}且 G 不含 3K1和 K1+C4為導(dǎo)出子圖時,但 ?G=K1+(K1+(K1+C5))時 ,有是有可能成立的。

        4 結(jié)語

        通過本文的研究,得到了不含3K1和K1+C4為導(dǎo)出子圖的圖的色數(shù)上界,改進了Choudum等的結(jié)果,豐富了著色理論的內(nèi)容。

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