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(湍流與復(fù)雜系統(tǒng)國家重點實驗室, 北京大學(xué) 工學(xué)院, 北京 100871)

0 引 言

理論空氣動力學(xué)研究的一個“卡脖子”問題在于對湍流邊界層的精確描述，具體反映在計算流體動力學(xué)(Computational Fuid Dynamics, CFD)中的湍流模型發(fā)展瓶頸上。高速發(fā)展的航空航天工程，對CFD的計算精度、計算速度以及可計算工況的廣度不斷提出更高的要求。然而，傳統(tǒng)工程湍流模型建構(gòu)在量綱分析方法的基礎(chǔ)上，所引入的經(jīng)驗參數(shù)(甚至經(jīng)驗函數(shù))數(shù)量眾多，不具有普適性，每一次的修正都會引進(jìn)新的參數(shù)，而且都是依托風(fēng)洞實驗的宏觀測量來進(jìn)行(后續(xù))校正，缺乏對于流動的物理機(jī)理分析。所以，對于工程湍流的預(yù)測依然停留在類似于中世紀(jì)對行星軌道描述的托勒密階段。因此，盡管近年來實驗和計算的數(shù)據(jù)猛增，并沒有帶來對邊界層預(yù)測質(zhì)量的大幅度提高。背后的深刻原因是缺乏一個對描述湍流邊界層的完整理論。這也使得工程湍流模型的適用范圍始終是未知的，參數(shù)隨空間和流動外界條件的變化規(guī)律也是未知的。對于實際應(yīng)用而言，這導(dǎo)致了二個后果：一是計算精度有限，例如翼型阻力預(yù)測的精度一直存在著無法修正的幾十個Counts的偏差(一個Count是10-4)，二是隨流動物理條件改變時，參數(shù)的變化規(guī)律未知，需要工程師的人為“藝術(shù)化”干預(yù)。因此，對于復(fù)雜流動，尤其是涉及多種流態(tài)的流動，CFD計算的絕對精度是不確定的，甚至難以完成計算任務(wù)。一旦面對高超聲速、臨近空間等超常物理環(huán)境、實驗無法模擬的情況時，計算預(yù)測的不確定度就構(gòu)成了真正的“卡脖子”問題[1]。

空氣動力學(xué)研究自身還存在一個狀況，就是基礎(chǔ)研究遠(yuǎn)遠(yuǎn)落后于工程模型研究的需要。關(guān)于規(guī)范壁湍流的基本理論，即近一個世紀(jì)前的Prandtl-von-Karman的對數(shù)律理論，是不完整的，它只刻畫了一小部分流域(即所謂的對數(shù)區(qū))。而非對數(shù)區(qū)的流動描述長期依賴于經(jīng)驗。對于風(fēng)洞實驗和計算機(jī)模擬過的規(guī)范壁湍流，人們對非對數(shù)區(qū)已經(jīng)形成了豐富的經(jīng)驗知識，也擁有全流域的經(jīng)驗?zāi)Ｐ?，能夠?qū)ζ骄俣绕拭孢M(jìn)行刻畫(但對于動能剖面還不能進(jìn)行有效刻畫)。工程需求使人們只關(guān)注哪些預(yù)測能力還比較差的流動(例如包含激波和分離的流動)，或者是物理因素未知的系統(tǒng)(例如，分子熱運動的漲落效應(yīng)明顯的稀薄氣體，以及化學(xué)反應(yīng)出現(xiàn)跨尺度耦合的燃燒等)。這就產(chǎn)生了一個錯覺，認(rèn)為對于基本的規(guī)范壁湍流(如槽道圓管等)已經(jīng)都清楚了。其實，對數(shù)律理論在描述域上的不完整同時意味著理論框架的不完整，以及對邊界層物理描述的不完整，這一不完整正是其無法向各類非規(guī)范壁湍流(即實際工程流動)進(jìn)行應(yīng)用的原因。為了使湍流模型的研究出現(xiàn)突破(而不總是修修補(bǔ)補(bǔ))，必須從根本上解決一些重大問題。著名的湍流世紀(jì)難題，即完成對平板邊界層的速度和動能剖面的完整預(yù)測，就具有十分重大的意義。

于是，本文圍繞著如何利用近幾十年來高精度計算和實驗所積累的流動脈動的資料，在湍流研究的基本概念上尋求本質(zhì)性的創(chuàng)新展開討論。我們認(rèn)為，過去幾十年湍流基礎(chǔ)研究進(jìn)入了一個瓶頸，是因為研究思路的局限，沒有真正認(rèn)識壁湍流的普適性原理[2]。本文所介紹的結(jié)構(gòu)系綜理論尋求建立從簡單的規(guī)范壁湍流到工程復(fù)雜湍流的一致性的研究框架，實現(xiàn)對壁湍流的基礎(chǔ)認(rèn)識上的突破，從而產(chǎn)生在物理圖像和預(yù)測精度上遠(yuǎn)優(yōu)于基于對數(shù)律理論的當(dāng)代工程湍流模型，從而帶來工程湍流預(yù)測精度和確定性的本質(zhì)性的提高。

1 工程湍流模型研究的困難和出路

快速穩(wěn)定的RANS(Reynalds Averaged Navier-Stokes)計算是解決工程湍流問題最有效的選擇，工程上廣泛應(yīng)用的CFD模型，絕大部分基于RANS方程，其核心難題仍然是湍流模型。其問題主要在于，一方面缺乏對湍流普適性原理的理解；另一方面，人們希望的能夠適用于各種流場的普適精確的湍流模型沒有出現(xiàn)，而不同湍流模型之間的區(qū)別又難以把握，使得湍流模型對于其使用者的選擇能力有很高的要求[3]。毫無疑問，創(chuàng)建適用于低速與高速、包含層流到湍流的轉(zhuǎn)捩過程、有化學(xué)反應(yīng)、有多種組分的復(fù)雜流動的精準(zhǔn)湍流模型是空氣動力學(xué)研究的核心難題。

CFD計算的一大難點是湍流邊界層，這是因為其脈動和敏感特性，具體表現(xiàn)為轉(zhuǎn)捩、激波、分離的位置的高度敏感，決定了飛行器的整體力學(xué)特性。另外，在發(fā)動機(jī)內(nèi)部，還存在燃燒中化學(xué)反應(yīng)與湍流的交互作用，多組分氣體的輸運行為預(yù)測[4]；更為復(fù)雜的問題出現(xiàn)在近空間飛行器再入大氣層過程中，飛行器表面不同位置出現(xiàn)不同流態(tài)，甚至，連續(xù)介質(zhì)力學(xué)方程的適用性都是問題[1]。近年來，快速發(fā)展的CFD技術(shù)在飛行器氣動外形設(shè)計中起到越來越大的作用。氣動優(yōu)化設(shè)計方法中，流場的CFD計算量巨大。正是由于上述湍流模型的不確定性，CFD的氣動優(yōu)化設(shè)計還沒有真正開展大規(guī)模應(yīng)用[5]。以翼型計算為例，轉(zhuǎn)捩問題就是一個突出的未解難題，它涉及到在流向由層流向湍流流態(tài)的轉(zhuǎn)變，表現(xiàn)為速度、壓力等物理量的大幅度變化，并進(jìn)一步與激波、分離等復(fù)雜流動結(jié)構(gòu)相互影響，使得精確預(yù)測翼型在各種工況下的力學(xué)性質(zhì)(升阻力等)仍然是一個很大的挑戰(zhàn)。

1.1 傳統(tǒng)工程湍流模型研究的困難

常用的湍流模型包括BL(Baldwin-Lomax)代數(shù)模型(零方程模型)、SA (Spalart-Allmaras)一方程模型,k-ω和k-ε等二方程模型, 以及其他更加復(fù)雜的雷諾應(yīng)力模型[6]。這些模型構(gòu)造的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)主要是量綱分析，即對方程中(需要封閉)的高階脈動量，從量綱分析上給出依賴平均量的函數(shù)形式，附加待定的(無量綱的)經(jīng)驗參數(shù)。雖然量綱分析是嚴(yán)格(普適)成立的，但無量綱參數(shù)的選取則與流動物理有關(guān)系，因此對于不同流動來說，經(jīng)驗的無量綱參數(shù)的數(shù)值就不再普適。換句話說，由量綱分析所給出的函數(shù)形式與邊界層流動沒有關(guān)聯(lián)，使得湍流模型的物理內(nèi)涵很膚淺[7]。過去，通過所預(yù)測的一些整體物理量(如升阻力)與實驗值的比較來確定這些參數(shù)，是充滿僥幸心理的，即希望這些參數(shù)是普適的。實踐證明，這樣所確定的參數(shù)難以給出精確的預(yù)測，為此，人們不得不一次次引進(jìn)越來越復(fù)雜的函數(shù)變化(如k-ω模型方程里所包含的多個任意函數(shù)，或Menter的轉(zhuǎn)捩模型中所包含的轉(zhuǎn)捩函數(shù))。這一切表明，關(guān)于湍流邊界層的基本認(rèn)識仍然停留在相對原始的層次上。

舉例說，隨著研究的深入，人們開始在k-ω方程中引進(jìn)了對渦黏系數(shù)沿垂直方向附加的假設(shè)和新的系數(shù)，使得系數(shù)數(shù)目巨大。波音和空客公司擁有強(qiáng)大的風(fēng)洞實驗數(shù)據(jù)庫(例如升阻力系數(shù)和壓力分布系數(shù)等)，可以對這些參數(shù)進(jìn)行校訂，但是，這樣的參數(shù)確定帶有強(qiáng)烈的經(jīng)驗性(一些參數(shù)針對特定流動的取值是不公開的，屬于商業(yè)機(jī)密)。

(1)

cω1=cb1/κ2+(1+cb1)/σ

(2)

(3)

g=r+cω2(r6-r)

(4)

由于整個模型的構(gòu)建過程依據(jù)的是直覺和量綱分析，模型參數(shù)與實際流動的物理幾乎是完全沒有聯(lián)系的，這使得很難討論模型參數(shù)如何隨著流動物理條件的改變而變化。而湍流的一個重要特性就是力學(xué)性能隨Re數(shù)、Ma數(shù)、固壁外形等物理條件的變化呈現(xiàn)非凡的相似律。缺乏與這些物理知識的聯(lián)系，湍流力學(xué)特性不可能得到精確的預(yù)測。

1.2 工程湍流模型研究的系統(tǒng)性分析

湍流模型研究的創(chuàng)新一直以來受制于人們的一個認(rèn)識，就是想擁有一個既普適、又精確的湍流模型，但這二點對于復(fù)雜湍流現(xiàn)象來說幾乎是對立的。崇尚簡單本質(zhì)規(guī)律的物理學(xué)有這樣一條公理，即一旦抓住了事物的本質(zhì)，就一定會有一個簡單而又精確的表達(dá)式出現(xiàn)。湍流研究的歷史表明，不存在這樣一個針對所有湍流系統(tǒng)的本質(zhì)模型，即湍流是復(fù)雜系統(tǒng)。

讓我們用系統(tǒng)論的思維來考察湍流模型的構(gòu)建。由于多尺度脈動的激發(fā)，湍流運動存在內(nèi)秉的復(fù)雜性，即存在從大尺度到小尺度連續(xù)激發(fā)的湍流脈動，它引出了湍流的非凡相似律。而不同湍流系統(tǒng)具有空間不同的變化形態(tài)，由此也會產(chǎn)生大小尺度之間稍許不同的相似規(guī)律，這就導(dǎo)致一旦以過于簡單的量綱約束來描述的湍流平均運動規(guī)律會表現(xiàn)出差異。那么，是否存在相對于一類具有公共特性的湍流系統(tǒng)的普適物理原理呢？我們認(rèn)為是一定的，只要該原理反映的是這一類湍流系統(tǒng)的公共特性。具體來說，針對壁湍流，固壁約束就是其公共特性，可能存在能夠表述固壁的物理約束的原理，這就是本文后面要介紹的李群拉伸不變性原理。

“一元二面”的系統(tǒng)論[9]主張，如果抓住系統(tǒng)的一元，則對立的二面都得到掌控，此一元就是對于一類湍流(如壁湍流)的普適原理。對于一個復(fù)雜系統(tǒng)，存在多個對立的二面。首先，讓我們來討論內(nèi)外二面，這對應(yīng)于湍流系統(tǒng)的兩大類復(fù)雜性，即來自流動內(nèi)在的多自由度、多尺度性質(zhì)，與來自于流動外部的多環(huán)境特征(如壓力梯度效應(yīng)、溫度漲落效應(yīng)等)，后者與湍流運動的開放性密切相關(guān)。讓我們把目標(biāo)鎖定在具有公共外在特征的流動中，即最大限度地消除外在復(fù)雜性，這就是把壁湍流選為研究對象的原因[10]。注意到，過去相當(dāng)長時間，湍流應(yīng)用基礎(chǔ)研究曾把研究對象鎖定在均勻剪切湍流，這是有很大問題的。二者的差別是前者是真實流動，而且可以從簡單的規(guī)范壁湍流(槽道，圓管，邊界層)向機(jī)翼、折角、凸起等復(fù)雜外形延伸，后者是一個理想的人為設(shè)置，不能反映湍流的本質(zhì)[2]，難以挖掘出真實壁湍流的普適規(guī)律(如后面要揭示的多層結(jié)構(gòu))。

另外一對二面是動靜二面，湍流運動是非定常的，其脈動是其動的一面，而(時間平均的)剖面則是其靜的一面。工程研究關(guān)心的是平均剖面的特性。近年來，隨著實驗和DNS技術(shù)的發(fā)展，精確的測量和數(shù)值模擬提供了大量的壁湍流的脈動場的信息。于是，人們的熱情大量傾注在對于脈動場湍流結(jié)構(gòu)的研究和刻畫中。但針對湍流結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)研究與面向平均速度剖面的工程應(yīng)用研究之間的壕溝始終存在，甚至出現(xiàn)一種日益擴(kuò)大的地步。這正是湍流研究陷于困境的一個原因。

因此，重要的突破口應(yīng)該是構(gòu)建從第一性的基礎(chǔ)性原理出發(fā)，又能直接服務(wù)于工程實踐的湍流理論。20世紀(jì)30年代，Prandtl和von-Karman所提出的對數(shù)律理論[11,13-14]，正是有這樣的影響力的理論，因此成為20世紀(jì)湍流理論研究的二大里程碑成果之一。這一理論的出發(fā)點是基于對稱性的思考。假設(shè)固壁附近沿壁面的流動在近壁區(qū)和外區(qū)之間形成一個重疊區(qū)，這里湍流剪切(即速度梯度)與壁面距離所選擇的單位無關(guān)，既可以用外區(qū)單位，也可以用內(nèi)區(qū)單位。這時，平均速度剖面滿足對數(shù)律。這個簡單的對稱性廣泛存在于許多壁湍流當(dāng)中，主宰了壁湍流的平均場運動，也成為脈動場的約束機(jī)制(自壁面產(chǎn)生的渦結(jié)構(gòu))，這是Prandtl-von-Karman長期能夠指導(dǎo)工程實踐的原因。

但對數(shù)律是一個局部近似解，在出現(xiàn)分離、激波等復(fù)雜流動時不再精確成立。因此，必須發(fā)現(xiàn)對數(shù)律背后的更加普適的原理，才能夠構(gòu)建一個可以描述復(fù)雜(現(xiàn)實)壁湍流的完整理論。這就是本文要討論的約束湍流邊界層的更廣泛的對稱性原理，從這樣的原理出發(fā)可以構(gòu)建更一般的復(fù)雜流動中精確的工程湍流模型。值得指出的是，這項基礎(chǔ)性課題必須按照基礎(chǔ)研究的方法來進(jìn)行，即必須堅持從假設(shè)，到先驗驗證，再到針對復(fù)雜流動的預(yù)測和檢驗這樣一個長期的努力，最終將能發(fā)展出一個與Blasius層流邊界層理論相平行的完整的湍流邊界層理論，即完全把握Re相似律的湍流邊界層理論。這便是那個貌似簡單、但一個世紀(jì)來未曾取得突破的湍流世紀(jì)難題[10]。

這項基礎(chǔ)研究需要同時抓住簡單與復(fù)雜二面背后的一元，為此，需要在研究方法上進(jìn)行大幅創(chuàng)新。概括地說，當(dāng)把研究對象聚焦在壁湍流時，必須提煉出能夠反映固壁對流場產(chǎn)生(對稱性)約束的相似變量。這樣的相似變量是普適的，不僅僅適用于對數(shù)區(qū)，也適用于壁湍流的全流域，還適用于更加復(fù)雜的流動。這就是下一節(jié)要討論的結(jié)構(gòu)系綜理論所發(fā)現(xiàn)的長度序函數(shù)的意義。于是，新理論既可以針對簡單的規(guī)范壁湍流來完善Prandtl-von-Karman局部對數(shù)律的近似，又能夠擴(kuò)展去刻畫更加復(fù)雜的研究對象(如壓縮拐角，可壓縮壁湍流，熱對流，翼形流動等)，構(gòu)成對真實湍流的刻畫。

最后，針對工程湍流模型，人們已經(jīng)意識到，CFD計算中的網(wǎng)格和計算格式，在空間上必須保證動量和能量平衡的某種守恒性[15-16]，而湍流模型則是針對(高階)脈動結(jié)構(gòu)所封閉產(chǎn)生的湍流耗散，它在時間維度上保證動量和能量平衡的實現(xiàn)。時間和空間也構(gòu)成互補(bǔ)的二面，因此，網(wǎng)格和計算格式與湍流模型構(gòu)成CFD完整計算的二面。上面提到的優(yōu)良守恒性的格式[15-16]，也體現(xiàn)了對稱性在CFD計算中的重要意義。與之對應(yīng)，湍流模型的研究也更需要挖掘在壁湍流的脈動結(jié)構(gòu)背后所主宰的對稱性原理。只有揭示了這樣的普適對稱性原理，才能給出適用于復(fù)雜流動系統(tǒng)的高精度的工程湍流模型，滿足工程需求[7]。

2 結(jié)構(gòu)系綜理論新探索

2.1 結(jié)構(gòu)系綜理論研究框架

在航空航天應(yīng)用中，人們希望精確預(yù)測飛機(jī)的氣動力與氣動熱特性(以實現(xiàn)增升、減阻、降噪和熱防護(hù)的設(shè)計需要)，這就需要準(zhǔn)確把握氣動特性隨飛行器表面外形以及Re數(shù)、Ma數(shù)的相似性規(guī)律。湍流模型的核心內(nèi)涵應(yīng)該就是把握這一相似性，因此湍流模型背后的理論應(yīng)該是相似性理論。而傳統(tǒng)的相似性理論-量綱分析-過于粗糙，沒有能夠反映出湍流這一非平衡系統(tǒng)的特性?；趯ΨQ破缺的新的相似性理論，也就是本文要介紹的結(jié)構(gòu)系綜理論，順利實現(xiàn)了這一突破。

2008年以來，我們在北京大學(xué)開展了結(jié)構(gòu)系綜理論的研究，力求從固壁所產(chǎn)生的基本對稱性原理出發(fā)，來挖掘壁湍流所存在的公共物理機(jī)理。經(jīng)過近十年的探索，結(jié)構(gòu)系綜理論在搭建這一應(yīng)用基礎(chǔ)研究框架上取得了系列的進(jìn)展，完成了從基本原理出發(fā)的規(guī)范壁湍流刻畫[17-18]，并將理論成功應(yīng)用于一系列復(fù)雜效應(yīng)流動的高精度刻畫中，并在面向工程湍流的精準(zhǔn)湍流模型研究當(dāng)中，取得了突破性的進(jìn)展。

2009年，首次以應(yīng)力長函數(shù)(序函數(shù))封閉了RANS方程，實現(xiàn)了對平均速度剖面以及流向湍動能剖面的精確刻畫，提出以結(jié)構(gòu)系綜理論構(gòu)建一個跨越基礎(chǔ)研究與工程模型開發(fā)的橋梁的目標(biāo)[19]；之后，系統(tǒng)的闡述了從第一原理出發(fā)刻畫壁面約束產(chǎn)生的對稱性的理論框架-序函數(shù)分析方法[19-20]。后續(xù)一系列研究逐漸表明，這一分析框架能夠成功的刻畫一系列壁湍流流動，并為工程湍流模型的開發(fā)提供了新的理論方法；2012年，基于李群分析方法給出了基函數(shù)表達(dá)式背后的拉伸不變性原理[21]，應(yīng)用這一分析方法，在之后的研究中，對卡門常數(shù)、圓管與槽道流動定量區(qū)別、邊界層流向發(fā)展等壁湍流研究的核心話題給出了深入的探索[22-23]；2013年給出了規(guī)范壁湍流中基于多層結(jié)構(gòu)的普適卡門常數(shù)(κ=0.45)新定義方法[24]，由此對壁湍流研究的一個核心話題——卡門常數(shù)的普適性提出了獨特的見解；2016年，構(gòu)建了對全流域和全Re數(shù)相似律的解析湍流邊界層理論[23]，同時給出了平板邊界層，槽道，圓管三類規(guī)范壁湍流的統(tǒng)一表述，并且用從理論上明確了圓管與槽道不同幾何外形變化對流動的影響[25]，以及首次給出了邊界層湍動能理論[18,26-27]；2017年，在經(jīng)歷與國際湍流界的充分交流和爭論以后，該研究的核心成果-基于李群拉伸不變性原理的壁湍流理論終于在 JFM雜志發(fā)表[17]；次年(2018年)，推廣到全部雷諾應(yīng)力分量(即包含對平均速度剖面和動能剖面的統(tǒng)一理論)得以完成并發(fā)表[18]。至此，結(jié)構(gòu)系綜理論的理論研究框架基本建立。

在2010年由壁湍流的幾位國際著名學(xué)者所發(fā)表的一篇綜述文章中[12]，平均速度剖面的Re相似性、粗糙表面的相似律、對數(shù)律的流域范圍和卡門常數(shù)κ的普適性被列為幾個未解決的核心話題。結(jié)構(gòu)系綜理論對這四個問題都作出了完整的解答。

已經(jīng)有研究成果表明，結(jié)構(gòu)系綜理論的研究框架是普適的，能夠延伸到各類非規(guī)范流動研究，適用于對各種復(fù)雜效應(yīng)的物理刻畫，如壁面粗糙元效應(yīng)[28]，可壓縮效應(yīng)[29]等；并能夠完成包含多種流態(tài)的熱對流系統(tǒng)(RBC, Rayleigh-Benard Convection)的平均剖面的刻畫[30]。其中值得指出的是，對于大雷諾數(shù)流動，黏性尺度變得非常小，以至于小雷諾數(shù)下近似光滑的壁面，也會出現(xiàn)粗糙元效應(yīng)[12]。另外，在高超聲速飛行器設(shè)計中，可壓縮效應(yīng)是重要的物理因素。研究證明，以規(guī)范壁湍流的多層結(jié)構(gòu)函數(shù)形式，引入?yún)?shù)的緩慢變化，可以對這些復(fù)雜流動給出準(zhǔn)確刻畫。這說明結(jié)構(gòu)系綜理論所闡述的對稱性原理是普適的。

另外，研究證明，結(jié)構(gòu)系綜理論是分析現(xiàn)有工程湍流模型的有力工具，它修正了k-ω模型，給出能夠同時精確預(yù)測平均速度剖面和流向湍動能剖面的SED-k-ω模型[7,27]，并產(chǎn)生了能夠預(yù)測多種復(fù)雜工況(翼形、轉(zhuǎn)捩等)新型代數(shù)模型(SED-SL模型)[31]。后者正在完善過程中，以實現(xiàn)能夠直接服務(wù)于工程實踐的初衷。

壁湍流的結(jié)構(gòu)系綜理論是Prandtl-von-Karman的對數(shù)律理論的延伸。那么，它是如何挖掘壁湍流中的對稱性的？層流平板邊界層滿足嚴(yán)格的拉伸不變性(即普拉修斯解)，在湍流狀態(tài)下，脈動的出現(xiàn)必然導(dǎo)致原先的對稱破缺，產(chǎn)生一種新的對稱性。結(jié)構(gòu)系綜理論首先尋找合適的相似變量，追隨物理學(xué)家朗道，把這樣的變量稱為序函數(shù)。與湍流脈動的特征尺度相對應(yīng)的長度序函數(shù)進(jìn)入我們的視野，被認(rèn)為是能夠反映系統(tǒng)對稱破缺的相似變量。結(jié)構(gòu)系綜理論認(rèn)為，一旦找到序函數(shù)，即找到最簡潔的刻畫壁湍流中對稱破缺的解析表達(dá)。這一思想在擁有湍流邊界層的數(shù)值解的今天就變得非常容易貫徹，果然，我們從大量DNS數(shù)據(jù)分析中確認(rèn)了存在滿足這一特性的長度序函數(shù)，它具備連乘的冪次解形式(SED基函數(shù))。如光滑圓管的雷諾剪切應(yīng)力長度序函數(shù)的表達(dá)時由內(nèi)區(qū)解(y+的函數(shù),上標(biāo)+代表用壁面單位歸一)和外區(qū)解(r的函數(shù),r為離邊界層邊緣的距離,或圓管槽道半徑)的乘積來表示：

l12(y+;r)=Φ(y+)Ψ(r)

(5)

(6)

(7)

(6)與(7)式中的基本函數(shù)滿足一個廣義李群拉伸不變性預(yù)設(shè)，這是從嚴(yán)格李群拉伸對稱性的冪次解(單層結(jié)構(gòu))通過對稱破缺演變而來的多層結(jié)構(gòu)，這是非平衡系統(tǒng)的特色，即所有的非平衡系統(tǒng)(例如湍流)都擁有相對于平衡態(tài)系統(tǒng)的某種對稱破缺。于是，結(jié)構(gòu)系綜理論從基本原理上給出了湍流系統(tǒng)的特征。由于包括層次躍遷的廣義李群拉伸不變性具有普適的形式(如公式(6)和(7)中的躍遷函數(shù)擁有相同的形式)，這便構(gòu)成一個在壁湍流中的普適物理原理，即對稱破缺產(chǎn)生多層結(jié)構(gòu)的原理是普適的。或者說，多層結(jié)構(gòu)的解析表達(dá)在壁湍流中是普適的。結(jié)構(gòu)系綜理論揭示的這一普適原理，是對Prandtl-von-Karman的對數(shù)律理論的極大的拓展，在未來描述復(fù)雜工程壁湍流時將會產(chǎn)生重要的影響。

這一描述也是對傳統(tǒng)對稱性分析方法的發(fā)展。應(yīng)用最廣泛的對稱性分析就是量綱分析，其背后的原理就是關(guān)于物理基本變量(如時間，空間，質(zhì)量等)的拉伸不變性。前面提到，現(xiàn)代工程湍流模型在封閉RANS方程時主要就是運用了量綱分析，所以湍流模型滿足了物理基本變量的拉伸不變性。但是，我們認(rèn)為，復(fù)雜流動的出現(xiàn)對應(yīng)的是一系列的對稱破缺，僅僅從滿足對稱性的約束出現(xiàn)，是無法對復(fù)雜流動的物理開展細(xì)致描述的。結(jié)構(gòu)系綜理論所引進(jìn)的廣義拉伸對稱性假設(shè)，跳出了傳統(tǒng)對稱性分析的框架，大膽地對各類壁湍流的對稱破缺的普適機(jī)理開展探索。在過去的幾年中，我們已經(jīng)針對幾類規(guī)范壁湍流系統(tǒng)開展了嚴(yán)格的驗證。對于規(guī)范壁湍流的平均速度剖面的刻畫，普遍達(dá)到99%的精度，對于動能也基本達(dá)到95%的精度，這是前所未有的。這樣的高精度的一個意義是其多層結(jié)構(gòu)的物理描述參數(shù)對流動條件的高度敏感，從而這些參數(shù)的變化可以描述更加復(fù)雜的流動。有跡象表明，函數(shù)形式(6)與(7)不僅僅對于規(guī)范壁湍流嚴(yán)格成立，而且普遍適用于更加復(fù)雜的流動，只需使參數(shù)隨著流動的物理條件而緩慢變化(它們于是構(gòu)成所謂的慢變量)。這一面向?qū)ΨQ破缺的對稱性分析將如愿完成對于湍流這一非平衡系統(tǒng)的描述，就像非平衡態(tài)熱力學(xué)一樣。后者是基于熱力學(xué)參數(shù)(溫度、壓強(qiáng)等)的時空演化，而復(fù)雜壁湍流的刻畫將表現(xiàn)為普適多層結(jié)構(gòu)參數(shù)在空間的變化。實踐證明，這樣的演化所給出的是對各類復(fù)雜流動的細(xì)致精確的刻畫。于是，一個能夠在普適原理指導(dǎo)下開展復(fù)雜流動的精細(xì)多層結(jié)構(gòu)刻畫的方案誕生了，這就是結(jié)構(gòu)系綜理論的意義。

上述理論建構(gòu)與主流湍流研究的DNS和LES形成了互補(bǔ)。DNS和LES所給出的是對于特定流動參數(shù)下的流場的精細(xì)刻畫，而結(jié)構(gòu)系綜理論所構(gòu)建的是不同流動參數(shù)的流場之間的相似性關(guān)聯(lián)。一個大家普遍關(guān)注的問題是，為什么數(shù)十年來DNS和LES的長足進(jìn)步，沒有能夠為工程湍流模型的建構(gòu)提供直接的支撐？這是因為，對于DNS和LES的大數(shù)據(jù)分析，一直沿用的是傳統(tǒng)的過于注重脈動結(jié)構(gòu)的分析方法，缺乏對于壁湍流整體(相似性)運動規(guī)律的探索。結(jié)構(gòu)系綜理論為解決這一問題提供了一個出路：壁湍流的公共原理來自于固壁帶來的對稱性約束，DNS和LES的大數(shù)據(jù)可以來驗證這一命題(即驗證(6)與(7))。而一旦通過檢驗，則可以遵循系統(tǒng)的方法確定多層結(jié)構(gòu)參數(shù)，從而確定湍流渦黏系數(shù)沿垂直方向的分布，于是直接封閉RANS方程，用于工程計算。于是，結(jié)構(gòu)系綜理論在DNS(LES)和RANS之間構(gòu)建了一個橋梁，背后所依據(jù)的原理是固壁所帶來的廣義拉伸對稱性(或?qū)ΨQ破缺原理)。

于是，結(jié)構(gòu)系綜理論把湍流理論的另外一對關(guān)鍵的二面統(tǒng)一起來了：普適性的原理(簡單)與具體流動的多層結(jié)構(gòu)參數(shù)(復(fù)雜)。定義序函數(shù)所依據(jù)的原理是簡單的，函數(shù)形式也不太復(fù)雜(連乘的形式)，而多樣化的具體流動體現(xiàn)在多層結(jié)構(gòu)的參數(shù)隨空間的變化上。前者是理性的結(jié)論，是簡單的，后者則是由經(jīng)驗數(shù)據(jù)所提供的。對湍流復(fù)雜系統(tǒng)的描述需要的是理性與經(jīng)驗的統(tǒng)一；實踐證明，脫離經(jīng)驗的湍流理論是沒有價值的。

2.2 結(jié)構(gòu)系綜理論的技術(shù)路線

結(jié)構(gòu)系綜理論研究的技術(shù)路線是，用序函數(shù)分析方法從實驗和計算數(shù)據(jù)中提取流動中的對稱破缺的物理信息。它包含如下幾個步驟：(1)定義合適的序函數(shù)，驗證壁面約束的廣義拉伸不變性(即普適的對稱破缺)；(2)從數(shù)據(jù)中分析提取序函數(shù)的多層結(jié)構(gòu)參數(shù)；(3)針對流動條件的變化，決定多層結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化規(guī)律，這是該流動的物理信息。具備如此精細(xì)變化信息的多層結(jié)構(gòu)描述，既可以給進(jìn)一步的基礎(chǔ)研究提出物理機(jī)理的命題，同時可以直接用于構(gòu)建工程湍流模型。

序函數(shù)的出現(xiàn)反映了流動中的對稱性的影響。驗證對稱性(或?qū)ΨQ破缺)行為與定義序函數(shù)是一件事的二個方面，前者屬于基礎(chǔ)研究關(guān)心的話題，后者則直接有工程意義。以往湍流模型的研究是尋找脈動量與平均量的關(guān)系，實踐證明，對于不同流動，不存在普適的關(guān)系。但這里我們尋找的序函數(shù)是一類新的相似變量，它反映的是邊界(固壁)的影響，所以它對于一類流動可能是普適的。實踐證明，這一概念具有很強(qiáng)的可拓展性。例如與不可壓縮邊界層相比，可壓縮邊界層中不僅存在動量輸運問題，還存在能量的輸運問題，因此，在可壓縮流動中不僅存在主宰動量輸運的應(yīng)力長函數(shù)，還存在主宰能量(內(nèi)能或者溫度)輸運的能量長函數(shù)。

在壁湍流中所發(fā)現(xiàn)的最為重要的序函數(shù)是長度序函數(shù)，如應(yīng)力長函數(shù)，它刻畫的是湍流脈動渦結(jié)構(gòu)的特征尺度。另外，可以證明，序函數(shù)的比值仍然為序函數(shù)(正如無量綱量的比值仍然是無量綱量一樣)。另外，還有一類完全受壁面控制的量(如總應(yīng)力，總熱流等)，壁面對它們擁有強(qiáng)烈的約束(如壁面為常數(shù))，這些量與壁面量之差也滿足序函數(shù)的性質(zhì)。

序函數(shù)確定以后，確定參數(shù)是定量刻畫流動細(xì)節(jié)的一步，也是提取具體流動的物理規(guī)律的關(guān)鍵一步。序函數(shù)中的參數(shù)構(gòu)成對具體流動的精細(xì)刻畫。于是，針對不同流動確定序函數(shù)參數(shù)的數(shù)值則構(gòu)成對于流動的個性化描述的重要內(nèi)容，也是對于具體流動開展定量研究的內(nèi)容。進(jìn)一步針對一系列流動來考察序函數(shù)參數(shù)的變化，并給以物理解釋，則成為揭示流動物理機(jī)制的重要內(nèi)容，為各種工況下開展精準(zhǔn)的工程計算創(chuàng)造條件。

這里，我們簡單介紹多層結(jié)構(gòu)參數(shù)的確定過程。規(guī)范壁湍流的應(yīng)力長函數(shù)中的參數(shù)已經(jīng)通過與DNS數(shù)據(jù)的比較被完全確定下來。例如光滑圓管中的應(yīng)力長的內(nèi)區(qū)函數(shù)的一般形式是：

(8)

(9)

這里，κ就是著名的卡門常數(shù)。代入上述參數(shù)值，我們得到κ≈0.45，這是我們依據(jù)最新的實驗和計算數(shù)據(jù)對著名的卡門常數(shù)的重新標(biāo)定，比過去所確定的數(shù)值(0.41)大了10%。值得指出的是，這個數(shù)值對槽道、圓管和邊界層是普適的，不像一些文獻(xiàn)中對于不同的流動需要不同的卡門常數(shù)[32]。在更加復(fù)雜的流動中，例如存在壓力梯度效應(yīng)的翼型表面流動，或者存在密度和溫度變化的高速可壓縮邊界層壁面附件的運動，這些參數(shù)會有變化，卡門常數(shù)也因此會變化。結(jié)構(gòu)系綜理論給出了確定卡門常數(shù)的系統(tǒng)性的方法[24]。

參數(shù)的確定過程，再一次采用了基本原理與經(jīng)驗事實相結(jié)合的思路。給定序函數(shù)之后，有兩種確定參數(shù)的方法，一種是對DNS數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，通過局部近似逐層地確定參數(shù)的取值；另一種是基于已有的經(jīng)驗，考慮從已有流動到新的流動中多層結(jié)構(gòu)物理的變化，人為地設(shè)置多層結(jié)構(gòu)的修正，將新的預(yù)測與實驗或計算數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，來確定新參數(shù)的有效性。前者為先驗地確定參數(shù)(必須有充分精確的DNS數(shù)據(jù))，后者為后驗地確定參數(shù)，它的意義是不需要很多的測量數(shù)據(jù)，因此可以適用于更多的復(fù)雜流動。兩種方法的交叉使用是最有效的。

由于序函數(shù)的參數(shù)具有明確的物理意義，因此，結(jié)構(gòu)系綜理論的研究引發(fā)了一系列基礎(chǔ)研究新話題。例如，在流場中尋找與應(yīng)力長函數(shù)所對應(yīng)的流動結(jié)構(gòu)，或者考察多層結(jié)構(gòu)某一層厚度變化背后的物理機(jī)制(渦運動、能量平衡機(jī)制)，等等。而物理意義明確的參數(shù)，又方便工程師在應(yīng)用時進(jìn)行調(diào)節(jié)。只要直觀上對流動物理結(jié)構(gòu)的變化有所認(rèn)識，就可以對工程模型中的參數(shù)進(jìn)行調(diào)節(jié)。這樣，基礎(chǔ)研究與工程研究就可以進(jìn)行深層次的互動，工程研究者可以針對更多更復(fù)雜的流動提出更多的序函數(shù)，而基礎(chǔ)研究者則可以針對新的序函數(shù)考察其背后的對稱性，及其參數(shù)變化的物理機(jī)制?？傊?，對物理機(jī)理的理解與對復(fù)雜流動的預(yù)測能力能夠同步提高。

2.3 對傳統(tǒng)湍流模型的改進(jìn)

工程上應(yīng)用廣泛的湍流模型，實際上已經(jīng)隱藏了多層結(jié)構(gòu)的假設(shè)(因為這是壁湍流中客觀存在的物理結(jié)構(gòu))。借助結(jié)構(gòu)系綜理論的序函數(shù)分析方法，可以細(xì)致地考察湍流模型中的多層結(jié)構(gòu)設(shè)置。這一分析從局部平衡關(guān)系出發(fā)，推導(dǎo)傳統(tǒng)湍流模型參數(shù)與SED多層結(jié)構(gòu)參數(shù)的關(guān)系，從而根據(jù)多層結(jié)構(gòu)與物理條件之間的關(guān)系，給出對傳統(tǒng)湍流模型的修正。例如，對于k-ω模型的分析和修正亦已完成，下面對之進(jìn)行一個簡單介紹。

針對Wilcox2006年版的k-ω模型[4]開展分析，我們發(fā)現(xiàn)需要開展三個修正：第一，修正卡門常數(shù)為0.45；第二，需要引進(jìn)非線性渦黏系數(shù)，來修正圓管中心區(qū)的對流效應(yīng)；最后，需要引進(jìn)一個新的介觀區(qū)，其中出現(xiàn)湍流耗散的奇異標(biāo)度，它會帶來湍動能的第二個峰值。通過三個修正，首次給出了能夠同時高精度地預(yù)測平均速度(圖1)和湍動能剖面(圖2)的新型的SED-k-ω模型[7,27]。

有意義的是，這里介紹的多層結(jié)構(gòu)分析方法可以同時給出湍動能方程的解析表達(dá)，從而建立模型經(jīng)驗參數(shù)與多層結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的定量關(guān)系，給出具備明確物理意義的湍流模型參數(shù)化方案。而且，可以通過逐層考察多層結(jié)構(gòu)信息在模型中的表達(dá)，輸入準(zhǔn)確的多層結(jié)構(gòu)信息，完成對現(xiàn)有湍流模型的優(yōu)化。

圖1 SED-k-ω平均速度剖面預(yù)測結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)的比較，紅色的點是普林斯頓超級圓管實驗數(shù)據(jù)，黑色的線是模型計算結(jié)果[7]Fig.1 Comparison of the mean velocity profiles predicted by SED-k-ω model with experimental measurements. The red open symbols are from Princeton supper pipe experiment. The black lines are from the SED-k-ω model [7]

圖2 SED-k-ω動能剖面預(yù)測結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)的比較，紅色的點是普林斯頓超級圓管實驗數(shù)據(jù)，黑色的線是模型計算結(jié)果[27]Fig.2 Comparison of the kinetic energy profiles predicted by SED-k-ω model with experimental measurements. The black open symbols are from Princeton supper pipe experiment. The red lines are from the SED-k-ω model[27]

2.4 基于結(jié)構(gòu)系綜理論的湍流新模型: SED-SL

由于結(jié)構(gòu)系綜理論可以從應(yīng)力長函數(shù)給出渦黏系數(shù)的完整表達(dá)，于是就可以直接給出一個RANS方程的代數(shù)模型，這就是新發(fā)展的SED-SL模型(SL是應(yīng)力長stress length的開頭英文字母)。我們在下一節(jié)著重介紹SED-SL模型應(yīng)用于刻畫實際流動的一系列結(jié)果。而這一模型的誕生，首先解決了一個重大問題，即對于從層流到湍流的轉(zhuǎn)捩(見第3.1節(jié))，其次，在一系列航空航天應(yīng)用相關(guān)的流動(翼型、機(jī)翼等)獲得精度遠(yuǎn)超出傳統(tǒng)湍流模型的結(jié)果。

結(jié)構(gòu)系綜理論對湍流邊界層給出了清晰的多層結(jié)構(gòu)的物理圖像，因此不斷將基于結(jié)構(gòu)系綜理論的湍流模型應(yīng)用于更加復(fù)雜的流動，有望為工程實踐提供計算快捷準(zhǔn)確(建立在準(zhǔn)確的應(yīng)力長函數(shù)基礎(chǔ)上)，同時又可以不斷應(yīng)用于新的流動的計算工具。這是一個與DNS和LES相互補(bǔ)充、共同推進(jìn)的過程：即通過相關(guān)的DNS或LES的研究，總結(jié)出具體復(fù)雜流動的物理機(jī)制和多層結(jié)構(gòu)的參數(shù)變化規(guī)律，從而產(chǎn)生精確的符合Re相似性的工程湍流模型。

3 非平衡流動的結(jié)構(gòu)系綜理論

工程實踐中面對的許多復(fù)雜流動是非平衡流動。但是，對于工程設(shè)計而言，重要的物理量依然是這些流動的統(tǒng)計定常性質(zhì)，因為所有的工業(yè)產(chǎn)品都必須長期穩(wěn)定地運行。因此，結(jié)構(gòu)系綜理論本質(zhì)上是可以討論這些流動特性的。例如從層流到湍流的轉(zhuǎn)捩，以及分離流動。這些流動中出現(xiàn)了新的對稱破缺，但是壁面約束依然存在，我們只是需要確認(rèn)，對應(yīng)于非平衡流動的對稱破缺是否可以由多層結(jié)構(gòu)參數(shù)的緩慢變化來刻畫？這就是結(jié)構(gòu)系綜理論應(yīng)用于刻畫非平衡流動的總的思路，實踐證明，對于相當(dāng)大一類的非平衡流動，這個思路不但是可行的，而且導(dǎo)致了新型、精確的工程湍流模型的產(chǎn)生。

下面，我們針對一些具體的研究問題，介紹如何運用結(jié)構(gòu)系綜理論的思想和方法，取得對非平衡湍流系統(tǒng)的更加精確的刻畫。

3.1 對轉(zhuǎn)捩模型的創(chuàng)新

對轉(zhuǎn)捩過程的建模始終是空氣動力學(xué)研究中的一個重點，依據(jù)第二屆國際阻力預(yù)測會議 (drag prediction workshop, DPW)上Rumsey等人的報道，影響CFD計算結(jié)果的前三要素是湍流模型、轉(zhuǎn)捩模型以及網(wǎng)格，其中湍流模型占據(jù)約15%，轉(zhuǎn)捩模型占據(jù)約11%[33]。Durbin(2018)[34]指出：將轉(zhuǎn)捩過程嵌入到RANS模型中對于工程師來說是一個非常大的挑戰(zhàn)。

當(dāng)前最受重視的是基于局部變量的轉(zhuǎn)捩模式，一種形式是引入一個關(guān)于間歇因子γ的輸運方程，其基本假設(shè)來自于Warren和Hassan[35]，引進(jìn)表達(dá)流場某一位置上保持為湍流狀態(tài)的時間比例：

μeff=(1-γ)μnt+γμt

(10)

其中μeff為有效黏性系數(shù)，反應(yīng)出從層流到湍流轉(zhuǎn)捩過程中流動黏性系數(shù)的變化。其值在轉(zhuǎn)捩結(jié)束后應(yīng)與湍流黏性系數(shù)相等，而在轉(zhuǎn)捩之前的區(qū)域，γ反應(yīng)出層流邊界層中不穩(wěn)定擾動波的影響。比較有代表性的轉(zhuǎn)捩模型為Menter[36]提出的γ-ReθT轉(zhuǎn)捩模型，符松等[37]在此基礎(chǔ)上提出了形式較為簡單的k-ω-γ三方程轉(zhuǎn)捩模型(其中k是湍動能，ω是單位耗散率，γ是間歇因子)，對原有轉(zhuǎn)捩模型進(jìn)行了優(yōu)化，提出了統(tǒng)一的脈動動能輸運方程，而間歇因子γ的輸運方程為：

(11)

這里，方程右邊最后二項分別為產(chǎn)生和耗散，它們的設(shè)置是借助了Dhawan和Narasimha從實驗數(shù)據(jù)擬合所得到的經(jīng)驗公式。間歇因子的輸運方程與動能和耗散率輸運方程組成完整的方程組進(jìn)行求解。這一模型可以對一類由第一和第二不穩(wěn)定模態(tài)所激發(fā)的自然轉(zhuǎn)捩過程預(yù)測轉(zhuǎn)捩起始的位置，但依然由一個經(jīng)驗函數(shù)Fonset決定。這一模型的特點是能夠應(yīng)用于較寬的馬赫數(shù)范圍，從亞聲速至超聲速以及高超聲速，對于流動轉(zhuǎn)捩的捕捉效果都比較好。對于更一般的非自然轉(zhuǎn)捩，則沒有自洽的轉(zhuǎn)捩預(yù)測模型。

當(dāng)前，人們偏向于基于局部變量的模型，主要是考慮到對于復(fù)雜非平衡流動的適應(yīng)性。但是，我們發(fā)現(xiàn)，基于局部變量的經(jīng)驗規(guī)律形式會比較復(fù)雜，這是因為它附加了從固壁前緣到轉(zhuǎn)捩點之間的演化過程，而這一過程高度非線性，以及與物理工況相關(guān)(非普適)。由此產(chǎn)生的模型的復(fù)雜性很大，精度還不能令人滿意，同時又不能對不同轉(zhuǎn)捩機(jī)制(如來流湍流度，壓力梯度，局部分離轉(zhuǎn)捩，以及壁面擾動等)進(jìn)行統(tǒng)一的刻畫。所以，對于工程師來說，對流場開展轉(zhuǎn)捩計算仍然是十分困難的事，更為困難的是高超聲速飛行器邊界層轉(zhuǎn)捩問題，由于飛行狀況的改變，涉及更多的復(fù)雜因素，Anderson[38]很早就指出，高超聲速轉(zhuǎn)捩的“雷諾數(shù)”ReT，與邊界層外沿的馬赫數(shù)、 為自由來流的單位雷諾數(shù)、飛行器頭部曲率半徑、壁面溫度、來流總溫、迎角、壁面質(zhì)量流量(由于吹吸或燒蝕)、物面粗糙度、環(huán)境因素、表物面外形特征(比如圓錐的半錐角)、壓力梯度、橫流速度梯度、化學(xué)反應(yīng)特征時間和程度等十三個因素有關(guān)。近年來，隨著高超聲速飛行器研究的開展，人們發(fā)現(xiàn)，對于不同的工況，上述因素所起的作用沒有明顯的規(guī)律，風(fēng)洞實驗、飛行試驗、穩(wěn)定性分析和數(shù)值模擬等研究方法，都僅能從一個或少數(shù)幾個方面開展研究[39],并且研究發(fā)現(xiàn)，很多因素的影響上存在相互矛盾的地方[40]，我們認(rèn)為，適用于低雷諾數(shù)和高超聲速轉(zhuǎn)捩的湍流模型研究，需要在基礎(chǔ)理論認(rèn)識上產(chǎn)生實質(zhì)性的突破。結(jié)構(gòu)系綜理論在抓住壁湍流基本原理的基礎(chǔ)上，能夠以慢變量參數(shù)的緩慢變化，研究多種復(fù)雜效應(yīng)下壁湍流流動，在轉(zhuǎn)捩模型研究中取得了突破性的進(jìn)展。

下面，我們介紹結(jié)構(gòu)系綜理論對于轉(zhuǎn)捩的刻畫。從系統(tǒng)的角度看，轉(zhuǎn)捩模型需要刻畫的是一個系列的不穩(wěn)定事件的綜合結(jié)果，如果在系綜層面上會發(fā)現(xiàn)其簡單性。具體來說，在轉(zhuǎn)捩發(fā)生前后的任何一個位置上，流場在垂直壁面的方向上都受到壁面的對稱性約束。在層流區(qū)是Blasius對稱性，在充分發(fā)展的湍流區(qū)則是SED理論所發(fā)現(xiàn)的多層結(jié)構(gòu)對稱性。從平板前緣開始，序函數(shù)在流向方向的變化應(yīng)該是這二種對稱性之間的轉(zhuǎn)換。由于多層結(jié)構(gòu)的對稱性比較弱，可以設(shè)想一個從后往前的變化策略，即從多層結(jié)構(gòu)變化到Blasius單層結(jié)構(gòu)的模型。我們發(fā)現(xiàn)，如果令多層結(jié)構(gòu)中的二個參數(shù)在流向也按照層流-湍流二層結(jié)構(gòu)的方式進(jìn)行如下變化：

(12)

(13)

(14)

其中臨界湍流度Tuc=0.65由圖3中的數(shù)據(jù)擬合經(jīng)驗得來，它具有重要的物理意義，表征自然轉(zhuǎn)捩與旁路轉(zhuǎn)捩的分界線；在湍流度遠(yuǎn)小于0.65%時，Rex1≈3.3×106基本不變；在湍流度大于0.65%時，轉(zhuǎn)捩位置與湍流度成簡單的-1.5的標(biāo)度關(guān)系。公式(12)和(13)中的參數(shù)相當(dāng)普適，于是，就構(gòu)成了(含轉(zhuǎn)捩的)SED-SL代數(shù)模型。

下面，我們簡單匯總SED-SL代數(shù)模型對一系列流動進(jìn)行的計算結(jié)果，包括自然和強(qiáng)迫轉(zhuǎn)捩流動(圖3)、充分發(fā)展的極高雷諾數(shù)邊界層(圖4)和可壓縮邊界層(圖5)等。SED-SL模型在這些算例中均取得了極好的計算效果。

首先對于不可壓縮平板轉(zhuǎn)捩流動，精確地刻畫了整個轉(zhuǎn)捩過程，如圖3所示。一共對比了七組工況，其中四組實驗數(shù)據(jù)，分別為S&K平板邊界層轉(zhuǎn)捩實驗[34]以及T3系列平板實驗[41-42]，兩者都是測試轉(zhuǎn)捩模型的基準(zhǔn)實驗。S&K實驗的湍流度非常低，為0.18%，所以對應(yīng)為自然轉(zhuǎn)捩；平板邊界層轉(zhuǎn)捩T3系列實驗則給出了零壓力梯度平板流動受不同來流湍流度影響下的轉(zhuǎn)捩剖面，分別為T3A-,T3A及T3B，自由來流湍流度分別為0.87%、3.5%和6.5%。不同來流積分尺度下對比的數(shù)據(jù)為Brandt等[41]所給出的DNS計算結(jié)果。

充分發(fā)展的極高雷諾數(shù)邊界層速度剖面的對比如圖4所示，對比的數(shù)據(jù)為普林斯頓超級圓管的邊界層實驗數(shù)據(jù)[43]。在不同雷諾數(shù)下，模型計算的結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)的每一個點的偏差都在2%以內(nèi)，與實驗測量的誤差幾乎等同。

圖4 SED-SL模型(紅線)對充分發(fā)展的湍流邊界層平均速度剖面的預(yù)測與實驗數(shù)據(jù)(黑色點)的比較。結(jié)果顯示，模型對實驗數(shù)據(jù)在雷諾數(shù)全范圍內(nèi)實現(xiàn)了精確刻畫[43]Fig.4 Comparison of the mean velocity profiles for fully developed turbulent boundary layers at available Reynolds number between SED-SL’s prediction (red lines) and experimental and numerical measurements (black filled symbols). Highly accurate descriptions cover the entire available range of the Reynolds number[43]

對于超聲速和高超聲速邊界層流動，SED-SL模型同樣能夠?qū)D(zhuǎn)捩以及充分發(fā)展區(qū)的流動行為進(jìn)行精確刻畫，如圖5所示。對比的數(shù)據(jù)為DNS(Ma=2.25)可壓縮平板流動的計算結(jié)果[29]。此DNS算例所加的擾動的方式為壁面吹吸擾動，對應(yīng)地模型參數(shù)gamma1設(shè)置為20，轉(zhuǎn)捩位置的設(shè)置與DNS所加吹吸擾動的位置一致。結(jié)果表明，SED-SL模型實現(xiàn)了對平均場剖面(速度，溫度)的精確刻畫。其中Retau=230處的剖面為轉(zhuǎn)捩區(qū)的平均場剖面。計算的速度剖面及溫度剖面與DNS數(shù)據(jù)的偏差都在5%以內(nèi)。

SED-SL轉(zhuǎn)捩模型似乎像先前曾出現(xiàn)的低雷諾數(shù)湍流模式，它最大的特點是方便與成熟的CFD湍流模型進(jìn)行對接。有觀點認(rèn)為這只是一種數(shù)值上的巧合[31]。我們的研究表明，采用對轉(zhuǎn)捩位置的新的表述，有希望建立更為簡單精確的湍流轉(zhuǎn)捩模型，在包括發(fā)動機(jī)在內(nèi)的更為復(fù)雜的流場的研究中發(fā)揮作用。

3.2 翼型流動的預(yù)測

(a)

(b)

進(jìn)一步，對于大迎角分離情況下的翼型流動，通過對應(yīng)力長的多層結(jié)構(gòu)形式進(jìn)行少許的優(yōu)化，增加能夠反映逆壓梯度效應(yīng)的主流分離層以后，SED-SL模型同樣獲得對于大迎角分離流動的精確刻畫。圖8與圖9展示了以NACA4412大迎角分離流動[46]和NACA0012臨界迎角下周期性渦脫落流動[45]的計算結(jié)果。圖8展示NACA4412尾部分離泡附近，六個位置處的速度剖面對比；圖9則展示NACA0012在臨界迎角發(fā)生周期性渦脫落時，某一時刻的平均場行為與相關(guān)DNS數(shù)據(jù)[47]的對比。

初步應(yīng)用于三維機(jī)翼流動，SED-SL模型也取得了不錯的結(jié)果，如圖10所示。對比的數(shù)據(jù)為M6三維機(jī)翼實驗數(shù)據(jù)，出自AGARD Report[48]，圖10給出了某一位置處表面壓力系數(shù)的對比結(jié)果。值得指出的是，該結(jié)果還可以繼續(xù)優(yōu)化，因為客觀上存在橫流，而橫流對于多層結(jié)構(gòu)所產(chǎn)生的影響是可以考慮的，最終能夠?qū)崿F(xiàn)對每一個剖面的激波位置的精確預(yù)測，而這一點目前任何湍流模型都做不到。

圖6 RAE2822翼型不同迎角下的升阻力系數(shù)計算結(jié)果對比，黑點線是實驗數(shù)據(jù)，紅色是SED-SL計算結(jié)果，藍(lán)色是SA模型計算結(jié)果，綠色是BL模型計算結(jié)果Fig.6 Comparison of lift coefficients (CL) and drag coefficients (CD) for RA2822 airfoil flow under different attack angles. Black filled symbols are experimental measurements[44]; red open symbols are from SED-SL model, green from BL model, and blue from SA model

圖7 NACA0012翼型不同迎角下的升阻力系數(shù)計算結(jié)果對比。圖例同圖6Fig.7 Comparison of lift coefficients (CL) and drag coefficients (CD) for NACA0012 airfoil flow under different attack angles. Legend is as same as Fig.6

(a) 實驗測量(沿黑線)的分離區(qū)流場

(b) 分離區(qū)不同位置((a)中黑線所標(biāo)示)的平均速度剖面

(a) SED-SL模型計算的非定常分離的某一瞬間的流場

(b) 某一瞬態(tài)的DNS計算結(jié)果

(a)

(b)

SED-SL模型的成功具有示范性的意義。它表明，平衡流動中典型的沿垂向的多層結(jié)構(gòu)可以通過引進(jìn)多層結(jié)構(gòu)參數(shù)沿流向(甚至展向)的變化來刻畫非平衡的復(fù)雜流動。我們相信，這一思想可以推廣至包含激波和分離等具有二維和三維效應(yīng)的流動，因為只要固壁存在，系統(tǒng)的對稱性依然是存在的，而更加復(fù)雜的流動行為可以通過引進(jìn)參數(shù)的空間變化來實現(xiàn)。更加值得指出的是，一旦通過與實驗數(shù)據(jù)的比較得到精確的力學(xué)效應(yīng)(如升阻力系數(shù))的預(yù)測的同時，我們同時獲得了多層結(jié)構(gòu)參數(shù)沿空間的變化規(guī)律，后者正是對湍流邊界層的物理刻畫。

SED-SL是一個簡潔的代數(shù)模型，代數(shù)模型的關(guān)鍵點是以合適的函數(shù)(常見的是各類應(yīng)力長函數(shù))來刻畫湍流黏性系數(shù)，從而封閉求解RANS方程，而確定這一函數(shù)的形式需要先驗的對流動的特性有豐富的認(rèn)識，而傳統(tǒng)代數(shù)模型參數(shù)固定且無具體物理意義(混合長與流動結(jié)構(gòu)的聯(lián)系不明確)，這也是其適用范圍狹窄，精度有限的原因。而SED-SL模型通過考察各種流動中多層結(jié)構(gòu)的具體表達(dá)，發(fā)展個性化的精確的參數(shù)化方案，并由此可以給出流動的分類標(biāo)準(zhǔn)，從而對各類流動開展定量預(yù)測。這一模型發(fā)展的前景是樂觀的。

3.3 超聲速流動(氣動力+氣動熱)的預(yù)測

高超聲速飛行涉及到高馬赫數(shù)低雷諾數(shù)帶來的黏性干擾效應(yīng)，同時還存在由于分子距離增大而帶來的真實氣體效應(yīng)和稀薄氣體效應(yīng)。在這些應(yīng)用問題中，突出的是對高速飛行所帶來的氣動加熱問題的預(yù)測。真實的情況還涉及到由此帶來的振動激勵、離解、電離、化學(xué)反應(yīng)等一系列效應(yīng)，要完成對這一系列效應(yīng)的精確預(yù)測，沿著傳統(tǒng)的修修補(bǔ)補(bǔ)的思路前進(jìn)是難以實現(xiàn)大突破的，需要從理論層次上探索這些現(xiàn)象背后的普適物理原理[1]。這里我們聚焦在關(guān)于熱流的預(yù)測問題。

結(jié)構(gòu)系綜理論認(rèn)為，在可壓縮邊界層運動中，不僅存在決定動量輸運的應(yīng)力長函數(shù)，而且擁有針對能量(內(nèi)能)輸運的溫度長函數(shù)，它們的定義如下：

(15)

(16)

由于兩個過程都受到壁面的約束，因此它們都滿足廣義李群拉伸對稱性。實踐證明，這些函數(shù)是分析可壓縮邊界層DNS數(shù)據(jù)的有力工具。例如，吳斌等[29]發(fā)現(xiàn)，在引入溫度加權(quán)因子之后，

(17)

動量方程的總應(yīng)力和能量方程的總熱流在邊界層外區(qū)具有相同虧損形式的拉伸不變解，也同樣存在與規(guī)范壁湍流類似的多層結(jié)構(gòu)。這一發(fā)現(xiàn)給出了一個雷諾比擬理論[29，49]，完成了對平均速度和溫度剖面的精確刻畫(詳見參考文獻(xiàn)[28])。

引入廣義雷諾比擬[49]，SED-SL模型可以開展對于熱流的預(yù)測，構(gòu)成對可壓縮平板流動的完整預(yù)測框架[45]。如圖11～圖13所示，涵蓋的流況包括存在熱流的可壓縮平板流動DNS算例(圖11)和實驗流動(圖12)，以及高超聲速尖錐流動實驗算例(圖13)。

對于存在壁面熱流的可壓縮平板流動，以Ma=4.5的冷壁算例為例，圖11給出了模型計算的不同流向位置處的平均速度剖面以及平均溫度剖面與DNS數(shù)據(jù)[29]的對比，可以看到SED-SL模型預(yù)測與DNS數(shù)據(jù)的偏差在5%以內(nèi)[31]，預(yù)測精度遠(yuǎn)高于BL以及SA模型。

(a) 平均速度剖面

(b) 平均溫度剖面

對于存在壁面熱流的可壓縮平板流動，對比參照的實驗算例為Mee提供的超聲速風(fēng)洞實驗結(jié)果[50]，包含馬赫數(shù)5.5～6.3，雷諾數(shù)1.6×106～4.9×106冷壁下四個自然轉(zhuǎn)捩的算例，來流湍流度為0.4%，壁面溫度為常溫300 K，其他參數(shù)如表1所示。計算結(jié)果如圖12所示，可以看到SED-SL模型對于不同來流雷諾數(shù)下的熱流轉(zhuǎn)捩過程都進(jìn)行了細(xì)致精確的刻畫。

表1 超聲速平板實驗算例的參數(shù)設(shè)置Table 1 Parameter setting for case of supersonic plate experiment

對于超聲速尖錐流動，計算對比的實驗數(shù)據(jù)為NASA蘭利研究中心在馬赫數(shù)6超聲速風(fēng)洞所測量的數(shù)據(jù)[50]，包含八組不同流況下的尖錐流動數(shù)據(jù)。尖錐模型長635 mm，半頂角為5°，前緣鼻尖的鈍化半徑為0.002 54 mm。實驗雷諾數(shù)的變化范圍為(0.3～2.03)×107，壁面溫度為來流總溫的0.59倍，壁溫與無窮遠(yuǎn)溫度的比值為4.838(冷壁)，來流湍流度為0.4%，具體流動參數(shù)如表2所示。壁面熱流的計算結(jié)果對比如圖13所示，SED-SL模型同樣實現(xiàn)了對于不同來流雷諾數(shù)下壁面熱流的精確刻畫。

圖12 SED-SL模型(實線)對冷壁可壓縮邊界層不同雷諾數(shù)下壁面熱流的預(yù)測結(jié)果符號為實驗數(shù)據(jù)[50]; 紅線為SED-SL模型的預(yù)測結(jié)果Fig.12 Prediction of Stanton number for compressible transitional flat plate flow under cold wall boundary conditionThe black symbols are experimental measurements [50]; the red lines are from SED-SL model

CaseReT0/KT∞/KTwall/KA2.03×107519.2663.32306.36B1.77×107519.2663.32306.36C1.41×107505.3761.63298.16D1.05×107505.3761.63298.16E9.19×106505.3761.63298.16F9.19×106449.8254.86265.39G7.22×106505.3761.63298.16H3.61×106491.4859.94289.97

對未來展望，即使在稀薄氣體中，壁面約束產(chǎn)生的對稱性約束依然存在，因此，依然可以用序函數(shù)分析方法進(jìn)行驗證。但是，對于復(fù)雜效應(yīng)的出現(xiàn)，會出現(xiàn)新的對稱破缺，需要添加新的預(yù)設(shè)，考察多層結(jié)構(gòu)在不同維度(不同統(tǒng)計量)上的表現(xiàn)。這一設(shè)想需要通過數(shù)據(jù)來進(jìn)行驗證。

針對超高空飛行器實驗數(shù)據(jù)難以獲取這一難題，值得指出，結(jié)構(gòu)系綜理論所實現(xiàn)的最主要的成功在于Re數(shù)的相似解。因此，從實驗室測量結(jié)果向?qū)嶋H飛行結(jié)果進(jìn)行外推，是結(jié)構(gòu)系綜理論的一個最主要的應(yīng)用。未來，我們將針對相關(guān)工況，在刻畫壁面約束下的能量輸運過程中，依據(jù)序函數(shù)給出的定量預(yù)測，給出雷諾數(shù)、馬赫數(shù)變化的預(yù)測。

圖13 SED-SL模型(實線)對超聲速尖錐流動壁面熱流的預(yù)測結(jié)果。符號為實驗數(shù)據(jù)[50]; 紅線為SED-SL模型的計算結(jié)果Fig.13 Prediction of wall heat flux for transitional supersonic straight cone flow. The black symbols are experimental measurements [50]; the red lines are from SED-SL model

3.4 關(guān)于流動控制機(jī)理的研究

當(dāng)前流動控制與湍流結(jié)構(gòu)研究密切相關(guān)，近年來隨著計算實驗技術(shù)的進(jìn)步，對于壁面渦結(jié)構(gòu)的產(chǎn)生、演化從定性上有了豐富的認(rèn)識，認(rèn)識到馬蹄渦、條帶渦結(jié)構(gòu)、大尺度相干結(jié)構(gòu)等多種湍流結(jié)構(gòu)，這些相干結(jié)構(gòu)被認(rèn)為是時間和空間上穩(wěn)定的，與邊界層質(zhì)量、動量、熱量的輸運密切相關(guān)。但是盡管大多數(shù)人都認(rèn)同相干結(jié)構(gòu)對于理解壁湍流極為重要，但是對相干結(jié)構(gòu)究竟是什么，以及其在流動中所扮演的角色依然存在著爭議[12]。

3.5 關(guān)于CFD技術(shù)發(fā)展

目前，CFD的發(fā)展距離高精度、高效率、高可靠性的理想依然有一定差距，其原因在于CFD理論的湍流數(shù)學(xué)模型部分基礎(chǔ)依然薄弱[3]。近年來，我國學(xué)者在CFD計算的網(wǎng)格和算法技術(shù)上已經(jīng)有了豐富的積累研究[54]，主要瓶頸還是集中在湍流模型上，此時，可靠的解析解的存在對于CFD的驗證起著特別重要的作用。尤其在涉及大分離和轉(zhuǎn)捩等流動的計算時。主流意見認(rèn)為，RANS方法不可能正確模擬分離，因此，國際學(xué)術(shù)界趨向于研究LES或者DES等非定常的混合算法。但是建立在空間濾波基礎(chǔ)上的LES，與建立在時間平均基礎(chǔ)上的RANS計算，其混合尚處于經(jīng)驗的范圍[55]。我們認(rèn)為，建立在對湍流邊界層深刻認(rèn)識基礎(chǔ)上的RANS研究仍然有廣闊的前景。隨著對規(guī)范壁湍流認(rèn)識的推進(jìn)，人們一定會從基礎(chǔ)研究層次上加深對于湍流邊界層分離的物理機(jī)理的理解，從而使工程湍流模型對分離的預(yù)測更加精準(zhǔn)。

即使對于LES或混合算法，高效的計算依然依靠對復(fù)雜流動中的壁函數(shù)的認(rèn)識[3]，因此，結(jié)構(gòu)系綜理論對壁函數(shù)的精確刻畫會對LES和DES等混合算法的研究起到重要的作用。這也將成為今后一個階段的重要研究課題。

4 結(jié) 論

近年來，隨著計算和測量技術(shù)的進(jìn)步，湍流研究已經(jīng)積累了大量的數(shù)據(jù)。由于理論上一直沒有實質(zhì)性的突破，導(dǎo)致在湍流模型的開發(fā)中，還是一直停留在對已有模型的修補(bǔ)上。大量的修補(bǔ)使得工程應(yīng)用的湍流模型變得越來越復(fù)雜、也越來越難以控制模擬效果。針對這樣尷尬的研究現(xiàn)況，必須下大力氣，尋求根本性的突破。本文報告了結(jié)構(gòu)系綜理論在實現(xiàn)這一突破上已經(jīng)產(chǎn)生的可喜進(jìn)步。

湍流理論的突破，以能夠充分挖掘大量數(shù)據(jù)背后的普適規(guī)律為標(biāo)志。一個好的理論不僅能夠描述一種流動，而是要能夠描述一系列工況下的流動，尤其是要能夠比較容易地將一類型流動的規(guī)律向其他流動進(jìn)行推廣。結(jié)構(gòu)系綜理論已經(jīng)初步實現(xiàn)了這一目標(biāo)，它建立的規(guī)律順利地從圓管和槽道流動推廣到邊界層流動，并從低速推廣到高速流動，以及從光滑壁流動到粗糙面(乃至大氣)的流動。這些流動都擁有普適的多層結(jié)構(gòu)，只是多層結(jié)構(gòu)參數(shù)隨流動的不同而呈現(xiàn)有規(guī)律的變化。一旦從經(jīng)驗數(shù)據(jù)中確定了這些參數(shù)的變化規(guī)律，它將立刻形成一個對于相關(guān)流動的精確刻畫。

于是，從具體流動的經(jīng)驗數(shù)據(jù)中驗證對稱性原理的有效性和提取多層結(jié)構(gòu)參數(shù)，就成為結(jié)構(gòu)系綜理論應(yīng)用于未來湍流研究的一個主要內(nèi)容。值得指出的是，這正是一個成熟理論的標(biāo)志，即具有將一個規(guī)律呈現(xiàn)在人們面前的同時(即驗證原理)，還有相應(yīng)的數(shù)據(jù)分析方法(即提取參數(shù))，能夠從數(shù)據(jù)中挖掘規(guī)律，并指導(dǎo)工程模型的建立。從這一點上來說，結(jié)構(gòu)系綜理論實現(xiàn)了一個理論上的重大突破。

于是，從結(jié)構(gòu)系綜理論出發(fā)所產(chǎn)生的湍流模型，具有傳統(tǒng)湍流模型所不具備的一個特點，即參數(shù)具備明確的物理意義。因此，在與實驗數(shù)據(jù)的對比過程中，一旦一些參數(shù)進(jìn)行了調(diào)整，人們立刻清楚地認(rèn)識到湍流邊界層的物理變化(例如擬渦層厚度的變化)，甚至可以追溯到流動的哪些物理要素出現(xiàn)了變化。這一知識正是在應(yīng)用中所急需的，因為有了這樣的框架，工程師便可以大膽地對未知流動開展參數(shù)調(diào)節(jié)的試驗，從而有針對性的對湍流模型進(jìn)行細(xì)致而準(zhǔn)確的調(diào)整。目前，結(jié)構(gòu)系綜理論只是針對有限的一些標(biāo)準(zhǔn)模型進(jìn)行了參數(shù)確定和驗證，相信在未來一段時間內(nèi)，隨著更多研究者的參與，它會在大量復(fù)雜流動的計算中得到驗證和推廣，從而建立起從規(guī)范流動到工程標(biāo)模(翼形、壓縮拐角等)，再到實際工程復(fù)雜流動的一條龍的多層結(jié)構(gòu)演變圖，從而實現(xiàn)各類復(fù)雜流動的精確預(yù)測。特別需要指出的是，在這一過程中，不但工程流動的預(yù)測會變得非常準(zhǔn)確(直抵實驗測量的極限精度)，還會帶來工程邊界層流動的物理信息。這些信息的日積月累，將為湍流研究提供一個不斷擴(kuò)展的知識和數(shù)據(jù)庫，從而有希望回答諸如決定轉(zhuǎn)捩點位置的關(guān)鍵因素是什么，有多個壁面存在下的流動特性等關(guān)鍵的問題。

復(fù)雜系統(tǒng)研究的方法論注重經(jīng)驗研究與理論研究之間的互相銜接和迭代。序函數(shù)概念的誕生，產(chǎn)生了一個由實驗/計算數(shù)據(jù)出發(fā)，通過計算序函數(shù)來系統(tǒng)分析湍流結(jié)構(gòu)效應(yīng)的研究平臺。這一平臺填補(bǔ)了一個長期缺失的空白，即在定性的物理機(jī)理研究與定量的工程湍流模型研究之間的空白，這一空白的填補(bǔ)使得數(shù)值模擬基礎(chǔ)研究的大量知識可以用于提升工程湍流模型的質(zhì)量?？傊灰?DNS或LES或?qū)嶒?數(shù)據(jù)，序函數(shù)分析方法就能夠進(jìn)行多層結(jié)構(gòu)的定量刻畫，給出精確的參數(shù)化方案，從參數(shù)的變化當(dāng)中，可以提取流動結(jié)構(gòu)的變化，這些物理機(jī)制的認(rèn)識，最終可以應(yīng)用到湍流模型的設(shè)置當(dāng)中。這將迎來工程湍流研究的新階段。

為什么結(jié)構(gòu)系綜理論能夠?qū)崿F(xiàn)研究方法上的突破？在于結(jié)構(gòu)系綜理論抓住了壁湍流運動中物理結(jié)構(gòu)的生成法則——即某種廣義拉伸不變性所描述的對稱破缺是湍流結(jié)構(gòu)生成過程中的宏觀體現(xiàn)。今天，高分辨率的數(shù)值計算給出了整個流場的所有細(xì)節(jié)，為我們尋找或驗證這樣的廣義拉伸不變性提供了良好的條件。但是，這里所說的生成法則(即廣義拉伸對稱性所對應(yīng)的對稱破缺)是隱藏在湍流隨機(jī)場中的有序物理結(jié)構(gòu)背后的，是在系綜層面上的。過去，關(guān)于湍流級竄過程的經(jīng)典描述，也屬于這一類的生成法則，在描述均勻各向同性湍流的耗散過程時受到理論家的關(guān)注。而貼近流體物理的擬序結(jié)構(gòu)研究，雖然增進(jìn)了人們對湍流物理機(jī)制的形象理解，卻忽略了背后的湍流系綜的生成法則的探討[15]，因而并沒有產(chǎn)生對應(yīng)用研究有極大推動意義的定量結(jié)果。

結(jié)構(gòu)系綜理論所揭示的是普適的對稱破缺原理(或生成法則)，這是關(guān)于湍流脈動場與平均場背后公共的物理機(jī)制，也就是對稱性約束的意義。對稱破缺決定了湍流平均場的行為，也同時約束了湍流脈動結(jié)構(gòu)。以往關(guān)于湍流RANS方程的對稱性研究，將相似變量鎖定在平均速度上，所以長期未能得到有益的結(jié)果。結(jié)構(gòu)系綜理論定義的相似變量是長度序函數(shù)，是由平均場(平均剪切)與脈動場(雷諾應(yīng)力)共同決定的。這一序函數(shù)物理上刻畫了湍流渦結(jié)構(gòu)的尺度，數(shù)學(xué)上成為定義廣義李群拉伸不變量的關(guān)鍵相似變量。這樣的理論設(shè)置抓住了湍流運動的物理本質(zhì)，從而方便有效并完整地刻畫了壁湍流中真實存在的物理結(jié)構(gòu)-多層結(jié)構(gòu)。

值得指出的是，多層結(jié)構(gòu)是壁湍流的本質(zhì)性結(jié)構(gòu)，它把普適性和個性、簡單性與復(fù)雜性進(jìn)行了有機(jī)的統(tǒng)一。任何固壁附近的湍流都擁有形式普適的多層結(jié)構(gòu)，但不同物理條件下的多層結(jié)構(gòu)在定量上略有變化；對于更加復(fù)雜的非平衡流動，多層結(jié)構(gòu)參數(shù)可以表現(xiàn)出空間或時間上的緩慢變化。于是，結(jié)構(gòu)系綜理論創(chuàng)建了可以應(yīng)用于各類復(fù)雜流動的序函數(shù)分析方法，從經(jīng)驗數(shù)據(jù)中提取多層結(jié)構(gòu)參數(shù)在空間的變化，從而形成對于真實復(fù)雜工程流動的系統(tǒng)化的建模方法，用于湍流模型的開發(fā)。