許 進(jìn)

(北京大學(xué) 信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院， 北京 100871)

1 圖論過(guò)去、現(xiàn)在和未來(lái)

圖的概念引入主要來(lái)自兩個(gè)方面：①1736年大數(shù)學(xué)家Euler[1]解決格尼斯堡七橋問(wèn)題而提出圖的概念；②1840年電路專家Kirchhoff[2]研究電路時(shí)，為了研究電路中電流和電壓的特性,獨(dú)創(chuàng)性地引入圖的概念，揭示了電路中的一些基本性質(zhì)，提出了著名的基爾霍夫第一定律和基爾霍夫第二定律.

從1736年到1936年，整整兩個(gè)世紀(jì)，圖論的發(fā)展是非常緩慢的.1936年，法國(guó)數(shù)學(xué)家Berge才寫出第一本圖論的專著.就在1936年，年僅24歲的超天才圖靈創(chuàng)立了圖靈機(jī)[3].1945年，馮·諾依曼根據(jù)圖靈機(jī)原理建立了可編程的計(jì)算機(jī)結(jié)構(gòu)體系.1946年，在美國(guó)賓夕法尼亞大學(xué)誕生了人類第一臺(tái)電子計(jì)算機(jī).由于馮·諾依曼電子計(jì)算機(jī)模型是基于0-1二進(jìn)制的，它的理論體系是離散數(shù)學(xué)，而圖論在離散數(shù)學(xué)中的地位幾乎是主導(dǎo)性的，這就極大地激發(fā)了人們對(duì)圖論研究的興趣.于是，伴隨著電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展，圖論這門古老而年輕的學(xué)科得到了飛速的發(fā)展.從1945年至今，僅僅七十余年，無(wú)論從理論研究，還是在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，都得到了驚人的發(fā)展.現(xiàn)在，可以毫不夸張地講，圖論幾乎已經(jīng)應(yīng)用于人類目前創(chuàng)造的所有領(lǐng)域.2016年，一種從底層全并行的計(jì)算機(jī)模型，稱為“探針機(jī)”被提出來(lái)[4].該模型發(fā)現(xiàn)了圖靈機(jī)的局限性，即本質(zhì)上與中國(guó)珠算等價(jià).探針機(jī)的框架充分利用圖論理論構(gòu)建.相信未來(lái)，人類的計(jì)算機(jī)體系結(jié)構(gòu)將會(huì)以探針機(jī)模型構(gòu)建.

2 圖論魅力無(wú)限

首先，圖論在理論方面存在層出不窮又難的出奇的難題需要去解決，其中有些問(wèn)題的難度可能不亞于諸如哥德巴赫猜想、孿生數(shù)猜想、費(fèi)馬爾猜想及P≠NP猜想等.

其次，圖論自身優(yōu)勢(shì)特點(diǎn)與時(shí)代發(fā)展相契合.圖論自身直觀、簡(jiǎn)單、明了的優(yōu)勢(shì)特點(diǎn)，在解決問(wèn)題時(shí)能給人以獨(dú)特、奇妙的魅力感受.由于四色猜想的促進(jìn)和電子計(jì)算機(jī)科學(xué)快速發(fā)展的強(qiáng)烈激發(fā)，圖論在當(dāng)今離散數(shù)學(xué)與組合數(shù)學(xué)中占據(jù)了主導(dǎo)地位，現(xiàn)已在理論上形成了含蓋樹論、圖的度序列理論、連通圖論、代數(shù)圖論、圖的計(jì)數(shù)理論、著色理論、平面圖理論及其應(yīng)用、Ramsey數(shù)理論、圖的可遍歷性理論、算法圖論及應(yīng)用圖論的強(qiáng)大理論體系[5-7].加之互聯(lián)網(wǎng)的促進(jìn)，人類發(fā)展到了產(chǎn)生大量形形色色數(shù)據(jù)的“大數(shù)據(jù)時(shí)代”和“社交網(wǎng)絡(luò)時(shí)代”，而要處理這些海量數(shù)據(jù)，圖論因其在模型構(gòu)建和算法設(shè)計(jì)上的獨(dú)特優(yōu)勢(shì)勢(shì)必?fù)?dān)當(dāng)主角.

最后，圖論具有許多數(shù)學(xué)分支無(wú)法比擬的、廣闊無(wú)垠的應(yīng)用天地.可以毫不夸張地講，圖論幾乎可以應(yīng)用于人類目前創(chuàng)造的所有領(lǐng)域.經(jīng)過(guò)近幾十年的發(fā)展，圖論業(yè)已廣泛應(yīng)用于諸如生命科學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、電子線路、信息科學(xué)、模式識(shí)別、網(wǎng)絡(luò)安全、心理學(xué)、社會(huì)科學(xué)，甚至中文等領(lǐng)域.

圖論的魅力在于它本身的結(jié)構(gòu)之美，解決問(wèn)題的速度之快，以及應(yīng)用的范圍之廣.在可預(yù)見的將來(lái)，圖論將在下述八個(gè)領(lǐng)域大放異彩.

2.1 生命科學(xué)領(lǐng)域

在生命科學(xué)領(lǐng)域，很多重要問(wèn)題的研究都涉及到生物復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，如生物神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[8]、控制生物性狀的基因網(wǎng)絡(luò)[9]、植物次生代謝網(wǎng)絡(luò)[10]、蛋白質(zhì)相互作用網(wǎng)絡(luò)[11]、蛋白質(zhì)結(jié)構(gòu)預(yù)測(cè)問(wèn)題[12]等.生物神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通常指生物的大腦神經(jīng)元、細(xì)胞、觸點(diǎn)等組成的網(wǎng)絡(luò)；在基因網(wǎng)絡(luò)中，結(jié)點(diǎn)是轉(zhuǎn)錄因子或基因，邊表示轉(zhuǎn)錄因子和基因之間的調(diào)控關(guān)系；代謝網(wǎng)絡(luò)中結(jié)點(diǎn)代表的是代謝底物或者產(chǎn)物，而邊代表底物或產(chǎn)物之間的代謝反映；蛋白質(zhì)相互作用網(wǎng)絡(luò)中，結(jié)點(diǎn)代表蛋白質(zhì)個(gè)體，邊代表兩個(gè)蛋白質(zhì)之間的相互作用關(guān)系.因此，這些問(wèn)題可利用圖論的方法進(jìn)行研究.Koessler等[13]利用圖論方法，對(duì)從主結(jié)構(gòu)確定RNA二級(jí)結(jié)構(gòu)的問(wèn)題進(jìn)行研究，提出了RNA二級(jí)結(jié)構(gòu)的預(yù)測(cè)模型.Bermúdez等[14]利用圖論方法刻畫大腸桿菌的tRNA結(jié)構(gòu)，將tRNA表示為圖，其中頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)核苷酸，邊對(duì)應(yīng)磷酸二酯和氫鍵之間的鍵.Ren等[15]利用圖論方法，建立腦功能的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)模型，研究了針灸調(diào)節(jié)腦網(wǎng)絡(luò)重組的效果. Stavrakas等[16]利用圖論方法建立蛋白質(zhì)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，通過(guò)寬度優(yōu)先遍歷算法識(shí)別最短路徑，分析了蛋白質(zhì)相互作用網(wǎng)絡(luò)，給出了生物學(xué)解釋.

2.2 社交網(wǎng)絡(luò)領(lǐng)域

社交網(wǎng)絡(luò)又稱為社會(huì)網(wǎng)絡(luò)，是一種基于網(wǎng)絡(luò)的社交組織形式，指社會(huì)行動(dòng)者及他們之間關(guān)系的集合.若將社交網(wǎng)絡(luò)中的基本要素，也就是每個(gè)人看成一個(gè)節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)之間的連線看成是人與人之間的聯(lián)系，那么用一個(gè)復(fù)雜的圖就可以對(duì)社交網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行描述，G=(V,E)，其中V表示節(jié)點(diǎn)的集合，E表示節(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)(邊)的集合.因此，社交網(wǎng)絡(luò)中的一些重要問(wèn)題，如結(jié)構(gòu)特征[17-18]、社區(qū)發(fā)現(xiàn)[19-20]、影響力最大化[21-22]等問(wèn)題，都可以利用圖論的方法進(jìn)行研究.

1998年，Watts等[17]發(fā)現(xiàn)許多網(wǎng)絡(luò)中都存在小世界現(xiàn)象.網(wǎng)絡(luò)的小世界特性包含兩個(gè)重要的屬性，即網(wǎng)絡(luò)平均路徑長(zhǎng)度和平均聚集系數(shù).Mislove等[23]對(duì)YouTube、Flickr、Live Journal等知名在線社交網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了小世界現(xiàn)象的驗(yàn)證，得到這些不同種類的在線社交網(wǎng)絡(luò)均有小世界現(xiàn)象.

Barabasi等[18]于1999 年首先發(fā)現(xiàn)了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的無(wú)標(biāo)度特性，并揭示出無(wú)標(biāo)度性是許多復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)具有的性質(zhì).社區(qū)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題都是NP-難問(wèn)題[19]，Palla等[20]提出了團(tuán)滲透的方法解決社區(qū)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，并定義在k團(tuán)特征圖中有k-1個(gè)節(jié)點(diǎn)相同的k團(tuán)具有連接關(guān)系.特征圖中的每個(gè)連通分支就被定義為一個(gè)社區(qū).由于k團(tuán)之間會(huì)有重疊節(jié)點(diǎn)，因此，這種方法可以自然地發(fā)現(xiàn)重疊社區(qū).

影響最大化問(wèn)題最早是由Domingos等[21]引入到社交網(wǎng)絡(luò)中的.他們將影響最大化問(wèn)題抽象成一個(gè)算法問(wèn)題.Kempe 等[22]針對(duì)所提出的級(jí)聯(lián)模型和閾值模型，給出了一種貪心近似算法，并證明了該算法的貪心近似比至少為1-1/e. Estevez等[24]提出了集合覆蓋貪心算法.Chen等[25]從兩個(gè)方面提高了影響力最大化的效率問(wèn)題，即首先提出一種改進(jìn)的貪心算法，該算法將圖中沒有傳播成功的邊去掉，得到新的圖，然后在新圖上依照貪心策略依次選擇初始節(jié)點(diǎn).

2.3 網(wǎng)絡(luò)安全領(lǐng)域

社會(huì)信息化程度的加深使人們對(duì)網(wǎng)絡(luò)的依賴程度加強(qiáng)，網(wǎng)絡(luò)安全日益受到重視并得到廣泛的研究.其中，圖論作為研究網(wǎng)絡(luò)安全的重要工具，被用于研究各種可行的方法以對(duì)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)安全進(jìn)行建模、分析和評(píng)估，并取得了許多的研究成果.

2.3.1 攻擊樹

Schneier[26]提出的攻擊樹是一種描述滲透式攻擊對(duì)系統(tǒng)安全造成威脅的模型，能比較直觀地反映攻擊者實(shí)施攻擊的步驟.在攻擊樹模型中，用樹型結(jié)構(gòu)來(lái)表示系統(tǒng)面臨的攻擊，其中根節(jié)點(diǎn)代表被攻擊的目標(biāo)，葉子節(jié)點(diǎn)表示達(dá)成攻擊目標(biāo)的方法，可以在很大程度上幫助我們判斷系統(tǒng)存在的威脅和決定應(yīng)對(duì)攻擊的方法.

2.3.2 攻擊圖

網(wǎng)絡(luò)中總是存在一定的安全漏洞，同時(shí)這些漏洞之間可能存在一定的關(guān)聯(lián)關(guān)系，即當(dāng)一個(gè)漏洞被成功利用后，可能為另一漏洞的利用創(chuàng)造有利條件.結(jié)合網(wǎng)絡(luò)拓?fù)?、目?biāo)漏洞、主機(jī)弱點(diǎn)等信息，找到所有能夠到達(dá)目標(biāo)的攻擊路徑，并以圖的形式表現(xiàn)，即攻擊圖[27].

攻擊圖能夠挖掘出潛在的攻擊序列，可對(duì)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的安全性做出更為全面的分析，及時(shí)發(fā)現(xiàn)和消除計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中存在的安全隱患，減少惡意攻擊.與攻擊樹相比，攻擊圖對(duì)網(wǎng)絡(luò)攻擊過(guò)程的描述能力更強(qiáng)，但該方法因其高復(fù)雜度，存在組合爆炸問(wèn)題，無(wú)法直接對(duì)大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)使用.

2.3.3 脆弱性分析

對(duì)一個(gè)網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)而言，總有一個(gè)或多個(gè)節(jié)點(diǎn)占有極為重要的位置，如果破壞掉它們，這個(gè)網(wǎng)絡(luò)在諸如結(jié)構(gòu)、穩(wěn)定性上將受到很大的影響.因此，分析關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)或脆弱點(diǎn)有著重要的現(xiàn)實(shí)意義.

最為簡(jiǎn)單直接的做法就是使用節(jié)點(diǎn)的度指標(biāo)，來(lái)衡量關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的重要程度.筆者提出了核與核度理論[28]，用于刻畫網(wǎng)絡(luò)中一組節(jié)點(diǎn)的重要性, 通過(guò)刪除一些節(jié)點(diǎn)及其相連的邊后, 以網(wǎng)絡(luò)中出現(xiàn)的連通分支個(gè)數(shù)來(lái)衡量核度.王建偉等[29]認(rèn)為連接節(jié)點(diǎn)的邊越重要, 則節(jié)點(diǎn)越重要，并將其視為分析網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)與連邊重要性的一個(gè)基本公理.同時(shí)，還有基于隨機(jī)游走思想設(shè)計(jì)的算法，如PageRank和LeaderRank，也可以用于網(wǎng)絡(luò)脆弱性分析.

此外，還有一些基于圖論的網(wǎng)絡(luò)安全分析方法，如類似于攻擊樹的故障樹[30]具有可靠性分析的功能，被大量應(yīng)用在航空航天和核工業(yè)等產(chǎn)業(yè)領(lǐng)域.總之，圖論因其具有高效性和較好的可讀性，被廣泛應(yīng)用于網(wǎng)絡(luò)安全領(lǐng)域當(dāng)中.

2.4 社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域

人類社會(huì)有種種現(xiàn)象，涉及經(jīng)濟(jì)、政治、心理、歷史等很多學(xué)科，社會(huì)科學(xué)便是用科學(xué)的方法來(lái)研究人類社會(huì)這些現(xiàn)象.在科學(xué)研究的發(fā)展進(jìn)程中，圖論為社會(huì)科學(xué)的研究提供了新的方法和手段.例如在經(jīng)濟(jì)金融領(lǐng)域，Tabak等[31]研究了巴西股票市場(chǎng)網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，使用關(guān)聯(lián)矩陣為不同板塊的股票構(gòu)建了最小生成樹，采用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)態(tài)方法度量了不同板塊的相對(duì)重要指數(shù)，并給出了股票市場(chǎng)網(wǎng)絡(luò)中最重要的板塊.如何分析越來(lái)越龐大的金融數(shù)據(jù)集是現(xiàn)在眾多應(yīng)用需要面對(duì)的挑戰(zhàn).2012年，Lautier等[32]針對(duì)金融市場(chǎng)的高維數(shù)據(jù)提出了一種可以應(yīng)用于多種領(lǐng)域的圖論分析方法，同時(shí)闡述了該方法應(yīng)用于金融衍生市場(chǎng)系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)分析情景的優(yōu)勢(shì).針對(duì)金融領(lǐng)域的犯罪場(chǎng)景，Jedrzejek 等[33]使用圖挖掘方法進(jìn)行檢測(cè)，對(duì)犯罪行為人的行為及逆行有效推理.在心理學(xué)領(lǐng)域，Crosier等[34]回顧了社交網(wǎng)絡(luò)的演化基礎(chǔ)和網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成中的心理因素.在考古學(xué)領(lǐng)域，Brughmans[35]追溯了考古學(xué)家中最有影響力的學(xué)術(shù)傳統(tǒng)以及網(wǎng)絡(luò)模型和技術(shù)的起源，揭示了圖論方法在考古學(xué)中的潛力.

2.5 系統(tǒng)科學(xué)領(lǐng)域

圖論在系統(tǒng)科學(xué)領(lǐng)域也有諸多應(yīng)用.在研究系統(tǒng)中非常重要的要素，即系統(tǒng)的核和核度理論時(shí)，用圖作為系統(tǒng)中要素和關(guān)系的映射以及應(yīng)用圖論進(jìn)行分析與研究是一種相當(dāng)重要的方法[28].譬如控制系統(tǒng)等很多復(fù)雜的系統(tǒng)都可以簡(jiǎn)化地表示為一個(gè)圖.作為分析大型工程問(wèn)題的有力工具，圖論可以幫助我們簡(jiǎn)化復(fù)雜系統(tǒng)的拓?fù)溥B接關(guān)系.圖論中的許多研究成果也可以作為分析系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、尋求系統(tǒng)優(yōu)化算法的重要理論依據(jù)和研究方法[36]，圖論在復(fù)雜系統(tǒng)中的系統(tǒng)設(shè)計(jì)、故障診斷恢復(fù)、狀態(tài)分析、損費(fèi)分?jǐn)偟确矫婢袕V泛而重要的應(yīng)用[37].Prabhakaran等[38]利用圖論的方法，通過(guò)建立復(fù)合材料性能與結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系，給出了一種對(duì)復(fù)合產(chǎn)品系統(tǒng)進(jìn)行完整分析的自上而下的方法.Schné等[39]利用圖論方法，對(duì)分散化控制器結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，提出一種基于最接近加權(quán)最大匹配的圖論算法，改進(jìn)了分散化控制器的效率.Hamzeh等[40]利用圖論方法，對(duì)電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化配置問(wèn)題進(jìn)行了研究.

2.6 交通信號(hào)研究

近年來(lái)隨著城市人口密度的增長(zhǎng)，車流量的增加，交通擁堵成為各大城市需要重點(diǎn)解決的難題.解決交通擁堵一方面在于合理的城市道路規(guī)劃，另一方面則在于優(yōu)化交通信號(hào)從而發(fā)揮其合理的交通指揮和疏導(dǎo)作用[41].因?yàn)榻煌ㄐ盘?hào)在處理過(guò)程中存在著錯(cuò)綜復(fù)雜的連接關(guān)系，因而圖論知識(shí)在其中起到了不可或缺的作用.

在處理交通信號(hào)燈問(wèn)題時(shí)，可以引入圖論中“圖染色”的概念[42].將城市路口交通信號(hào)燈最優(yōu)相位個(gè)數(shù)歸結(jié)為其交通流模型圖的圓色數(shù).在計(jì)算過(guò)程中，根據(jù)特殊n岔路口交通流狀況，由車流的沖突關(guān)系給出交通流模型圖并求出它們的圓色數(shù)，即為給出對(duì)應(yīng)交通信號(hào)燈的最優(yōu)相位個(gè)數(shù)，從而確定不同狀態(tài)下的交通信號(hào).

此外，城市軌道交通線路之間的連接關(guān)系同樣可以利用圖論的形式來(lái)展現(xiàn).在設(shè)計(jì)城市軌道交通信號(hào)設(shè)備布置模型時(shí)，可采用圖論拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)策略[43].用圖的形式描述信號(hào)設(shè)備，為城市軌道交通信號(hào)設(shè)備布置設(shè)計(jì)合理的矢量圖形數(shù)據(jù)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，從而實(shí)現(xiàn)信息數(shù)據(jù)的組織.在解決地鐵信號(hào)設(shè)備布置問(wèn)題的算法中，需要從某個(gè)信號(hào)設(shè)備出發(fā)，系統(tǒng)遍歷所有的信號(hào)設(shè)備，在這個(gè)過(guò)程中，需要用到圖論知識(shí)中圖的遍歷. Yang等[44]利用圖論方法，提出一種基于點(diǎn)對(duì)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)的車輛網(wǎng)絡(luò)模型，提高了網(wǎng)絡(luò)通信能力以及網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

2.7 中文研究

圖論在中文研究領(lǐng)域，諸如在文本研究、古漢語(yǔ)音韻學(xué)研究等領(lǐng)域，都有著極為廣泛的應(yīng)用，對(duì)探索語(yǔ)言網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)特征規(guī)律和功能演化規(guī)律有著十分重要的意義.

2006年，通過(guò)應(yīng)用基于模糊圖論的最大樹法，提出了一種中文文本模糊聚類算法ATCMT[45].ATCMT首先對(duì)文本建立模糊相似矩陣，然后構(gòu)造模糊圖及其最大模糊支撐樹，最后進(jìn)行模糊聚類分析.2009年，一種基于圖結(jié)構(gòu)的中文文本表示模型被提出[46].它將文本特征項(xiàng)表示成圖結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)，將特征項(xiàng)之間的共現(xiàn)關(guān)系表示為圖結(jié)構(gòu)的邊，從而將文本映射為圖結(jié)構(gòu)，有效地解決了文本表示中詞語(yǔ)間語(yǔ)義信息缺失問(wèn)題.2012年，結(jié)合圖論中的理論，一種基于語(yǔ)義圖結(jié)構(gòu)的中文文本分類方法RCSGC被提出[47].除了對(duì)文本研究有著極為重要的作用，圖論在古漢語(yǔ)音韻學(xué)研究中也有一定的實(shí)用價(jià)值.2011年，一種基于圖論方法的度量古漢語(yǔ)詞音相似度方法被提出[48]，為傳統(tǒng)音韻學(xué)長(zhǎng)期以來(lái)建立的定性研究提供了一些定量的參考和檢驗(yàn).

2.8 模式識(shí)別研究

模式識(shí)別指對(duì)表征事物或現(xiàn)象各種形式的信息進(jìn)行處理和分析，從而達(dá)到對(duì)事物或現(xiàn)象進(jìn)行描述、辨認(rèn)、分類和解釋的目的.在自然界中，大量模式都可以用圖的形式進(jìn)行表示.隨著數(shù)據(jù)存儲(chǔ)、傳輸、計(jì)算能力的增強(qiáng)，人們開始有能力從圖結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)中提取有用的信息.以圖理論對(duì)問(wèn)題和數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，利用經(jīng)典圖論算法求解或與其他新興技術(shù)相融合正越來(lái)越成為模式識(shí)別研究中的熱門領(lǐng)域.比如在計(jì)算機(jī)視覺方向，利用圖論建模圖像中的拓?fù)潢P(guān)系，提高圖像識(shí)別和分割的準(zhǔn)確率及可信度[49-50]；在計(jì)算化學(xué)方向，以圖結(jié)構(gòu)對(duì)化合物分子結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模，以尋找特定的分子亞結(jié)構(gòu)和模式，為新型化合物制備及藥物研發(fā)提供理論指導(dǎo)[51]；在腦科學(xué)方向，利用圖論方法，對(duì)功能核磁共振成像數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，在分析各神經(jīng)單元的依賴關(guān)系和因果性相互作用，建立大腦連接模式，理解大腦架構(gòu)等方面發(fā)揮了重要作用[52].此外，圖論與其他理論和工具的融合也催生了一系列富有前景的新方法，如概率圖模型[53]、圖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[54]等.