高 鍵，彭 嵐，馬 力，朱承志

(重慶大學(xué)動力工程學(xué)院，低品位能源利用技術(shù)及系統(tǒng)教育部重點實驗室，重慶 400044)

1 引 言

在Cz法制備晶體的過程中，熔體在溫差梯度作用下會產(chǎn)生表面張力梯度，形成Marangoni-熱毛細(xì)對流。當(dāng)溫差梯度超過某一臨界值后，熔體流動將轉(zhuǎn)變?yōu)榉欠€(wěn)態(tài)振蕩流動，其會使晶體的均勻性受到破壞、影響晶體材料的生長質(zhì)量[1]。近幾十年來，學(xué)者們對不同工質(zhì)[2-3]、不同幾何模型[4-5]、不同邊界條件[6-8]下的熔體對流運動進(jìn)行了大量的研究，得到了熱毛細(xì)對流的演變規(guī)律，并分析和解釋了相應(yīng)的物理機(jī)制。Teitel等[9]對Cz液池內(nèi)流動不穩(wěn)定性進(jìn)行了研究，考慮不同內(nèi)外徑之比對流動的影響，發(fā)現(xiàn)增大內(nèi)外徑之比可以減小臨界溫差。Peng等[10]對Cz淺液池內(nèi)硅熔體的熱對流過程進(jìn)行了深入的研究，發(fā)現(xiàn)隨著徑向溫差的不斷增大，流動會發(fā)生由穩(wěn)態(tài)流動向非穩(wěn)態(tài)流動的轉(zhuǎn)變，并確定了流型轉(zhuǎn)變的臨界條件。

施加外部磁場是抑制熔體熱對流的一種行之有效的方法。Virbulis等[11]采用二維軸對稱模型，研究了穩(wěn)態(tài)磁場、交變磁場和復(fù)合磁場對熔體對流對界面形狀的影響，并與實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行了比較。Ozoe等[12]對磁場作用下矩形池內(nèi)的熱對流進(jìn)行了三維數(shù)值模擬，研究結(jié)果表明：磁場方向?qū)θ垠w的對流運動具有較大的影響，當(dāng)外加磁場方向垂直于豎直邊界層時，抑制效果最強(qiáng)；而當(dāng)外加磁場方向平行于豎直邊界層時，抑制效果最弱。Takagi等[13]研究了在水平溫差作用下，坩堝旋轉(zhuǎn)和軸向磁場對熔體熱毛細(xì)對流的影響。結(jié)果發(fā)現(xiàn)：單獨施加磁場和同時施加磁場和旋轉(zhuǎn)均對流動具有較好的抑制作用。

目前對磁場作用下熔體熱對流的研究主要集中在由單向水平溫差引起的流動，而在Cz法生長單晶硅的過程中，由于熔體溫度較高，易與外界進(jìn)行輻射換熱、引起散熱損失；同時，生產(chǎn)中對坩堝底部進(jìn)行加熱，均會導(dǎo)致垂直自由表面方向產(chǎn)生相當(dāng)大的溫差梯度[14]。故在實際工程應(yīng)用中，雙向溫差梯度往往同時存在，共同驅(qū)動流體進(jìn)行運動。因此，本文采用數(shù)值模擬方法對Cz液池內(nèi)Marangoni-熱毛細(xì)對流進(jìn)行研究，保持底部熱流密度恒定，主要討論了軸向磁場對臨界水平溫差Macri、穩(wěn)態(tài)流動和非穩(wěn)態(tài)流動的影響。

2 物理數(shù)學(xué)模型

圖1 物理模型Fig.1 Configuration of system

物理數(shù)學(xué)模型如圖1所示，晶體半徑rs=15 mm，坩堝半徑外徑rc=50 mm，圓柱形坩堝半徑內(nèi)充滿了深度h=3 mm的硅熔體。坩堝側(cè)壁和熔體-晶體界面分別維持恒定溫度Th和Tc，水平溫差ΔT=Th-Tc。熔體表面與外界進(jìn)行輻射換熱(環(huán)境溫度：Ta)。坩堝底部以均勻的熱流密度q進(jìn)行加熱，并沿Z軸正方向施加磁場強(qiáng)度為B的靜態(tài)磁場。

為簡化計算，作以下假定：(1)熔體流動速度較低，可考慮為層流；(2)熔體為不可壓縮牛頓流體；(3)除自由表面以外，其他界面均滿足貼壁無滑移條件；(4)自由表面考慮熱毛力作用，其與溫度滿足線性關(guān)系；(5)邊界都為電絕緣。

根據(jù)上述假設(shè)，無量綱化基本方程如下：

▽·V=0

(1)

(2)

(3)

式(2)中F為洛倫茲力，其無量綱分量如下：

(4)

(5)

FZ=0

(6)

其中，φ為電勢，滿足下列方程式：

▽2φ=▽·(V×B)

(7)

無量綱化邊界條件為：

自由表面(Z=h/rc，rs/rc

(8)

液池底部(Z=0，0

(9)

熔體-晶體界面(Z=h/rc，0

(10)

坩堝側(cè)壁(0

(11)

利用有限容積法對控制方程進(jìn)行離散，壓力插值采用PRESTO格式，對流項為QUICK格式，擴(kuò)散項為中心差分格式，壓力-速度修正采用PISO算法，程序的正確性驗證參閱文獻(xiàn)[14]。在Ma=1185，Q=1.5705×10-2工況下分別對不同大小的網(wǎng)格進(jìn)行了計算，結(jié)果如表1所示，采用80R×120θ×40Z非均勻交錯網(wǎng)格。

表1 網(wǎng)格無關(guān)性檢驗Table 1 Grid independent test

3 結(jié)果與討論

3.1 軸向磁場對穩(wěn)態(tài)流動的影響

由于硅熔體熔點溫度較高，易與外界環(huán)境進(jìn)行輻射換熱。為了避免因熱量損失導(dǎo)致硅熔體溫度下降而形成結(jié)晶，在坩堝底部施以恒定熱流密度對熔體進(jìn)行加熱。圖2給出了底部熱流為Q=1.3461×10-2(q=3 W/cm2)時自由表面溫度分布情況。此時，熔體的最低溫度不低于晶體的熔點溫度1683 K，確保了物理模型的合理性。故本文保持底部熱流密度恒定(即Q=1.3461×10-2)，重點考察磁場強(qiáng)度和水平溫差梯度對熔體傳熱和流動過程的影響。

當(dāng)水平溫差較小時，液池內(nèi)硅熔體的流動將保持軸對稱穩(wěn)定狀態(tài)，這種流動被稱為基本流。圖3 給出了Ma=2370(ΔT=12 K)時，自由表面監(jiān)測點P處溫度和速度隨時間的變化關(guān)系，此時監(jiān)測點溫度和速度都不隨時間而變化，熔體內(nèi)Marangoni-熱毛細(xì)對流為穩(wěn)態(tài)流動狀態(tài)。為了進(jìn)一步了解磁場強(qiáng)度對這種穩(wěn)態(tài)流動的影響，定義自由表面溫度波動δΘ為：

圖2 Ma=0(ΔT=0 K)，Q=1.3461×10-2時，自由表面溫度分布Fig.2 Ma=0，Q=1.3461×10-2，free surface temperature distribution

圖3 Ma=2370(ΔT=12 K)，Qmin=1.3461×10-2時，監(jiān)測點P處溫度和速度變化Fig.3 Ma=2370，Qmin=1.3461×10-2，variations of temperature and velocity at the monitoring point P

圖4給出了不同Ha數(shù)下自由表面溫度波動情況。當(dāng)磁場強(qiáng)度較低時(0≤Ha≤20)，此時Ha值較小，波型結(jié)構(gòu)保持不變，為直條幅波；當(dāng)磁場強(qiáng)度增加到Ha=30時，磁場對流動結(jié)構(gòu)具有顯著的抑制效果，波型由直條幅波演化成橢圓狀波，波數(shù)由12減少到4；隨著磁場強(qiáng)度進(jìn)一步增大(40≤Ha≤50)，由于此時流動強(qiáng)度已十分微弱，導(dǎo)電流體在磁場作用下產(chǎn)生與流動方向相反的洛倫茲力，其數(shù)值也相對較小，磁場對流動的抑制效果逐漸減弱，自由表面溫度波動結(jié)構(gòu)和波數(shù)不再發(fā)生變化。

圖4 Ma=2370(ΔT=12 K)，Q=1.3461×10-2時，不同Ha數(shù)下自由表面溫度波動情況Fig.4 Ma=2370， Q=1.3461×10-2， free surface temperature fluctuation

3.2 軸向磁場對臨界Macri的影響

隨著水平溫差不斷增大，液池內(nèi)硅熔體流動強(qiáng)度將進(jìn)一步加劇。當(dāng)Ma超過臨界Macri時，流動會發(fā)生失穩(wěn)，此時監(jiān)測點P處的溫度可呈現(xiàn)出周期性的等幅振蕩，如圖6(b)所示。一個振蕩周期內(nèi)最高溫度和最低溫度的差值即為溫度振幅，其與Ma呈近似的線性關(guān)系[15]。利用線性外推法可確定不同磁場強(qiáng)度作用下流動轉(zhuǎn)變的臨界Macri。圖5給出了當(dāng)?shù)撞繜崃鱍=1.3461×10-2，Ha數(shù)分別為0、10、20和30時，監(jiān)測點P處的無量綱溫度振幅A與Ma數(shù)之間的變化規(guī)律。

表2給出了相應(yīng)條件下臨界Macri和線性擬合公式?？梢钥闯觯诒３值撞繜崃髅芏群愣ǖ那闆r下，隨著軸向磁場不斷增強(qiáng)，臨界Macri不斷增加且變化幅度愈來愈大，說明軸向磁場的引入會提高M(jìn)arangoni-熱毛細(xì)對流的穩(wěn)定性。

表2 Q=1.3461×10-2時不同Ha數(shù)下的臨界水平溫差MacriTable 2 Critical Ma with different Ha when Q=1.3461×10-2

圖5 Q=1.3461×10-2時不同Ha數(shù)下監(jiān)測點P處溫度振幅A與水平溫差Ma的關(guān)系Fig.5 Change of the temperature amplitude A with Ma at the point P for different Ha when Q=1.3461×10-2

圖6 Ma=3950(ΔT=20 K)，Q=1.3461×10-2時，不同Ha數(shù)下監(jiān)測點P處溫度變化Fig.6 Ma=3950, Q=1.3461×10-2, temperature evolution at the monitoring point P for different Ha

圖7 Ma=3950(ΔT=20 K)，Q=1.3461×10-2時，不同Ha數(shù)下自由表面溫度波動情況Fig.7 Ma=3950, Q=1.3461×10-2, free surface temperature fluctuation

3.3 軸向磁場對非穩(wěn)態(tài)流動的影響

由表2可知，在沒有軸向磁場的作用下，當(dāng)Ma>3385.3時，流動為非穩(wěn)態(tài)振蕩對流。為了研究軸向磁場對非穩(wěn)態(tài)流動的影響，對水平溫差Ma=3950(ΔT=20 K)時，不同Ha數(shù)下的熔體流動進(jìn)行了一系列數(shù)值模擬。圖6給出了自由表面監(jiān)測點P處溫度隨時間的變化情況，從圖中可以看出：當(dāng)磁場強(qiáng)度為零時(Ha=0)，溫度振蕩混亂而無規(guī)律；隨著磁場強(qiáng)度不斷增大(10≤Ha≤20)，溫度呈現(xiàn)規(guī)律的等幅振蕩，但流動仍保持三維非穩(wěn)態(tài)狀態(tài)；當(dāng)Ha=30時，此時Ma數(shù)已小于對應(yīng)磁場強(qiáng)度下的臨界Macri，溫度振幅減小至零，流動由非穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榉€(wěn)態(tài)。

圖7所示為Ma=3950時，不同磁場強(qiáng)度下自由表面的溫度波動圖。當(dāng)未施加軸向磁場時(Ha=0)，自由表面溫度波動為一種典型的熱流體波，呈現(xiàn)出彎曲的輪輻狀；引入軸向磁場后(10≤Ha≤20)，流動的不穩(wěn)定性逐漸減弱，溫度波動由原來的熱流體波轉(zhuǎn)變?yōu)椴鏍罱Y(jié)構(gòu)；當(dāng)Ha=30時，自由表面呈現(xiàn)出明暗相間的直條紋，波動結(jié)構(gòu)由三維非穩(wěn)態(tài)流動過渡為三維穩(wěn)態(tài)流動，波數(shù)m=11；隨著磁場強(qiáng)度進(jìn)一步增大(40≤Ha≤50)，此時磁場對流動的影響較小，與圖4中的計算結(jié)果類似，溫度波動結(jié)構(gòu)基本保持不變，但自由表面波數(shù)先減小后增大。

圖8 Ma=3950(ΔT=20 K)，Q=1.3461×10-2時，不同Ha數(shù)下自由表面徑向速度分布Fig.8 Ma=3950，Q=1.3461×10-2，radius velocity distributions on free surface

圖8給出了Ma=3950時，不同磁場強(qiáng)度下自由表面熔體徑向速度分布圖。從圖中可以看出，最大無因次徑向速度出現(xiàn)在靠內(nèi)壁面附近。隨著磁場強(qiáng)度的不斷增加，徑向速度沿徑向分布的非線性程度不斷減弱，速度分布曲線愈加平緩。當(dāng)Ha=0時，最大無因次徑向速度為7490.67；而Ha=50時，最大無因次徑向速度為6850.74，最大無因次徑向速度隨著磁場強(qiáng)度的增加而不斷減小，表明洛倫茲力對熔體流動的具有顯著的抑制效果。

表3給出了水平溫差Ma=2370、3950(ΔT=12 K 、20 K)，熔體在Ha數(shù)為0、10、20、30、40、50下，自由表面最大溫度波動值。從表中可以看出，軸向磁場對穩(wěn)態(tài)和非穩(wěn)態(tài)Marangoni-熱毛細(xì)對流均有抑制作用，當(dāng)磁場強(qiáng)度Ha=30時，自由表面最大溫度波動值呈數(shù)量級遞減，此時磁場對流動的抑制效果最為明顯。隨著磁場強(qiáng)度進(jìn)一步增大(40≤Ha≤50)，自由表面最大溫度波動值變化幅度逐漸減弱，這是因為此時熔體流動已較為微弱，磁場對流動的抑制效果也逐漸減弱，這與圖4和圖7中自由表面溫度波型結(jié)構(gòu)的演變過程相吻合。同時也可以看出，在磁場強(qiáng)度保持一定的情況下，隨著水平溫差梯度的增加，自由表面最大溫度波動值不斷增大，熔體內(nèi)部流動也更為劇烈。

表3 不同Ha數(shù)下Ma=2370、3950時自由表面最大溫度波動值Table 3 Maximum temperature fluctuation value with different Ha when Ma=2370, 3950

4 結(jié) 論

本文采用三維數(shù)值模擬方法研究了軸向磁場對雙向溫差作用下Czochralski淺液池內(nèi)Marangoni-熱毛細(xì)對流的影響，主要討論了軸向磁場對臨界Macri、穩(wěn)態(tài)流動和非穩(wěn)態(tài)流動的影響，結(jié)果表明：

(1)在底部熱流密度恒定的情況下，確定了不同Ha數(shù)下流動由三維穩(wěn)態(tài)向三維非穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變的臨界Macri。隨著Ha數(shù)的增大，臨界Macri不斷增大，軸向磁場的引入會增強(qiáng)Marangoni-熱毛細(xì)對流的穩(wěn)定性。

(2)軸向磁場對液池內(nèi)穩(wěn)態(tài)和非穩(wěn)態(tài)Marangoni-熱毛細(xì)對流均具有較好的抑制效果。對于穩(wěn)態(tài)流動，磁場的引入會使自由表面溫度波動幅值受到削弱，波數(shù)減少；對于非穩(wěn)態(tài)流動，隨著磁場強(qiáng)度的不斷增加，監(jiān)測點P處的溫度振蕩逐漸減弱直至消失，流動由三維非穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)槿S穩(wěn)態(tài)，自由表面溫度波動結(jié)構(gòu)發(fā)生顯著變化，波動幅值逐漸下降。