胡 川， 鄧明鏡， 趙立都

(重慶交通大學 土木工程學院，重慶 400074)

0 引 言

直線、緩和曲線和圓曲線是道路平面線形的基本元素。線形參數(shù)的反演，在公路普查、建立現(xiàn)有道路路線圖形數(shù)據(jù)庫等方面具有非常重要的作用，特別是圓曲線參數(shù)，影響著緩和曲線參數(shù)、道路里程的計算結果[1]。重心坐標法[2-3]、附有參數(shù)的條件平差法[4]和最小二乘法[5]是3種較為常見的圓曲線參數(shù)估計方法。重心坐標法是根據(jù)不在同一條直線上的3點確定一個圓，將所有觀測坐標進行排列組合，計算各組合點的圓心坐標和半徑，取所有組合計算結果的平均值作為圓曲線參數(shù)的估計值。該方法的優(yōu)點是計算簡單，缺點是平差理論不夠嚴密；附有參數(shù)的條件平差是將圓曲線參數(shù)估計的非線性最小二乘模型轉化為附有參數(shù)的條件平差模型，采用經(jīng)典平差結果直接計算參數(shù)估計值。該方法的優(yōu)點是平差理論相對嚴密，缺點是參數(shù)估計結果易受參數(shù)近似值(初值)的影響[6]。最小二乘法以觀測點到圓曲線距離的平方和為極小值條件，采用換元法將其轉化為普通最小二乘平差模型[7]。該方法的優(yōu)點是避免計算非線性問題，缺點是其極小值條件不完全合理，且不具有明確的幾何意義。道路圓曲線參數(shù)反演既要計算參數(shù)[8-9]，還要估計誤差值，為剔除粗差影響提供基礎保障[10]。近年來，非線性總體最小二乘(nonlinear total least squares，NTLS)引起了測繪數(shù)據(jù)處理領域的研究興趣[11]，針對上述問題，筆者提出一種基于NTLS的道路圓曲線參數(shù)反演算法，直接用觀測誤差定義平差極小值條件(平差準則)，減小參數(shù)初值對估計結果的影響，以提高道路圓曲線參數(shù)反演精度和理論的嚴密性。

1 NTLS反演道路圓曲線參數(shù)模型

用離散觀測數(shù)據(jù)反算道路線形參數(shù)，首先需要識別哪些點屬于哪類線性，例如直線、圓曲線；其次是選用合理、可靠的數(shù)學方法估計其最佳參數(shù)值。筆者假設已識別出圓曲線上的觀測數(shù)據(jù)，重點討論估計圓曲線參數(shù)的NTLS方法。

假設現(xiàn)有GNSS接收機測量的m個圓曲線路面段離散坐標 (xi，yi)，i=1,2,…,m。設該圓曲線段的圓心坐標為(a，b)，半徑為r，則估計該段圓曲線參數(shù)的函數(shù)模型可以表示為

[(xi-exi)-a]2+[(yi-eyi)-b]2=r2

(1)

式中：exi和eyi為與各坐標觀測值相對應的隨機誤差。

NTLS的極小值條件是所有輸入非線性系統(tǒng)的觀測誤差平方和最小。采用數(shù)學語言描述可表達為

(2)

式中：ex和ey分別為與向量x和y相對應的誤差向量。用GNSS采集道路曲線坐標時，通常認為觀測條件相同，屬于等精度觀測，觀測誤差服從期望為0，方差為σ2的正態(tài)分布，它們對應的權矩陣都是單位矩陣。

2 3種極小值條件的比較

附有參數(shù)的條件平差法、最小二乘法和NTLS，都是在某一極小值條件下，估計道路圓曲線參數(shù)的最佳近似值。它們的極小值條件分別為式(3)、式(4)和式(2)：

(3)

(4)

(5)

通過觀察它們的幾何關系，可以發(fā)現(xiàn)，觀測誤差exi、eyi和半徑誤差eri，分別是直角三角形的垂直邊和斜邊，它們滿足勾股定理，即

(6)

(7)

比較式(7)和式(2)，不難發(fā)現(xiàn)它們具有一致性，這說明，同附有參數(shù)的條件平差法一樣，NTLS的極小值條件具有明確的幾何意義，比最小二乘法定義的極小值條件更合理。

3 NTLS反演道路圓曲線參數(shù)的解算

將式(1)變形，得到非線性總體最小二乘平差函數(shù)式(8)：

f(ex,ey,a,b,r)=[(x-ex)-a]2+[(y-ey)-b]2-r2

(8)

令a=a0+δa，b=b0+δb，r=r0+δr，對式(8)進行線性化，整理后可得

AE+Bξ-W=0

(9)

式中：

A=[A1,A2]

(10)

(11)

(12)

ξ=[δaδbδr]T

(13)

(14)

用上述符號，可將NTLS平差極小值條件式(2)重新表達為

ETPE=min

(15)

式中：P=I2m，I2m是大小為2m×2m的單位矩陣。

采用拉格朗日乘數(shù)法求解NTLS，首先需要構造目標函數(shù)，根據(jù)式(9)和式(15)，可將該目標函數(shù)描述為

F(E,ξ,λ)=ETPE+2λT(AE+Bξ-W)

(16)

式中：λ是拉格朗日乘子。

將式(16)分別對E，ξ和λ求偏導數(shù)，并令它們等于0，即

(17)

(18)

(19)

式中：帶波浪線和小帽的符號分別表示最佳預測值和最佳估計值。

對式(17)～式(19)進行整理，可以得到參數(shù)修正值和誤差預測值的計算公式，即

(20)

(21)

驗后單位權方差的計算公式為

(22)

4 NTLS反演圓曲線參數(shù)算法

Step1：計算參數(shù)初值。

Step2：計算參數(shù)估計值。

1)計算觀測量和半徑的估計值

3)計算參數(shù)修正值和誤差預測值

4)更新參數(shù)值

Step3：判斷是否終止迭代。

5 實驗分析

為驗證、測試筆者提出的算法，設計模擬數(shù)據(jù)(實驗1)和實測數(shù)據(jù)(實驗2)兩個實驗。

5.1 實驗1

為保證模擬數(shù)據(jù)盡可能地接近實測數(shù)據(jù)，按如下規(guī)則產(chǎn)生1 000組含有隨機誤差的觀測數(shù)據(jù)。首先，設置接近實際的圓心坐標和半徑，(a,b)=(436000,32400)，r=700 ，單位m；其次，從180°開始，在圓心角為5°所對應的圓弧上，用參數(shù)方程，等間距計算出20個不含有誤差的圓曲線點坐標；最后，給這些精確的坐標值，附加上期望為0，中誤差為0.05 m(方差： 0.002 5 m2)的隨機誤差，模擬1 000次，得到1 000組模擬觀測數(shù)據(jù)。

分別采用重心坐標法、最小二乘法、附有參數(shù)的條件平差法和NTLS對這1 000組數(shù)據(jù)進行擬合，估計出圓心坐標和半徑，將4種方法每次估計的參數(shù)與真值做差，結果如圖1。從圖1可以看出：①4種方法的估計結果存在明顯差異；②相對于其它兩種方法而言，附有參數(shù)的條件平差法和NTLS的估計結果更穩(wěn)定，特別是后者；③NTLS的估計值與真值最為接近；④附有參數(shù)的條件平差法估計的圓半徑始終存在明顯偏差。

圖1 估計值與真值之差Fig. 1 Difference between estimated value and truth value

圖2描述了附有參數(shù)的條件平差法和NTLS估計的驗后單位權方差值，它們的平均值分別為24.379 7和0.002 7，顯然，后者更接近先驗值。

圖2 驗后單位權方差估計值Fig. 2 Estimated values of posteriori unit weight variance

5.2 實驗2

實測數(shù)據(jù)實驗，數(shù)據(jù)來源于文獻[3]，如表1。仍然采用上述4種方法反演道路圓曲線參數(shù)，反演結果如表2, 對應的圖形描述如圖3。

表1 GNSS實測道路圓曲線坐標Table 1 GNSS measured road circular curve coordinates m

表2 實驗2參數(shù)估計結果Table 2 Parameter estimation results in experiment 2 m

圖3 實測道路圓曲線反演結果Fig. 3 Inversion results of measured road circular curve

從表2可以發(fā)現(xiàn)，4種方法的反演結果存在明顯差異，其中附有參數(shù)的條件平差法反演的圓曲線半徑明顯小于其余方法，其驗后單位權方差遠大于NTLS，這與模擬計算結果一致。考慮到道路圓曲線的半徑一般較大，在實驗2中采用重心坐標法和NTLS更為合理。但是，考慮到實驗1的結果，后者比前者不僅穩(wěn)定性更好，而且更接近真值。因此，綜合考慮，在道路圓曲線參數(shù)反演中推薦使用NTLS。

6 結 論

道路圓曲線參數(shù)的反演是恢復道路線形參數(shù)的關鍵。當采樣點坐標x和y都含有誤差時，同時考慮它們的影響，并直接對它們進行處理，有助于提高參數(shù)估計精度，增加平差理論的嚴密性。根據(jù)前文的討論，在道路圓曲線參數(shù)反演中，可以得出如下結論：

1)NTLS的極小值條件等價于點到圓曲線距離平方和最小條件。

2)NTLS反演道路圓曲線參數(shù)，與其余3種方法相比較，不僅穩(wěn)定性好，而且精度更高。

3)綜合考慮，就筆者討論的4種方法而言，推薦使用NTLS反演道路圓曲線參數(shù)。

事實上，不僅觀測數(shù)據(jù)本身含有粗差，而且一些被錯誤識別的點也屬于粗差，因此采用穩(wěn)健總體最小二乘估計圓曲線參數(shù)其理論更嚴密，這將是我們進一步研究的方向。