王丙苗， 陳三強， 劉文黎， 陳世杰， 韓 鵬， 李 黎， 同一村

(1. 武漢地鐵運營有限公司， 湖北 武漢 430030； 2. 華中科技大學 土木工程與力學學院， 湖北 武漢 430074)

近十年來，城市軌道交通以其施工便捷、快速及對環(huán)境影響小等優(yōu)點得到快速發(fā)展，如今漸漸形成了以地鐵為軸線的交通網(wǎng)絡，但伴隨著大量的臨近施工活動(如堆載、基坑施工等)，可能對地鐵的正常運營帶來明顯的影響。鄰近工程活動會對臨近的運營盾構地鐵結構帶來許多安全隱患(如滲漏水、管片開裂、道床脫開等病害)，以及結構使用性能的降低風險。

目前已有部分關于臨近活動對盾構地鐵結構影響的分析成果。邵華等[1]分析堆載引起的盾構隧道變形及病害特征，并對卸載及綜合加固整治措施及效果進行分析。Zhang等[2]研究周圍深基坑開挖對地鐵的影響。何川等[3]探討和揭示圍巖條件、隧道凈距、頂推力等因素對已建平行隧道的變形和附加內力分布變化規(guī)律的影響。賀美德[4]等分析淺埋暗挖(Cross Diaphragm，CRD)法上穿盾構隧道施工，分別對隧道結構豎向位移、隧道結構水平收斂位移及道床結構豎向位移3種變形的影響。Yamamoto等[5]分析了堆載對既有地鐵的影響。王如路等[6]提出了以隧道直徑變化作為隧道橫向結構性態(tài)發(fā)展的判定指標。這些研究主要分析周圍活動對地鐵的變形、受力規(guī)律等因素的影響，缺少運營地鐵結構安全的評估研究。

國內外研究學者通常采用基于定性評價方法(如事故樹分析、影響圖法等)識別地鐵結構的安全狀態(tài)，然而這些方法參數(shù)屬性區(qū)間劃分和權重設置存在較大的主觀判斷，基于此，本文采用結構可靠度分析這個定量評估方法。傳統(tǒng)的系統(tǒng)可靠性分析通常假設系統(tǒng)部件和各組成單元之間相互獨立，其分析結果往往將多種失效模式進行失效概率疊加，然而在地鐵運營安全可靠性評價中，系統(tǒng)出現(xiàn)故障的致險因素非常復雜，且相互之間存在復雜的時間耦合交互作用關系，本文采用Copula理論實現(xiàn)參數(shù)失效模式的相依性疊加。另外，由于地鐵周圍的臨近活動具有明顯的時效性，傳統(tǒng)的安全評價往往局限于靜態(tài)過程的推理，難以反映時空變化對地鐵運營安全風險演化的實時影響。故而本文采用貝葉斯更新理論，考慮時變效應下臨近環(huán)境變化對地鐵結構安全的影響，建立較為精確的運營地鐵安全狀態(tài)評價模型。

參考相關文獻資料，首先選取評價地鐵結構安全可靠性的指標參數(shù)；再采用不同的Copula函數(shù)構建這兩個參數(shù)的相依性模型，并通過AIC(Akaike Information Criterion)和BIC(Bayesian Information Criterion)準則識別出最優(yōu)的Copula模型；然后，基于Weibull分布的Frank Copula可靠性模型構建，結合貝葉斯統(tǒng)計推斷理論和馬爾科夫鏈蒙特卡洛(Markov Chain Monte Carlo，MCMC)以及Metropolis-Hastings算法抽樣技術，對指標的邊緣分布和相依型聯(lián)合分布函數(shù)進行參數(shù)估計與統(tǒng)計推斷，得到參數(shù)的后驗分布和相關統(tǒng)計量，從而實現(xiàn)評價模型的實時更新，得到Copula二元離散時變相依模型；最后，以武漢地鐵2號線某段區(qū)間為工程背景，利用Copula函數(shù)構建指標的二元聯(lián)合分布函數(shù)模型，從而在考慮指標因素之間相依性的情況下，采用蒙特卡洛模擬法，得出該段地鐵工程的安全可靠度。通過運營地鐵結構的相依性建模及安全可靠度評價，能夠更準確和全面地捕捉到數(shù)據(jù)中蘊含的信息，實現(xiàn)運營地鐵結構安全性的準確評價，為運營地鐵的安全管控提供更精準的信息支持。

1 貝葉斯Copula相依性建模理論

1.1 基于Copula理論的相依性模型原理

Copula方法基于Sklar定理[7]：設F(x1，x2，…，xn)為邊緣分布函數(shù)的聯(lián)合分布函數(shù)F(x1)，F(xiàn)(x2)，…，F(xiàn)(xn)，存在對于n維Copula，x1，x2，…，xn有：

F(x1,x2,…,xn)=C[F1(x1),F2(x2),…,Fn(xn)]

(1)

式中：C為F(x1),F(x2),…,F(xn)的Copula函數(shù)。

Sklar定理將多維參數(shù)聯(lián)合分布的構建過程分為兩個步驟：(1)從樣本數(shù)據(jù)估計邊緣分布的統(tǒng)計參數(shù)；(2)最優(yōu)Copula函數(shù)識別。根據(jù)Sklar定理，兩個隨機變量x1，x2的兩參數(shù)聯(lián)合分布如下：

F(x1,x2)=C(F1(x1),F2(x2),θ)=C(u1,u2,θ)

(2)

式中：u1,u2為Copula函數(shù)中的邊緣分布函數(shù)，θ為x1，x2之間的相關性測度。

(1)Copula函數(shù)的類型

本文選擇的Copula函數(shù)如表1所示。其中，Gaussian為橢圓族Copula函數(shù)，Clayton，Gumbel，F(xiàn)rank Copulas為常用的阿基米德Copula函數(shù)。

表1 本文采用的Copula函數(shù)類型

注：Φρ為相關系數(shù)矩陣為ρ的標準正態(tài)分布函數(shù)

(2)Copula函數(shù)參數(shù)θ的估計

Copula參數(shù)θ可以通過Pearson線性相關系數(shù)或秩相關系數(shù)來確定[8]。由于Pearson系數(shù)在線性條件下能保持不變，但在非線性條件下不穩(wěn)定，故而本文采用Kendall秩相關τk來確定Copula參數(shù)。τk可以度量兩個隨機變量的依賴性程度，對于具有N個值的兩變量x1，x2的非參數(shù)估計τk可以由式(3)計算：

(3)

這里，sign(·)定義為：

(4)

根據(jù)Copula理論，τk可以用Copula函數(shù)表示：

(5)

因此，與給定的Copula函數(shù)相關聯(lián)的Copula參數(shù)θ可以通過求解上述積分方程來確定。

(3)最優(yōu)Copula函數(shù)識別

在確定Copula參數(shù)θ之后，可以唯一地得到Copula聯(lián)合分布函數(shù)和Copula聯(lián)合概率密度分布函數(shù)。然后，可以使用Akaike信息準則AIC和貝葉斯信息準則BIC的計算值區(qū)分識別最優(yōu)Copula函數(shù)，公式如下：

(6)

(7)

(8)

式中：k為Copula參數(shù)的數(shù)量，本文中k值為1；N為相關數(shù)據(jù)的樣本大小。當AIC和BIC取值最小時所對應的Copula函數(shù)為最優(yōu)Copula函數(shù)。

1.2 貝葉斯推斷理論

一個典型的貝葉斯分析通常由三個主要過程組成[9]：(1)一個能刻畫所有變量包括樣本數(shù)據(jù)、缺失數(shù)據(jù)和未知參數(shù)關系的全概率模型即聯(lián)合分布；(2)用適當?shù)暮篁灧植紝ξ粗獏?shù)進行描述；(3)所用模型的評價與選擇。聯(lián)合概率分布可表示為聯(lián)合概率分布參數(shù)θ的似然函數(shù)X參數(shù)的先驗分布，即

p(y,θ)=p(y|θ)f0(θ)

(9)

利用貝葉斯定理

(10)

獲得參數(shù)的后驗分布完成步驟2。當參數(shù)θ為離散時，積分符號用求和符號替代。

分母P(y)看成常數(shù)，在實際中，求P(y)的值很不容易，但通常用馬爾可夫蒙特卡羅方法估計。假設參數(shù)向量不止一個分量，如θ=(θ1，θ[-1])，其中θ[-1]為除第一個分量處的所有分量組成的向量。可對多余參數(shù)向量θ[-1]積分剔除得到參數(shù)θ1，即

(11)

1.3 馬爾可夫鏈蒙特卡羅(MCMC)方法

選擇通過運行一個以π為穩(wěn)定分布的馬爾可夫鏈來產生相關樣本，此方法稱為馬爾可夫鏈蒙特卡羅(MCMC)方法，Metropolis等首先提出具有非常一般性的產生馬爾可夫鏈的方法，假設馬爾可夫鏈是不可約的、非周期并且收斂到唯一的平穩(wěn)分布π(x)，則每個馬爾可夫鏈蒙特卡羅計算的實質就是對某一給定函數(shù)h(·)的均值Eπh(x)的估計。在過去的幾十年中此方法受到廣大學者充分的重視從而迅猛發(fā)展[9,10]。抽樣方法有重點抽樣、Metropolis抽樣、Metropolis-Hastings抽樣、隨機游走Metropolis抽樣和Gibbs抽樣算法。本文采用Metropolis-Hastings抽樣算法。

(12)

1.4 MCMC收斂診斷

根據(jù)馬爾可夫鏈的遍歷性，所有基于MCMC的統(tǒng)計推斷都是在假定Markov鏈已經收斂的條件下進行的。所以MCMC的收斂性診斷對于用參數(shù)的后驗估計有重要影響。目前MCMC收斂診斷的方法很多，本節(jié)主要介紹應用最廣泛的G-R(Gelman-Rubin)收斂診斷方法。MCMC收斂診斷方法基于用正態(tài)分布近似目標分布π的理論，主要由以下幾步構成[9]：

(1)開始抽樣之前，找一個簡單的分布f(x)，該分布相對于目標分布而言是過度擴散的，并且從f(x)中產生m個獨立同分布樣本；

(2)將得到的m個獨立同分布樣本作為抽樣的初始狀態(tài)，開始m個獨立抽樣，讓每條鏈運行2n次迭代；

(3)每條鏈分別迭代2n次，將前n次“退火”舍棄，將其記為xij,i=1,2,…,m，j=1,2,…,n；然后利用余下的n次迭代結果xij，計算m條鏈內方差的平均值W和m條平行鏈均值間的方差B，即

(13)

(14)

2 工程背景

武漢地鐵長港路—漢口火車站區(qū)間始于長港路站南端，橫穿常青三路、紅旗渠路、漢丹鐵路、常青一路后向南進入漢口火車站站場到漢口火車站北端止。2016年3月份該區(qū)間隧道在DK3+750—DK3+945段地面有面積堆土，堆土高出原設計標高(21.8 m)6 m多，導致運營地鐵管片出現(xiàn)大規(guī)模病害(如：裂縫、滲漏水、道床脫空等)，給地鐵結構的正常運營帶來了巨大隱患。

本區(qū)間自上而下地層依次為1-1填土層、3-1粘土層、3-3層淤泥質粉質粘土，3-4層淤泥質粉質粘土夾粉土、粉砂，3-5層粉質粘土、粉土、粉砂互層，4-1層粉細砂，4-2層細砂。區(qū)間隧道主要穿越3-3層淤泥質粉質粘土，3-4層淤泥質粉質粘土夾粉土、粉砂，局部穿越承壓水層，承壓水主要位于3-5粉質粘土、粉土、粉砂互層，4-1粉細砂層，4-2細砂層，水位標高約為地面以下2.2～3.5 m。其土質分布圖如圖1所示。

圖1 長港路—漢口火車站區(qū)間土質分布

此工程中，隧道管片在地表堆土荷載的作用下，出現(xiàn)了明顯的病害特征，如圖2，主要體現(xiàn)在：(1)隧道出現(xiàn)最大超過100 mm的凈空收斂。拱頂收斂-105 mm，水平收斂最大值為+91 mm，左線在ZDK3+900處(384環(huán))，右線在YDK3+900處(399環(huán))。(2)隧道出現(xiàn)了最大約為1‰的差異沉降。左線2016年3月以來沉降較明顯為ZDK3+680.505—ZDK3+945，隧道差異沉降最大區(qū)段為ZDK4+227—ZDK4+254.085，左線隧道最大差異沉降為0.98‰<1.6‰～2‰。右線2016年3月以來沉降較明顯為YDK3+714—YDK3+946，隧道差異沉降最大區(qū)段為YDK3+785—YDK3+819，右線隧道最大差異沉降為1.02‰<1.6‰～2‰。

圖2 堆載區(qū)運營地鐵病害情況

3 基于Copula函數(shù)和貝葉斯更新的地鐵運營安全時變可靠性分析

參考同濟大學黃宏偉教授對上海某地鐵區(qū)間突發(fā)堆載問題的研究成果[1,11,12]，選取凈空收斂(Convergence Deformadon，CD)和差異沉降(Differential Settlement，DS)作為評價地鐵結構安全可靠性的指標，并采用該堆載段監(jiān)測得到的凈空收斂和差異沉降數(shù)據(jù)作為構建貝葉斯更新的Copula函數(shù)模型的數(shù)據(jù)來源。構建兩變量參數(shù)的相依性模型時，參數(shù)的邊緣分布常常選用相同的分布函數(shù)類型，并用極大似然法來估計兩參數(shù)的相關系數(shù)。

3.1 最優(yōu)Copula函數(shù)參數(shù)相依性建模

(1)最優(yōu)邊緣分布擬合函數(shù)的識別和選擇

在Copula理論框架下構造變量的聯(lián)合分布函數(shù)可以分兩步進行：1)選擇估計變量的邊緣分布擬合函數(shù)；2)選擇識別最優(yōu)的Copula函數(shù)。為了較好地識別出最優(yōu)的邊緣分布函數(shù)，選取AIC和BIC準則對監(jiān)測得到的收斂和沉降值進行檢驗，從而分析得出最優(yōu)的邊緣分布函數(shù)對原監(jiān)測數(shù)據(jù)進行擬合。表2給出了收斂和沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)的各種統(tǒng)計量。

表2 監(jiān)測參數(shù)的統(tǒng)計量 mm

選用AIC和BIC準則對備選邊緣函數(shù)進行最優(yōu)邊緣分布函數(shù)檢驗，如表3。根據(jù)AIC和BIC準則，AIC和BIC值最小的威布爾分布函數(shù)為最優(yōu)邊緣分布函數(shù)，從表中發(fā)現(xiàn)，Gamma分布的擬合效果與Weibull分布較為接近，其次是正態(tài)分布，而指數(shù)分布的擬合效果最差。

表3 AIC和BIC準則的最優(yōu)邊緣分布函數(shù)檢驗

(2)最優(yōu)Copula函數(shù)的識別和選擇

基于自動化監(jiān)測系統(tǒng)采集的盾構地鐵結構左右線的凈空收斂(CD)和差異沉降(DS)監(jiān)測數(shù)據(jù)作為原始數(shù)據(jù)，左右線地鐵監(jiān)測截面的凈空收斂和差異沉降之間Peason及Kendall秩相關系數(shù)，采用Kendall秩相關系數(shù)能對Copula函數(shù)的相關參數(shù)進行非參數(shù)估計，可得Clayton，Gaussian，Gumbel，F(xiàn)rank 等Copula函數(shù)的相關參數(shù)，如表4所示。

計算左右線凈空收斂和差異沉降的不同Copula函數(shù)的AIC和BIC準則計算值，并選擇具有最小AIC和BIC值的Copula函數(shù)作為擬合參數(shù)凈空收斂和差異沉降間相關結構最優(yōu)的Copula函數(shù)，結果見表4。由表4可知，AIC和BIC計算值由小到大依次是Frank、Gumbel、Clayton和Gaussian Copula函數(shù)，F(xiàn)rank Copula函數(shù)具有最小的AIC和BIC值，是通過AIC和BIC準則識別出來的最優(yōu)Copula函數(shù)。而Gaussian Copula函數(shù)的AIC和BIC準則計算值較其他三個阿基米德族Copula函數(shù)計算值大很多，說明其擬合效果較差，表明左右線的凈空收斂值和差異沉降值呈現(xiàn)非正態(tài)的相依結構。

表4 Copula函數(shù)相關參數(shù)計算結果

為更直觀比較不同Copula函數(shù)之間的差異，給出了四種不同的Copula函數(shù)的模擬結果，如圖3所示。

圖3 不同Copula函數(shù)模擬散點圖

3.2 二元Weibull分布的Frank模型時變更新

選取該堆載段監(jiān)測得到的CD和DS數(shù)據(jù)作為構建貝葉斯更新的Copula函數(shù)模型的數(shù)據(jù)來源。首先以2016年4月1日—2016年5月30日的原始CD和DS監(jiān)測數(shù)據(jù)作為樣本數(shù)據(jù)進行參數(shù)估計，假設CD和DS分別屬于Weibull{λ1,κ1}和Weibull{λ2,κ2}分布。得到左線Weibull分布參數(shù)θ,λ1，λ2，κ1，κ2的均值，分別為θ=3.377，λ1=2.381，κ1=2.105，λ2=26.567，κ2=1.491，這些參數(shù)的先驗分布統(tǒng)計值見表5所示。再分別采用Weibull和Gamma分布來擬合這些參數(shù)，得到其邊緣分布函數(shù)，發(fā)現(xiàn)Weibull分布的擬合效果較好，假定相依參數(shù)θ～N(μ,σ2)，參數(shù)λ1,λ2,κ1,κ2的先驗分布為Weibull分布，同時假定它們之間相互獨立，即λi～Weibull(ai,bi)，κi～Weibull(ci,di)，i=1, 2。擬合得到超參數(shù)的取值，即a1=28.25，b1=56.12，a2=15.85，b2=83.25，c1=27.51，d1=52.28，c2=16.25，d2=86.57。

表5 參數(shù)的先驗分布統(tǒng)計值

采用MCMC抽樣算法，產生5條Markov鏈，從Weibull邊緣分布函數(shù)以及參數(shù)θ=3.377的FrankCopula模型抽樣10000個樣本，對前5000個樣本進行“舍棄”，利用每條鏈的后5000個抽樣樣本進行模擬分析，圖4為MCMC抽樣第1和第5條鏈參數(shù)的后驗密度圖。

圖4 各參數(shù)的后驗概率密度圖

圖4中分別采用Weibull和Gamma分布函數(shù)進行擬合，發(fā)現(xiàn)Weibull分布的擬合效果更好，這樣驗證了選用Weibull分布作為擬合各參數(shù)的準確性和合理性。對比第1條鏈和第5條鏈各參數(shù)的后驗概率密度圖發(fā)現(xiàn)，兩條MCMC仿真得出的數(shù)據(jù)相似度較高，表明本文構建的MCMC仿真的收斂性和穩(wěn)定性。圖5給出第1和5條鏈各參數(shù)的動態(tài)軌跡圖，發(fā)現(xiàn)除去較少的奇異點外，Markov鏈數(shù)據(jù)基本平穩(wěn)，且兩條鏈上各參數(shù)的取值大致相同。從這兩條鏈的迭代軌跡圖可知，迭代的Markov鏈收斂，MCMC仿真過程是平穩(wěn)的。

圖5 各參數(shù)的動態(tài)軌跡

通過“退火”舍棄5000樣本量，從5條鏈的動態(tài)軌跡圖可以知道每條鏈收斂，對每條鏈的后5000個樣本進行統(tǒng)計分析，得出參數(shù)估計的均值、標準差和95%的置信區(qū)間如表6所示。對比表5，6可知，參數(shù)先驗分布和后驗分布的均值大致相同，但后驗分布的參數(shù)標準差小于先驗分布標準差，θ的標準差從0.034減少到0.029，減少14.7%；λ1的標準差從0.028減少到0.021，減少25.0%；κ1的標準差從0.029減少到0.022，減少24.1%；λ2的標準差從0.310減少到0.256，減少17.4%；κ2的標準差從0.022減少到0.018，減少18.2%，說明模型參數(shù)經過貝葉斯更新后，參數(shù)的不確定性降低。

表6 模型參數(shù)貝葉斯更新參數(shù)后驗分布統(tǒng)計值

4 地鐵運營安全可靠性分析

以上詳細的介紹了基于Copula函數(shù)和參數(shù)貝葉斯更新的凈空收斂(CD)和差異沉降(DS)二元離散時變相依模型構建過程，為驗證該模型的準確性和實用性，將該模型運用于武漢地鐵長港路—漢口火車站堆載區(qū)間的安全可靠性評價上，擬用該模型精確評估盾構地鐵區(qū)間的安全狀態(tài)，并用該結果指導運營地鐵的安全管控。

4.1 基于可靠度理論的運營安全控制

確定盾構地鐵結構的風險狀態(tài)水平，有助于對運營盾構地鐵結構的安全進行管控。本文將系統(tǒng)的失效概率作為判斷建筑風險狀態(tài)的基礎，為研究盾構地鐵結構的安全可靠性，采用蒙特卡洛模擬法確定系統(tǒng)的失效概率，計算公式為：

(15)

國內外的“可靠度設計統(tǒng)一標準”[13, 14]，均給出與結構安全等級對應的最小目標可靠性指標。在結構完成設計后，結構的最小目標可靠性指標往往被用于結構的安全性校核，若設計出的結構可靠性指標大于與設計安全等級對應的最小目標可靠性指標，便可認為該結構滿足安全性要求。本文提出承載能力極限狀態(tài)下結構的可靠性指標值，如表7所示。

表7 可靠度指標β的地鐵隧道安全分級標準

本文綜合分析了以上各個規(guī)范的規(guī)定，提出了根據(jù)結構安全可靠度指標β的地鐵隧道安全等級劃分標準(見表7)。其運用思路如下：首先得出基于正常使用極限狀態(tài)下結構的失效概率，其次得出地鐵隧道安全可靠度指標β，再次利用表7得到此時地鐵隧道所處的安全等級，最后得出地鐵運營時所需保護措施。

4.2 盾構地鐵運營安全可靠度對比分析

受到周圍多源不確定性環(huán)境因素的影響，地鐵結構通常存在一定的變形響應，而一些變形指標經常被作為關鍵性能指標(Key Performance Indicators，KPIs)用于評判盾構地鐵結構的安全服役狀態(tài)，采用凈空收斂和差異沉降作為盾構地鐵運營安全可靠性分析的評價指標。

利用2016年4月1日的監(jiān)測數(shù)據(jù)，若不考慮參數(shù)的相依性構建100000組數(shù)據(jù)的凈空收斂(CD)和差異沉降(DS)散點圖如圖6所示，可見參數(shù)獨立時CD和DS的分布非常離散，均勻的分布在坐標系內。同時，利用Copula理論構建了CD和DS的二元聯(lián)合分布模型，利用蒙特卡洛法能夠得到100000組數(shù)據(jù)點，用于盾構地鐵運營安全的可靠性分析，如圖7所示。從圖6，7可知，利用Copula函數(shù)構建的相依性模型生成的散點較獨立時更加集中，且不同Copula相依模型有不同的聚集特征，表征了不同的參數(shù)相依特性。

圖6 參數(shù)獨立時左右線CD和DS散點圖

圖7 左線不同Copula函數(shù)模擬CD和DS散點圖

為比較直觀地觀察系統(tǒng)的失效區(qū)域，圖6， 7給出了系統(tǒng)安全區(qū)域示意圖，處在該區(qū)域外的散點為失效點。根據(jù)蒙特卡洛法基本原理，系統(tǒng)的失效概率值為處于安全區(qū)域外散點占全部散點的比例值。對比圖6，7發(fā)現(xiàn)，Copula相依性模型改變了散點的分布規(guī)律，從而影響了系統(tǒng)的失效概率和可靠度。事實上，現(xiàn)實的參數(shù)之間存在一定的相依關系，意味著傳統(tǒng)的參數(shù)獨立模型計算可靠度結果的不準確性，表明了利用所采用的相依性模型能夠提高系統(tǒng)可靠性計算的精度。

在2016年4月1日監(jiān)測數(shù)據(jù)的基礎上，利用可靠度理論可以利用各Copula函數(shù)構建的相依性模型，得出系統(tǒng)的pf如表8所示。由表8可知，不同的Copula函數(shù)計算得到的pf不同，以盾構地鐵左線為例，pf最大的是Gaussian Copula為0.02688，其次是Gumbel和Frank Copula為0.02484，0.02466，Clayton Copula的失效概率值最小為0.02180，最大值(Gaussian Copula)和最小值(Clayton Copula)之間相差23.3%，表明不同的Copula函數(shù)相依模型的計算結果可能相差較大。由于經AIC和BIC準則判斷出最優(yōu)Copula函數(shù)是Frank Copula函數(shù)，故而選取Frank Copula函數(shù)的計算結果為最終得到的失效概率結果。對比Frank Copula相依性模型和相互獨立時計算得出的pf發(fā)現(xiàn)，兩者差值為0.01126，相差45.6%，表明利用相依性建模的結果與參數(shù)獨立的情況相差非常大，進一步驗證了利用相依性建模的準確性和必要性。

表8 不同Copula模型及相互獨立下地鐵結構的pf %

利用失效概率pf可以得到系統(tǒng)的可靠度指標β見表9，從表9可知，該區(qū)段左右線盾構地鐵的β值皆小于2.3，2016年4月1日，該區(qū)段的地鐵左右線區(qū)間均處于IV級風險，需制定運營風險控制專項研究方案，嚴密監(jiān)測地鐵運營的安全狀態(tài)。

表9 不同的Copula模型及相互獨立下地鐵結構的β

4.3 基于貝葉斯-Copula模型的可靠度

2016年4月14日下午—2016年4月20日進行地面卸土，同時中鐵隧道院進行隧道內監(jiān)測，武漢路源工程質量檢測有限公司進行裂縫檢測。于4月14日起，開始采用加固措施：(1)借鑒武漢地鐵4號線一期洪—漢區(qū)間隧道內裂縫處理的實際經驗，針對收斂小于7 cm且裂縫寬度大于0.2 mm的管片，對于隧道頂開裂的管片分塊，首先采用環(huán)氧漿液壓力注漿封閉裂紋，然后采用粘貼芳綸布處理；(2)借鑒武漢地鐵盾構施工期間受損管片加固補強措施，對于收斂大于等于7 cm且裂縫寬度大于0.2 mm的管片，首先采用環(huán)氧漿液壓力注漿封閉裂紋，然后在隧道內內襯鋼圈進行加固處理。

在2016年4月1日—2016年4月30日監(jiān)測數(shù)據(jù)的基礎上，利用各Copula函數(shù)構建二元離散時變相依模型，分別得出的左右線盾構地鐵結構的可靠度指標β值，如圖8所示。從圖8可以明顯地觀察到采用不同相依模型的區(qū)別，參數(shù)獨立時的β計算值明顯小于采用Copula函數(shù)構建的模型，各模型計算的可靠度指標之間的差異值比較穩(wěn)定，表明本文構建的相依模型的穩(wěn)健性。

圖8 盾構地鐵左右線可靠度指標β計算值

由圖8可知，在采用加固措施前，地鐵的安全等級為IV，采取措施后地鐵的可靠度指標值急劇增加，以Frank Copula的計算值為判斷依據(jù)發(fā)現(xiàn)，左右線地鐵分別于4月21日和4月19日達到安全等級II，表明了加固措施的有效性。該結論也說明了利用本文構建的二元離散時變相依模型，能夠較為敏感地捕捉到盾構地鐵結構安全性的變化規(guī)律，驗證了該模型的精確性和實用性。

5 結 論

Copula相依性建模理論能夠準確描述參數(shù)之間的相關性的特點，并結合貝葉斯更新技術能夠體現(xiàn)時變效應對模型的影響特征，基于此提出了基于Copula函數(shù)和參數(shù)貝葉斯更新的凈空收斂(CD)和差異沉降(DS)二元離散時變相依模型構建過程，以武漢地鐵2號線某段區(qū)間為工程背景，驗證了該模型的準確性和實用性，得到以下結論：

(1)基于左右線凈空收斂和差異沉降原始監(jiān)測數(shù)據(jù)，利用四種不同的Copula函數(shù)構建凈空收斂值和差異沉降值的聯(lián)合分布函數(shù)，并識別出差異沉降(DS)和凈空收斂(CD)的最優(yōu)邊緣分布類型是Weibull分布，兩參數(shù)的最優(yōu)Copula函數(shù)是Frank Copula函數(shù)。

(2)對比Frank Copula相依性模型和相互獨立時計算得出的失效概率pf發(fā)現(xiàn)，兩者差值為0.01126，相差45.6%，表明利用相依性建模的結果與參數(shù)獨立的情況相差非常大，進一步驗證了利用相依性建模的準確性和必要性。

(3)詳細介紹了基于Copula函數(shù)和參數(shù)貝葉斯更新的凈空收斂(CD)和差異沉降(DS)二元離散時變相依模型構建過程，并進一步研究使用該模型進行地鐵運營安全的可靠性分析。得到采用不同相依模型的區(qū)別，參數(shù)獨立時的β計算值明顯小于采用Copula函數(shù)構建的模型，各模型計算的可靠度指標之間的差異值比較穩(wěn)定，表明了構建的相依模型的穩(wěn)健性。而且能夠較為敏感地捕捉到盾構地鐵結構安全性的變化規(guī)律，驗證了該模型的精確性和實用性。