王宇航，趙勁彪，辛 亮

(1.中國(guó)航空研究院，北京 100012； 2.北京航天發(fā)射技術(shù)研究所，北京 100076； 3.重慶交通大學(xué) 交通運(yùn)輸學(xué)院，重慶 400074)

0 引言

隨著近幾十年來(lái)計(jì)算機(jī)技術(shù)的不斷發(fā)展，計(jì)算流體力學(xué)(Computational Fluid Dynamics，CFD)技術(shù)迅速發(fā)展，被廣泛應(yīng)用于航空、航天、船舶、汽車(chē)、建筑、環(huán)境和化工等多個(gè)領(lǐng)域，取得了很大的成就[1]。湍流模型是CFD領(lǐng)域最重要的成果，是制約CFD精確計(jì)算的關(guān)鍵之一，是計(jì)算流體工程師們最關(guān)注的話題[1]。其中，基于Boussinesq渦黏性假設(shè)的一方程Spalart-Allmaras(簡(jiǎn)稱SA)湍流模型[2]和兩方程k-Omega SST(簡(jiǎn)稱SST)湍流模型[3]由于良好的魯棒性和對(duì)逆壓梯度和小尺度分離的良好預(yù)測(cè)[1]，成為了工程應(yīng)用的主流方法。然而，由于Boussinesq渦黏性假設(shè)基于各向同性假設(shè)，所以難以反映湍流各向異性的特點(diǎn)，對(duì)大分離流動(dòng)等各向異性較強(qiáng)的復(fù)雜流動(dòng)模擬效果并不太好。

雷諾應(yīng)力模型(RSM)通過(guò)直接求解以雷諾應(yīng)力為變量的輸運(yùn)方程，能更好地反映湍流的各向異性特征，較適用于強(qiáng)分離流動(dòng)[4]。但是，在求解三維問(wèn)題時(shí)，需要額外求解6個(gè)雷諾應(yīng)力方程，計(jì)算工作量巨大[5]。為了克服雷諾應(yīng)力模型計(jì)算量大的缺點(diǎn)，研究者們發(fā)展了適用于三維湍流計(jì)算的顯式代數(shù)雷諾應(yīng)力模型(EARSM)，并開(kāi)展了許多研究工作[6-9]。

后臺(tái)階流動(dòng)是典型的大分離流動(dòng)，學(xué)術(shù)界圍繞后臺(tái)階流動(dòng)開(kāi)展了大量的實(shí)驗(yàn)工作[10]，是檢驗(yàn)湍流模型優(yōu)劣的理想力學(xué)模型之一。

因此，本文將對(duì)EARSM進(jìn)行詳細(xì)地闡述，并結(jié)合三維后臺(tái)階實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ图右则?yàn)證，與經(jīng)典的湍流模型(SA和SST)進(jìn)行比較，表明三種湍流模型的優(yōu)劣。

1 計(jì)算方法

本文采用RANS方程進(jìn)行模擬，在計(jì)算空間生成多塊結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，采用有限體積法進(jìn)行求解，空間離散格式為二階迎風(fēng)格式，時(shí)間推進(jìn)格式為四階Runge-Kutta方法，采用多核并行計(jì)算并引入多重網(wǎng)格加速技術(shù)，以提高計(jì)算效率。

1.1 控制方程

在直角坐標(biāo)系下，三維非定常可壓縮雷諾平均Navier-Stocks方程(RANS)可表達(dá)成如下形式：

其中，F(xiàn)1和FV分別代表無(wú)粘和有粘通量矩陣，Q代表源項(xiàng)向量。為了封閉RANS方程，采用SA、SST和EARSM分別封閉湍流模型，SA和SST較為常見(jiàn)，推導(dǎo)過(guò)程見(jiàn)文獻(xiàn)[10]。EARSM推導(dǎo)過(guò)程如下一小節(jié)所示。

1.2 顯式代數(shù)應(yīng)力模型[3](EARSM)

雷諾應(yīng)力模型(RSM)是指直接對(duì)N-S方程進(jìn)行雷諾平均所得到的方程，由于存在很多無(wú)法直接進(jìn)行數(shù)值模擬的項(xiàng)目，所以需要對(duì)這些分量項(xiàng)進(jìn)行模化。而在弱平衡限制條件下，EARSM方法就是近似的雷諾應(yīng)力模型。由于添加了各項(xiàng)異性張量aij，因此在非平衡流中表現(xiàn)很好。

EARSM可以通過(guò)基于Mentera的兩方程模型進(jìn)行?；?/p>

式中，湍流黏性系數(shù)定義為

雷諾應(yīng)力的定義為

模型采用的參數(shù)為

β*=0.09，γ=0.55317F1+0.4403547(1-F1)，β=0.0750F1+0.0828(1-F1)，σk=0.5F1+1.0(1-F1)，σw=0.5F1+0.856(1-F1)，σω2=0.856

其中，y是網(wǎng)格點(diǎn)到壁面的距離，CDkω是ω輸運(yùn)方程中的交叉項(xiàng)。

和原有的兩方程模型所不同的是，在雷諾應(yīng)力項(xiàng)的定義中，多了一項(xiàng)額外的各向異性應(yīng)力分量，從而體現(xiàn)了流體的各項(xiàng)異性特性，各向異性分量表述如下：

2 計(jì)算模型及結(jié)果分析

2.1 后臺(tái)階實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ?/h3>

后臺(tái)階實(shí)驗(yàn)算例很多，但是以Driver和Seegmiller的后臺(tái)階實(shí)驗(yàn)計(jì)算數(shù)據(jù)最為完整詳細(xì)，Driver后臺(tái)階實(shí)驗(yàn)由NASA與斯坦福大學(xué)湍流研究中心共同完成，實(shí)驗(yàn)獲取數(shù)據(jù)為臺(tái)階下游的空間速度型和雷諾應(yīng)力特征[10]?？臻g速度型特征和雷諾應(yīng)力特性采用激光多普勒測(cè)速儀(LDV)進(jìn)行測(cè)量。本文采用的也是這個(gè)算例進(jìn)行后臺(tái)階模型的校核驗(yàn)證，實(shí)驗(yàn)裝置如圖1所示。

圖1 后臺(tái)階風(fēng)洞模型(H=12.7mm，Y0=8H)

2.2 后臺(tái)階三維模型數(shù)值模擬

為進(jìn)行數(shù)值模擬，需要對(duì)風(fēng)洞物理模型進(jìn)行幾何簡(jiǎn)化。簡(jiǎn)化后的風(fēng)洞主要參數(shù)：實(shí)驗(yàn)段入口到臺(tái)階距離800mm，臺(tái)階到實(shí)驗(yàn)段出口的距離1000mm，可以保證流動(dòng)充分發(fā)展。實(shí)驗(yàn)段高度100mm。實(shí)驗(yàn)段湍流度小于1.0%。實(shí)驗(yàn)裝置后臺(tái)階高度H=12.7mm。

圖2三維整體網(wǎng)格

為了對(duì)各種湍流模型進(jìn)行計(jì)算結(jié)果對(duì)比，分析各種湍流模式對(duì)于計(jì)算分離流動(dòng)的優(yōu)劣，數(shù)值模擬采用三維結(jié)構(gòu)網(wǎng)格。三維模型的優(yōu)點(diǎn)在于最大程度的模擬實(shí)驗(yàn)狀態(tài)，因而可以計(jì)算出流動(dòng)的三維效應(yīng)，對(duì)數(shù)值模擬結(jié)果更精確一些。三維模型網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)目為315441，數(shù)值模擬來(lái)流速度44.2m/s。整體網(wǎng)格如圖2所示。

對(duì)于三維模型，取展向中心截面處的流場(chǎng)數(shù)據(jù)作為三維數(shù)值模擬結(jié)果。各站位位置及對(duì)應(yīng)物理區(qū)域如圖3所示(H,2H,4H,8H)。計(jì)算結(jié)果與風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)結(jié)果速度型對(duì)比如圖4所示。

圖3 站位位置示意圖

圖 4 各站位計(jì)算結(jié)果對(duì)比

從圖4可以看出，在1H處，SA模型對(duì)于回流區(qū)模擬結(jié)果較差，SST與EARSM模型在回流區(qū)和剪切層模擬都比較好。在2H處，SA同樣表現(xiàn)了其對(duì)于回流區(qū)模擬的不足，在這個(gè)區(qū)域EARSM比SST模擬結(jié)果要好一些，但是在剪切層，SA數(shù)值模擬的結(jié)果要優(yōu)于其他兩種湍流模型。在4H處，在回流區(qū)域，SST與EARSM模型模擬結(jié)果都與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)接近，而SA模擬結(jié)果偏小。在8H處，當(dāng)流動(dòng)已經(jīng)流過(guò)后臺(tái)階分離渦時(shí)，三種模型模擬結(jié)果都符合了實(shí)驗(yàn)流動(dòng)發(fā)展的趨勢(shì)，在剪切層SA的模擬結(jié)果要稍微好一點(diǎn)。綜合來(lái)說(shuō)，EARSM模型對(duì)于回流區(qū)分離渦的模擬較好，在剪切層位置其模擬結(jié)果也和實(shí)驗(yàn)較為接近，能較好地反映后臺(tái)階的分離流動(dòng)。

3 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)分離流動(dòng)中典型的后臺(tái)階流動(dòng)，采用SA、SST和EARSM進(jìn)行了數(shù)值模擬，并與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，得到了以下結(jié)論：

(1)EARSM對(duì)于后臺(tái)階分離渦回流區(qū)的模擬結(jié)果最好，要優(yōu)于SA與SST湍流模型，SA模型對(duì)于剪切層模擬稍好一點(diǎn)。

(2)EARSM模型對(duì)于后臺(tái)階回流區(qū)分離渦的模擬較好，在剪切層位置其模擬結(jié)果也和實(shí)驗(yàn)較為接近，能較好地反映后臺(tái)階的分離流動(dòng)。