李嘉豪,高金鳳

(浙江理工大學(xué) 機(jī)械與自動(dòng)控制學(xué)院,杭州 310018)

近年來,多智能體系統(tǒng)已成為眾多研究領(lǐng)域的前沿課題,在車輛編隊(duì)控制[1],傳感器網(wǎng)絡(luò)[2],機(jī)器人技術(shù)[3],群集運(yùn)動(dòng)[4]等方面存在廣泛的應(yīng)用.其中,一致性問題[5]最為熱門.然而,有關(guān)濾波的問題卻較少提及.傳感器網(wǎng)絡(luò)可以看作為一類特殊的多智能體系統(tǒng),而濾波問題是傳感器網(wǎng)絡(luò)最基本的課題之一.由于傳感器節(jié)點(diǎn)通常分布的很廣,因此,在現(xiàn)實(shí)中多采用分布式濾波或估計(jì).在過去的幾十年中,分布式濾波問題主要采用的是Kalman濾波理論[6].但是,Kalman濾波需要知道外部擾動(dòng)噪聲,對(duì)數(shù)學(xué)模型的精確要求非常高.與傳統(tǒng)的Kalman濾波相比,H∞濾波的抗干擾性非常高,不需要知道噪聲信息,只需要濾波誤差滿足給定的H∞性能指標(biāo).因此,對(duì)H∞濾波的研究與分析有著積極的意義,學(xué)者們也取得了大量的科研成果[7,8].

眾所周知,通信網(wǎng)絡(luò)的帶寬和資源是有限的,相比于有線網(wǎng)絡(luò),無線網(wǎng)絡(luò)對(duì)帶寬的要求更是嚴(yán)格.而周期觸發(fā)方式把所有的采樣信號(hào)都傳輸?shù)綖V波器,造成不必要的網(wǎng)絡(luò)資源的浪費(fèi).因此,學(xué)者們?yōu)榱私鉀Q這一問題,提出了基于事件觸發(fā)機(jī)制的濾波器設(shè)計(jì)方法[9-11].文獻(xiàn)[9]建立了一個(gè)結(jié)合事件觸發(fā)機(jī)制和網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延的模型,利用濾波誤差系統(tǒng)的方法解決H∞濾波問題.文獻(xiàn)[10]提出一類具有事件觸發(fā)機(jī)制和量化的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)H∞濾波器設(shè)計(jì).文獻(xiàn)[11]研究了傳感器網(wǎng)絡(luò)中的分布式H∞一致性濾波問題,其中每個(gè)傳感器的傳輸由事件觸發(fā).由于文獻(xiàn)[11]研究的傳感器網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是固定不變的,然而在實(shí)際應(yīng)用中,由于鏈路故障、丟包和信道衰落等因素,網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)可能會(huì)發(fā)生變化,因此,我們?cè)诖嘶A(chǔ)上擴(kuò)展到具有馬爾科夫切換拓?fù)浜突谑录|發(fā)策略的帶有網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延的離散時(shí)間多智能體系統(tǒng)濾波的研究.

受上述討論的推動(dòng),本文研究了具有切換拓?fù)涞碾x散時(shí)間多智能體系統(tǒng)的事件觸發(fā)H∞濾波問題.考慮到網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延的存在,利用馬爾可夫過程對(duì)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞那袚Q進(jìn)行建模,采用事件觸發(fā)控制方案并結(jié)合所提的H∞濾波器,將分布式濾波誤差系統(tǒng)建模成一個(gè)時(shí)變時(shí)滯的閉環(huán)系統(tǒng).基于Lyapunov穩(wěn)定性理論和線性矩陣不等式方法,得到了保證誤差系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)具有H∞性能指標(biāo)漸近穩(wěn)定性的一些充分條件.在本文中,采用Jensen不等式來處理積分項(xiàng),這樣不但可以減少計(jì)算量,而且還降低保守性.最后,通過仿真例子驗(yàn)證了所提方法的有效性.

1 問題描述

1.1 預(yù)備知識(shí)

Rn表示n維 的歐式空間,Rn×m表示n×m階實(shí)矩陣集合.IN表示n維單位矩陣,0表示具有適當(dāng)維數(shù)的零矩陣.上標(biāo) - 1和 T 分別表示矩陣的逆和轉(zhuǎn)置.符號(hào) ? 和 ?分別表示Kronecker積和對(duì)稱矩陣的對(duì)稱部分.(A?B)T=AT?BT,(A?B)(C?D)=AC?BD.

用G=(V,E,A)表示一個(gè)n階有向加權(quán)圖,其中V={v1,v2,···,vn}表示圖G頂點(diǎn)集合,E?V×V表示圖G的有向邊集合.一條從節(jié)點(diǎn)vi到節(jié)點(diǎn)vj的有向邊表示為.用表示節(jié)點(diǎn)vi的鄰居集.鄰接矩陣,其中矩陣元素aij表示為節(jié)點(diǎn)vi與節(jié)點(diǎn)vj的連接權(quán)重.如果vj∈Ni,則aij＞0,否則aij=0.定義度矩陣D=diag{d1,d2,···,dN},其中對(duì)角元素表示節(jié)點(diǎn)vi的出度.圖G的Laplacian矩陣定義為.其中,,且lij=-aij,i≠j.

1.2 系統(tǒng)描述

考慮含有N個(gè)智能體的離散時(shí)間多智能體系統(tǒng):

其中,xi(k)∈Rn、yi(k)∈Rm和zi(k)∈Rp分別表示第i個(gè)智能體的狀態(tài)、測(cè)量輸出和帶估計(jì)信號(hào);wi(k)∈Rl表示系統(tǒng)的外部擾動(dòng),并且wi(k)∈L2[0,∞);A,B,C,D和E是已知的常數(shù)矩陣.

轉(zhuǎn)移概率矩陣可以定義如下:

考慮到隨機(jī)切換拓?fù)?系統(tǒng)(1)可以重新寫成:

為了便于書寫,在本文接下來的內(nèi)容里,我們令r(k)=r.同時(shí),離散多智能體系統(tǒng)的濾波器設(shè)計(jì)如下:

為了節(jié)約網(wǎng)絡(luò)資源,我們采用了分布式事件觸發(fā)傳輸策略和切換拓?fù)涞慕Y(jié)合,通過它來判斷是否需要把信號(hào)傳輸給濾波器.事件觸發(fā)機(jī)制設(shè)計(jì)如下:

注釋1.從式(4)可以看出,事件觸發(fā)閾值由參數(shù)σr確定.較大的σr允許采樣數(shù)據(jù)的較大變化,這意味數(shù)據(jù)傳輸?shù)臄?shù)量減少.當(dāng)閾值參數(shù) σr接近于零時(shí),幾乎所有的采樣數(shù)據(jù)都可以觸發(fā)事件狀態(tài).也就是說,事件觸發(fā)機(jī)制退化為周期采樣機(jī)制.

注釋2.由于每個(gè)智能體都是周期采樣的,采樣時(shí)間序列為{0,1,2,···},我們可以發(fā)現(xiàn)事件觸發(fā)時(shí)間序列是采樣時(shí)間序列的一個(gè)子序列,即?{0,1,2,···}.因此,事件觸發(fā)策略(4)能夠自動(dòng)排除Zeno現(xiàn)象.

由于零階保持器的作用是用來存儲(chǔ)最新傳送過來的數(shù)據(jù),濾波器輸入可以表示為:

將式(6)帶入式(3),我們可以得到:

運(yùn)用文獻(xiàn)[12]中的延時(shí)方法,將系統(tǒng)(2)建模成等價(jià)的時(shí)間滯后系統(tǒng),我們可以得到誤差向量ei(k)=,時(shí)延函數(shù)其中,0≤ τ(k).

因此,我們可以將事件觸發(fā)條件(4)重新寫成:

濾波器(7)可以重新寫成:

定義以下向量:

結(jié)合式(2)和式(9),我們可以得到以下的閉環(huán)系統(tǒng):

其中,

為了簡述上述系統(tǒng),定義一些新的增廣變量:

因此,可以將濾波誤差系統(tǒng)(10)改寫為:

2 主要結(jié)果

定理1.假設(shè)系統(tǒng)的系數(shù)矩陣A,B,C,D,E和濾波器參數(shù)Fr,Gr已知,同時(shí)給定H∞性能指標(biāo) γ和 σr＞0,如果存在適當(dāng)?shù)恼▽?duì)稱矩陣Pr＞0,Q＞0,R＞0,φr＞0(r∈S),滿足以下的線性矩陣不等式:

其中,

證明:我們構(gòu)造如下的Lyapunov函數(shù):

其中,

那么,

其中,

根據(jù)Jensen不等式,我們可以得到:

結(jié)合事件觸發(fā)策略(8),我們可以得到:

其中,

根據(jù) Schur補(bǔ)定理,式 (12)確保 ? ＜0,因此閉環(huán)系統(tǒng)(11)漸近穩(wěn)定且具有H∞性能指標(biāo) γ.證畢.

由于以上的分析是假設(shè)濾波器參數(shù)已知的情況下,但在實(shí)際的情況中濾波器的參數(shù)是未知的,因此接下來我們?cè)诙ɡ?的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)H∞濾波器.

定理2.假設(shè)系統(tǒng)的系數(shù)矩陣A,B,C,D,E已知,同時(shí)給定H∞性能指標(biāo) γ和 σr＞0,如果存在適當(dāng)?shù)恼▽?duì)稱矩陣Pr＞0,Q＞ 0,R＞0,φr＞0Wr＞0(r∈S),滿足以下的線性矩陣不等式:

其中,

那么濾波誤差系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的,并且H∞擾動(dòng)抑制水平為 γ.如果上述條件下是可行的,那么濾波器的參數(shù)為:

證明:令Pr=IN?Ur,Ur可以被拆分為:

其中,U1r＞0,U2r和U3r是非奇異矩陣,滿足Wr=U2r,根據(jù) Schur補(bǔ)引理,我們可以得到U1r-Wr＞0.定義可逆矩陣,同時(shí)在(12)左右乘以,其中,

通過簡單的線性轉(zhuǎn)換,我們可以很容易得到式(14).不難發(fā)現(xiàn),式 (12)等價(jià)于式 (14),因此,濾波誤差系統(tǒng) (11)漸進(jìn)穩(wěn)定,并且具有H∞性能參數(shù) γ.同時(shí),我們也可以得到濾波器參數(shù)(16).證畢.

3 數(shù)值仿真

在這一節(jié)中,給出兩個(gè)例子來說明所提出的方法的有效性.第一種情況考慮文獻(xiàn)[11]中網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是固定不變的.考慮一個(gè)由4個(gè)智能體組成的多智能體系統(tǒng),其參數(shù)變量為:

其中,外部擾動(dòng)w(k)=0.4×e-0.15k×sin(k),圖1代表固定的有向拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖.不失一般性,假設(shè)所有的權(quán)重都為1,其對(duì)應(yīng)的Laplacian矩陣如下:

圖1 網(wǎng)絡(luò)通信拓?fù)鋱D

令初始條件x1(0)=[0;3],x2( 0)=[5;2],x3( 0)=[10;5],x4(0)=[4;3].假設(shè)最大時(shí)延上界 τM=2,觸發(fā)系數(shù)σ1=0.25,γ= 3 ,根據(jù)定理2,我們可以得到觸發(fā)矩陣變量φ1=3.4749,濾波參數(shù):

圖2描繪的是每個(gè)智能體的濾波誤差信號(hào)ei(k),從圖中可以看到設(shè)計(jì)出的濾波器誤差一開始震蕩幅度偏大,但隨之時(shí)間的變化濾波誤差漸近為零,表明濾波器設(shè)計(jì)有效.圖3描述了事件觸發(fā)時(shí)刻和相鄰兩次觸發(fā)時(shí)刻之間的時(shí)間間隔.在區(qū)間[0,100]之間,智能體1、2、3和4的采樣數(shù)據(jù)的傳輸量為70、71、69和65次.這些結(jié)果表明事件觸發(fā)機(jī)制能夠減少采樣信號(hào)傳輸?shù)拇螖?shù),避免網(wǎng)絡(luò)資源的浪費(fèi).

第二種情況考慮網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是切換的.我們選取系統(tǒng)參數(shù)變量跟第一種情況一樣.圖4代表兩種有向的網(wǎng)絡(luò)通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖.不失一般性,假設(shè)所有的權(quán)重都為1,其對(duì)應(yīng)的Laplacian矩陣如下:

圖2 每個(gè)智能體的濾波誤差

圖3 每個(gè)智能體的觸發(fā)時(shí)刻和觸發(fā)時(shí)間間隔

圖4 網(wǎng)絡(luò)通信拓?fù)鋱D

圖5表示馬爾可夫鏈中兩種模式的切換.其中,狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為:

假設(shè)最大時(shí)延上界τM=2,觸發(fā)系數(shù) σ1=0.35,σ2= 0.45,γ=3,根據(jù)定理 2,我們可以得到觸發(fā)矩陣變量φ1=8.8393,φ2= 1.6012,濾波參數(shù):

圖6描繪的是每個(gè)智能體的濾波誤差信號(hào)ei(k),從圖中可以看到設(shè)計(jì)出的濾波器誤差一開始震蕩幅度偏大,但隨之時(shí)間的變化濾波誤差漸近為零,表明濾波器設(shè)計(jì)有效.圖7描述了事件觸發(fā)時(shí)刻和相鄰兩次觸發(fā)時(shí)刻之間的時(shí)間間隔.在區(qū)間[0,100]之間,智能體1、2、3和4的采樣數(shù)據(jù)的傳輸量為57、56、55和55次.這些結(jié)果表明事件觸發(fā)機(jī)制能夠減少采樣信號(hào)傳輸?shù)拇螖?shù),避免網(wǎng)絡(luò)資源的浪費(fèi).

圖5 切換信號(hào)

圖6 每個(gè)智能體的濾波誤差

注釋3.雖然事件觸發(fā)機(jī)制能有效減少網(wǎng)絡(luò)信號(hào)的傳送,節(jié)省網(wǎng)絡(luò)帶寬資源的占用率,但是相對(duì)于周期觸發(fā)方式,事件觸發(fā)方式需要復(fù)雜的數(shù)學(xué)計(jì)算與分析,由于目前大部分結(jié)果僅關(guān)注事件觸發(fā)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,無法設(shè)計(jì)事件觸發(fā)網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)的濾波器.因此,為彌補(bǔ)已有結(jié)果的不足,我們引入相應(yīng)的事件觸發(fā)機(jī)制,提出對(duì)應(yīng)的事件觸發(fā)濾波器聯(lián)合設(shè)計(jì)的方法.

4 結(jié)論

本文研究了具有切換拓?fù)涞碾x散時(shí)間多智能體系統(tǒng)的事件觸發(fā)H∞濾波問題.通過構(gòu)造包含多區(qū)間上下界信息的Lyapunov-Krasovskii泛函,采用Jensen不等式的方法,同時(shí)利用線性矩陣不等式技術(shù)和時(shí)延法,得出了濾波誤差系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性的充分條件和濾波器設(shè)計(jì)方法.最后,通過仿真例子驗(yàn)證了所提出的方法的有效性.

圖7 每個(gè)智能體的觸發(fā)時(shí)刻和觸發(fā)時(shí)間間隔

本文主要是對(duì)4個(gè)智能體組成的多智能體系統(tǒng)進(jìn)行了研究與實(shí)驗(yàn)仿真,由于智能體的數(shù)量相對(duì)較少,測(cè)試場(chǎng)景也相對(duì)簡單,因此,在接下來的工作中主要會(huì)對(duì)復(fù)雜情形的多智能體系統(tǒng)進(jìn)行建模與分析.