，

(1.西藏大唐扎拉水電開(kāi)發(fā)有限公司，西藏 昌都 854000； 2.中國(guó)人民武裝警察部隊(duì) 水電第八支隊(duì)，重慶 巴南 401347)

水工瀝青混凝土的理論、試驗(yàn)方法源于并發(fā)展于交通工程，結(jié)合水利工程自身特點(diǎn)，近幾年在計(jì)算理論、試驗(yàn)方法等方面發(fā)展較快，逐步完善了水工碾壓式瀝青混凝土的理論實(shí)踐體系。水工碾壓式瀝青混凝土在配合比設(shè)計(jì)中，主要確定瀝青用量和骨料級(jí)配兩個(gè)主要參數(shù)。與瀝青用量相比，骨料級(jí)配確定方法較為復(fù)雜，一種方法是在推薦級(jí)配范圍內(nèi)選擇一條或幾條級(jí)配曲線作為骨料的標(biāo)準(zhǔn)級(jí)配；另一種方法是采用丁樸榮公式計(jì)算得到骨料的標(biāo)準(zhǔn)級(jí)配。在實(shí)際應(yīng)用中，較多采用丁樸榮公式確定骨料的標(biāo)準(zhǔn)級(jí)配，即初步選定的標(biāo)準(zhǔn)級(jí)配，與不同瀝青用量組合，再經(jīng)室內(nèi)試驗(yàn)，最終確定用于后續(xù)試驗(yàn)及現(xiàn)場(chǎng)施工用的目標(biāo)配比及目標(biāo)級(jí)配。

在實(shí)際瀝青混合料配合比設(shè)計(jì)中，人工加工的各種骨料的級(jí)配往往很難完全符合某一級(jí)配的范圍。通常采用兩種或兩種以上的集料配合起來(lái)才能滿足級(jí)配要求，這就需要對(duì)骨料合成級(jí)配進(jìn)行設(shè)計(jì)和計(jì)算，即確定組成混合料各集料的比例。傳統(tǒng)的骨料配比設(shè)計(jì)方法比較多，主要有圖解法、試算法、電算法等。其中，圖解法和試算法應(yīng)用較多，但這兩種方法主要通過(guò)手工完成，工作量非常大，出錯(cuò)率高，精度低，且很難得到最佳的配合比方案[1]。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的快速發(fā)展，利用計(jì)算機(jī)解決工程中的數(shù)學(xué)問(wèn)題已不是一件難事，常用的方法有線性規(guī)劃法、多目標(biāo)優(yōu)化等方法，可以利用Excel、MATLAB等專業(yè)數(shù)學(xué)工具進(jìn)行計(jì)算。

1 骨料級(jí)配合成數(shù)學(xué)模型的建立及求解

1.1 數(shù)學(xué)模型的建立

假定瀝青混合料中骨料由m種不同粒徑的粗細(xì)骨料(含填料)合成而來(lái)，級(jí)配分析中共有n級(jí)篩孔，任一粒徑骨料i在篩孔j通過(guò)率為pij，目標(biāo)級(jí)配中任何一級(jí)篩孔的通過(guò)百分率為qj，其值為通過(guò)丁氏公式計(jì)算，并經(jīng)室內(nèi)配合比試驗(yàn)確定的目標(biāo)配合比級(jí)配，見(jiàn)表1。

表1 瀝青混合料級(jí)配表

在理想狀態(tài)下，qj的值是由各種集料在該級(jí)篩孔的通過(guò)百分率pij乘以各種集料在混合料中的用量x之和，見(jiàn)式(1)，該式即為骨料合成級(jí)配計(jì)算的數(shù)學(xué)模型[2]。

∑pijxi=qj

(1)

式中：i為集料種類，i=1，2，…，m；j為篩孔數(shù)，j=1，2，…，n。

式(1)可寫成線性方程組的形式：

(2)

把式(2)中系數(shù)矩陣記為A，右端向量為q，則有：

Ax=q

(3)

1.2 數(shù)學(xué)模型的求解

對(duì)于式(3)的求解可以采用線性規(guī)劃的方法，或?qū)⑵滢D(zhuǎn)化為求解最優(yōu)問(wèn)題，用優(yōu)化算法進(jìn)行求解。在骨料合成級(jí)配計(jì)算中，一般采用四五種不同粒徑骨料，而篩孔級(jí)數(shù)多達(dá)十余種，以致式(3)約束方程個(gè)數(shù)遠(yuǎn)大于未知數(shù)的個(gè)數(shù)。線性規(guī)劃方法其實(shí)質(zhì)就是求解正規(guī)方程組，因不同粒徑骨料在各篩的通過(guò)率對(duì)合成級(jí)配影響也較大，往往導(dǎo)致該方程組無(wú)解，故該方法在應(yīng)用中沒(méi)有太多的實(shí)際意義。而將式(3)轉(zhuǎn)化為求解最優(yōu)問(wèn)題，在理想狀況下合成級(jí)配與目標(biāo)級(jí)配二者之間完全吻合，即:

pijxi-qj=0

(4)

由于受各集料級(jí)配所限，式(4)一般無(wú)精確解答。通常情況下，設(shè)計(jì)級(jí)配與合成級(jí)配之間總存在一定偏差，即：

pijxi-qj=△j

(5)

△j為合成級(jí)配與設(shè)計(jì)級(jí)配在第j篩孔通過(guò)率之差。在這里構(gòu)造函數(shù)Q(xi)如下：

(6)

式(6)中Q(xi)越小，合成級(jí)配與目標(biāo)級(jí)配之間的偏差就越小，可以通過(guò)求Q(xi)的極小點(diǎn)和極小值的辦法求出各集料的配比xi，并使xi≥0，∑xi=1。合成級(jí)配的計(jì)算可轉(zhuǎn)化為求式(7)的約束極值問(wèn)題[3]。

(7)

2 基于Excel求解實(shí)現(xiàn)

2.1 應(yīng)用實(shí)例

某水利樞紐工程瀝青混凝土配合比采用礦粉用量12%、最大粒徑19 mm，級(jí)配指數(shù)n為0.4的目標(biāo)配比，經(jīng)丁氏公式計(jì)算的目標(biāo)級(jí)配見(jiàn)表1。瀝青混凝土拌和樓骨料采用4種骨料及填料拌制瀝青混凝土，即大石、中石、小石、砂及礦粉，某次經(jīng)拌和樓二次篩分系統(tǒng)篩分后骨料取樣的級(jí)配見(jiàn)表2。

表2 骨料篩分結(jié)果統(tǒng)計(jì)表

2.2 用Excel的求解過(guò)程

用Excel對(duì)最優(yōu)問(wèn)題求解，利用Excel軟件中數(shù)據(jù)菜單下規(guī)劃求解功能實(shí)現(xiàn)。先選定可變單元格，代表實(shí)際問(wèn)題中有待解決的未知因素，為規(guī)劃求解的方案；再確定目標(biāo)函數(shù)，即規(guī)劃求解要達(dá)到的最終目標(biāo)，一般為最大利潤(rùn)或最小成本等，本例為差平方和最小；最后確定約束條件，即確定未知因素的限制條件，規(guī)劃求解的未知因素是否存在與約束條件有著密切關(guān)系，它對(duì)可變單元格中的值起著直接限制作用[4]。

2.2.1 計(jì)算數(shù)據(jù)表的建立

根據(jù)應(yīng)用實(shí)例中骨料篩分結(jié)果統(tǒng)計(jì)表，建立分析數(shù)據(jù)表。其中，目標(biāo)級(jí)配為經(jīng)室內(nèi)試驗(yàn)優(yōu)選后確定，對(duì)組成混合料的每種粒徑骨料限制條件在邊界條件中顯示。見(jiàn)圖1。

圖1 分析數(shù)據(jù)表

2.2.2 可變單元格的選定

實(shí)例中采用大石、中石、小石、砂及礦粉等5種骨料及填料合成瀝青混合料的骨料，選擇可變單元格及選擇上述5種骨料配料比例的單元格，為規(guī)劃求解結(jié)果輸出區(qū)域，見(jiàn)圖1中的M21-M25單元格。

2.2.3 確定目標(biāo)函數(shù)

根據(jù)優(yōu)化求解模型，在Excel中選定一單元格(理論上可任意選擇，一般以方便現(xiàn)場(chǎng)操作為宜)，將分析數(shù)據(jù)表中各參數(shù)按照式(6)編寫目標(biāo)函數(shù)公式，以備下一步規(guī)劃求解使用。

2.2.4 確定約束條件

組成瀝青混合料的各粒徑骨料的比例一要確保大于等于零，二要確保各比例之和等于1，約束條件對(duì)各粒徑骨料比例起到直接限制作用。

2.2.5 規(guī)劃求解

使用數(shù)據(jù)菜單欄下規(guī)劃求解功能，在彈出對(duì)話框中選擇目標(biāo)函數(shù)，求其最小值，選擇可變單元格的位置，輸入各可變單元格的約束條件，需要說(shuō)明的是對(duì)于xi≥0的約束條件，必須轉(zhuǎn)化為-xi≤0進(jìn)行輸入，具體見(jiàn)圖2-圖3。輸入完成后進(jìn)行求解，求解結(jié)果見(jiàn)圖4。根據(jù)求解結(jié)果，得到合成級(jí)配曲線與目標(biāo)級(jí)配曲線，見(jiàn)圖5。從圖5中可以看出，合成級(jí)配曲線與目標(biāo)級(jí)配曲線基本一致，采用Excel的規(guī)劃求解功能進(jìn)行骨料合成級(jí)配計(jì)算能夠得到理想的結(jié)果，滿足實(shí)際工程應(yīng)用需要。

圖2 規(guī)劃求解參數(shù)的輸入

圖3 添加約束條件

圖4 計(jì)算求解結(jié)果

圖5 級(jí)配曲線圖

3 結(jié) 語(yǔ)

在建立水工碾壓式瀝青混凝土骨料合成級(jí)配計(jì)算數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，采用優(yōu)化求解的方法，利用Excel規(guī)劃求解功能，編寫相應(yīng)計(jì)算程序，方便現(xiàn)場(chǎng)施工人員計(jì)算使用。經(jīng)過(guò)在西藏某水利樞紐工程的實(shí)際應(yīng)用，計(jì)算小程序在骨料級(jí)配合成計(jì)算方面使用方便，計(jì)算結(jié)果可靠，以此計(jì)算結(jié)果拌制的瀝青混凝土性能指標(biāo)滿足設(shè)計(jì)要求。