李益強， 張坤宜,2， 速云中， 張齊周， 侯林鋒

(1.廣東工貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 測繪遙感信息工程系，廣東 廣州 510510； 2.廣東工業(yè)大學(xué) 離退休處老教授協(xié)會，廣東 廣州 510090)

1 關(guān)于緩和曲線特征模式

緩和曲線是當(dāng)前測量定位公路路線曲線所涉及的主要內(nèi)容之一，主要是道路學(xué)科用于描述車輛運行曲線的一種專業(yè)術(shù)語。緩和曲線主要是指位于某點的曲率1/ρ和此點與原點之間的曲線距離lρ，兩者之間成正比，并且是均勻增大的曲線?；竟饺缦拢?/p>

或A2=ρlρ

(1)

式中A表示的是緩和曲線參數(shù)，也被稱之為回旋曲線系數(shù)，此公式是針對緩和曲線的特征表達(dá)式。

如圖1所示，沿直線mn方向，當(dāng)位于點T1時，緩和曲線的曲率半徑為∞；T2與T1之間的弧長表示為lρ，ρ表示的是曲率半徑，弧長lρ與曲率半徑ρ之間的關(guān)系，就可滿足公式(1)。通過延伸弧長lρ直到T3點時，弧長表示為l，據(jù)公式(1)，可得

A2=Rl

(2)

圖1 緩和曲線T1-T2-T3

2 關(guān)于常規(guī)緩圓曲線的緩和曲線弧長

從緩和曲線定義角度來說，公式(1)、(2)并不屬于緩和曲線方程，只是概念性的對緩和曲線特征形成的一種表述。對公式(1)、(2)的具體應(yīng)用方面來講，因為A本身是未知的，所以單純使用公式(2)并不能為緩和曲線弧長l的求解提供方便。并且在A、l未知的情況下，將公式(2)用于求解緩和曲線，就會失去解題意義。

雖然曲線弧長在應(yīng)用公式(2)進(jìn)行求解的情況下不存在任何意義，但無法使緩和曲線弧長對常規(guī)緩圓曲線在高速公路定位中的應(yīng)用造成任何影響。

圖2就是典型的一種常規(guī)緩圓曲線圖形，整條緩圓曲線由直線MA開始至直線BN結(jié)束，經(jīng)由C、D、B點后，形成由緩和曲線AC、緩和曲線DB以及圓曲線CD所組成的線形結(jié)構(gòu)。常規(guī)緩圓曲線主要在單一路線轉(zhuǎn)彎曲線的設(shè)計中應(yīng)用。其中DB弧長l為已知條件、圓曲線半徑R、緩和曲線AC也是已知的，且二條緩和曲線具有等距弧長；在數(shù)學(xué)模式下的線型定位中，部分參數(shù)模數(shù)為固定的，需要使用規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)化，例如圓曲線偏移值p以及點位坐標(biāo)x、y等參數(shù)。

圖2 常規(guī)型緩圓曲線

緩和曲線AC、DB弧長l為已知狀態(tài)是常規(guī)緩圓曲線定位具有的主要特點，使曲線定位計算更加方便。因此，當(dāng)緩和曲線弧長長度已知的情況下，為了計算方面，在常規(guī)緩圓曲線定位中即可使用緩和曲線弧長。

3 關(guān)于應(yīng)用緩和曲線弧長的麻煩

現(xiàn)代交通路線，因為實際地形以及線路等級的影響，多為非常規(guī)緩圓曲線，具有多樣性的曲線線形結(jié)構(gòu)，曲線組合形狀不同，曲線長短也存在較大差異，在立交互通道路工程體現(xiàn)的尤為明顯，曲線組合形狀缺乏固定模式，復(fù)雜多變，所以緩和曲線的弧長長度也就是未知的，所以緩和曲線弧長在非常規(guī)緩圓曲線中的實際應(yīng)用成為了難題。如圖1所示，想要將緩和曲線接入到半徑為R的圓曲線與直線mn之間，緩和曲線弧長l就需要是已知的。使用緩和曲線弧長開展測量定位工作，首先需將接入弧長l的長度進(jìn)行精確計算。

公式(2)是對緩和曲線弧長實施計算的傳統(tǒng)方法，首先需要設(shè)計圓曲線半徑R，再對A進(jìn)行預(yù)設(shè)，最后求得緩和曲線弧長l。

此種傳統(tǒng)的計算方法雖然看似較為簡單，但是為什么會在以上敘述中，將緩和曲線弧長在非常規(guī)型緩圓曲線中的應(yīng)用，稱之為一個長期存在的難題呢？綜合多方面研究分析發(fā)現(xiàn)，參數(shù)A的預(yù)設(shè)才是問題與麻煩產(chǎn)生的根本原因。具體表現(xiàn)如下：

(1)反復(fù)多次的設(shè)定參數(shù)A。預(yù)設(shè)A后，若所求的緩和曲線弧長l無法滿足要求的情況下，則為無效預(yù)設(shè)，為了求得滿足要求的緩和曲線弧長l，就需要對參數(shù)A進(jìn)行反復(fù)預(yù)設(shè)。

(1)參數(shù)A求得較難。參數(shù)A在公式(1)以及公式(2)中均為系數(shù)，如果將公式(2)用于求取緩和曲線，就需要保證參數(shù)A為已知的。A在道路學(xué)科中專業(yè)系數(shù)，與車輛運行所涉及的多種參數(shù)均存在相關(guān)性，獲得較難，通常情況下需要依靠經(jīng)驗進(jìn)行設(shè)定。在曲線復(fù)雜多變的組合形狀影響下，導(dǎo)致系數(shù)A也同樣具有多變性，規(guī)范上設(shè)置了針對性的系數(shù)A限制條件，但是在實際應(yīng)用過程中較難掌握。

(3)“存在多重、繁瑣計算”。在求緩和曲線弧長l時，需要對系數(shù)A進(jìn)行預(yù)設(shè)，舊貨相應(yīng)增加多種數(shù)學(xué)方法以及條件限制，最后實施檢驗考察。當(dāng)未得出結(jié)果，則需要開展多重計算，計算過程也較為繁瑣。

(4)存在計算、預(yù)測不準(zhǔn)的可能。算不準(zhǔn)、測不準(zhǔn)是緩和曲線弧長早期計算的顯著問題，路線斷線、錯位會經(jīng)常性的出現(xiàn)，分析此種問題主要產(chǎn)生的原因是，所預(yù)設(shè)的系數(shù)A具有誤差，使自動化以及通用性定位等方面的應(yīng)用產(chǎn)生障礙。

(5)實際應(yīng)用的便利性較差。系數(shù)A的精準(zhǔn)預(yù)設(shè)難度較大，專業(yè)人士也很難一次性獲取精確的預(yù)設(shè)值。而當(dāng)重新定位、調(diào)整路線的情況下，非專業(yè)人士很難對系統(tǒng)A進(jìn)行預(yù)設(shè)，難以實現(xiàn)系數(shù)A的設(shè)定與應(yīng)用。

從上述問題說明，在路線曲線定位過程中，系數(shù)A的設(shè)定是一個歷史性難題，對曲線定位使用有關(guān)系數(shù)A進(jìn)行設(shè)定的方案只能作為權(quán)宜之計，而無法良好使緩和曲線定位過程中的難題得到良好解決。

4 緩和曲線弧長方程

緩圓曲線在測地線(大地線)理論下具有密切特征，所以緩和曲線同樣具有。因此通過結(jié)合緩和曲線圓弧距表達(dá)式，對緩和曲線弧長方程使用反分析原理實施推證，可得

(3)

公式(3)表明，已知半徑R、p，緩和曲線長度l就會使方程的要求得到滿足。簡化公式(3)可得緩和曲線弧長方程，即

(4)

公式(4)中，lo=l2；系數(shù)A、B、C、D、E與圓曲線半徑R存在明確的關(guān)系，即

(5)

公式(4)中，A、B、C、D、E等相關(guān)系數(shù)，可通過使用公式(5)，求得圓曲線半徑R。

圖3 緩和曲線弧長方

圖3與圖2的p，具有位置的相同，但是所代表的意義存在較大差別。其中圖2種的p，主要指的是緩和曲線長度l，在導(dǎo)致圓曲線出現(xiàn)的偏移值，屬于一種待求參數(shù)；而圖3中，p代表的是圓曲線和直線之間存在的實際客觀距離，屬于已知參數(shù)，也是導(dǎo)致緩和曲線產(chǎn)生的主要原因，并因此稱之為稱為圓弧距。從圖3中可以發(fā)現(xiàn)，圓弧距主要指的是圓弧點d直至x軸，并垂足E所形成的距離。在圖3中可了解到，只要已知設(shè)計圓半徑R和圓心O位置的，即可明確圓心O距離直線ZHx之間存在的距離s，圓弧距p=s-R，因此可依據(jù)公式(4)緩和曲線弧長長度l。如圖4可見非對稱緩圓曲線。

圖4 非對稱緩圓曲線

隨著確定了緩和曲線弧長方程，圓弧距等相關(guān)概念的提出，使傳統(tǒng)緩曲線長度l與p的關(guān)系得以改變。通過進(jìn)一步將非常規(guī)緩圓曲線中的圓弧距p轉(zhuǎn)變?yōu)橐阎獏?shù)，同時為了保證緩和曲線弧長長度l的準(zhǔn)確性與安全性。但是此種方法圓弧距與非對稱緩圓曲線為依據(jù)，成為能夠取得緩和曲線弧長的以及曲線長度的唯一解。

5 關(guān)于緩和曲線弧長方程的應(yīng)用

非對稱型緩圓曲線樣式結(jié)構(gòu)具有多樣性，在本文中的非對稱型緩圓曲線形，僅用圓曲線、直線以及緩和曲線。以圖4為例，對緩和曲線弧長方程在定位中的實際應(yīng)用進(jìn)行闡述。未知緩和曲線弧長l1、l2的長度，且弧長長度不相等是非對稱型緩圓曲線結(jié)構(gòu)具有的主要特點。緩和曲線弧長方程用于定位的具體步驟如下。

5.1 計算非對稱緩圓曲線緩和曲線弧長

非對稱型緩圓曲線計算基礎(chǔ)為緩和曲線弧長方程，緩圓組合定位方法主要為“先有圓弧距p，之后有緩和曲線弧長l”?；舅悸罚菏紫纫栽O(shè)計半徑R為據(jù)，按照圓弧距pi實際參數(shù)，對緩和曲線弧長進(jìn)行求解。弧長計算步驟如下：

(1)尋找圓弧距p。圖4可獲得相應(yīng)的已知條件，圓曲線有半徑R、po點坐標(biāo)，直線MJD、JDN的點坐標(biāo)和坐標(biāo)方位角各有一個，故可以：

(2)通過利用po點坐標(biāo)分別垂直于直線MJD、JDN的關(guān)系，可分別求得po點與直線MJD的距離s1、po點與直線JDN的距離s2；

(3)利用po點坐標(biāo)垂直于MJD、JDN，可求得垂足E、F點坐標(biāo)，并能夠定位E、F點；

(4)獲取圓弧距p1、p2，即p1=s1-R，p2=s2-R。

(5)使用弧長基礎(chǔ)方程公式(4)，求緩和曲線弧長的精確值l1與l2。

5.2 非對稱緩圓曲線的密切點定位

由圖4可知，密切點(主點)A、B、C、D對非對稱緩圓曲線結(jié)構(gòu)關(guān)系起到?jīng)Q定性作用，所以在非對稱緩圓曲線中，關(guān)鍵是要準(zhǔn)確定位密切點。

(1)q1、q2可使用偏移值表達(dá)式求得，定位A、B點需要以E、F點為基準(zhǔn)，用偏移值q1、q2進(jìn)行定位。

(2)求C坐標(biāo)，為C點定位。

(3)求CD弧長lCD：

(6)

式中α=αJDN-αMJD，αMJD、αJDN均為直線MJD、JDN的坐標(biāo)方位角。

(4)求D點坐標(biāo)(略)并進(jìn)行定位。

5.3 算例

依據(jù)“直線為主”的設(shè)計要求，可將非對稱圓緩曲線弧長的相關(guān)結(jié)構(gòu)參數(shù)列出，如圖4。表1所列，均為已知點，求垂足E、F的坐標(biāo)，使圓弧距成為已知條件，之后計算緩圓曲線基本結(jié)構(gòu)參數(shù)(m)：R=200，s=204.044，p1=4.044，l1=139.622，q1=69.529；s=202.086，p2=2.086，l2=100.171，q2=49.981，圓曲線弧長l=279.616。緩和曲線弧長l1、l2值得到精確后，即可獲得起點A、終點B的坐標(biāo)及里程等相關(guān)的結(jié)構(gòu)參數(shù)。見表1。

表1 以已知點求垂足、起點、終點基本參數(shù)

6 關(guān)于緩和曲線弧長方程的結(jié)論

從理論及相關(guān)實踐試驗結(jié)果中可發(fā)現(xiàn)，緩和曲線弧長方程在路線測量定位中發(fā)揮著重要作用，在現(xiàn)代交通路線建設(shè)過程中的勘查設(shè)計、安全檢查等工作中也得到廣泛應(yīng)用，并且可對技術(shù)進(jìn)步發(fā)揮促進(jìn)作用，緩和曲線弧長方程極具歷史與現(xiàn)實意義。

(1)公式(4)在現(xiàn)代交通路線建設(shè)過程中，是一種較為常用的緩和曲線弧長方程。緩和曲線弧長具有可求性，由此可形成緩和曲線弧長方程，現(xiàn)代交通路線缺少緩和曲線弧長的歷史得以結(jié)束。

(2)公式(1)、(2)中，系數(shù)A具有多種用途，可實現(xiàn)車輛曲線運行分析。但是在求取緩和曲線弧長過程中存在的困擾仍然無法得以完全避免。通過顛倒了長度l與圓弧距p的關(guān)系，讓傳統(tǒng)的統(tǒng)緩和曲線的圓弧距p可得，使系數(shù)A求得困難的情況得以有效解決。通過與實際相結(jié)合，緩和，遵循“圓弧距對應(yīng)緩和曲線弧長”的弧長是唯一解求解原則，使緩和曲線弧長求解需要依賴預(yù)設(shè)系數(shù)A的難度得到徹底解決。

(3)應(yīng)用于現(xiàn)代交通路線的緩和曲線弧長方程，會出現(xiàn)各種形式的緩圓曲線組合定位，改變傳統(tǒng)，并建立了創(chuàng)新方法，簡化了定位密切點以及計算弧長的相關(guān)步驟，易于掌握。

(4)緩和曲線弧長方程應(yīng)用于曲線設(shè)計以及測量定位自動化等方面均具有獨特優(yōu)勢，且具有通用性、高精度的特點，具有推廣使用價值。