李 翀，謝秀萍

（福州大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，福州 350116）

0 引言

灰色系統(tǒng)理論的研究對(duì)象之一是灰色預(yù)測(cè)模型，其中，GM(1，1)模型又是灰色預(yù)測(cè)理論的基礎(chǔ)模型。目前關(guān)于GM(1，1)模型的研究主要是從模型的性質(zhì)以及適用范圍[1,2]，背景值構(gòu)建[3,4]；初始值選擇[5,6]；與其他算法的組合[7,8]；引入時(shí)間項(xiàng)[9,10]；建模序列的優(yōu)化[11,12]；模型求解[13]等。GM系列模型是以確定數(shù)據(jù)為建模序列，無法直接對(duì)含有不確定數(shù)據(jù)的序列進(jìn)行有效建模。隨著信息復(fù)雜性的增長，具有不確定特征的序列已隨處可見，這類的數(shù)據(jù)序列進(jìn)行建模已引起眾多學(xué)者的關(guān)注。根據(jù)建模序列數(shù)據(jù)類型可以分為兩種：區(qū)間灰數(shù)序列預(yù)測(cè)[14-17]和灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)序列預(yù)測(cè)[17,18]。其中區(qū)間灰數(shù)序列建模方法主要有：（1）基于序列的幾何特征[14,15]；（2）基于序列的表征信息[16,17]；（3）組合模型[17,18]等。目前，無論是區(qū)間灰數(shù)序列還是異構(gòu)數(shù)據(jù)序列預(yù)測(cè)模型，主要思想是將灰數(shù)轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)構(gòu)建預(yù)測(cè)模型，再還原為區(qū)間灰數(shù)。對(duì)于灰度波動(dòng)較大的區(qū)間灰數(shù)序列，此類模型不僅對(duì)灰度變化較大的區(qū)間灰數(shù)擬合精度低，并且不能反映灰數(shù)灰度的未來的發(fā)展趨勢(shì)。

對(duì)于區(qū)間灰數(shù)序列，本文將分析在核和“灰度不減”公理下構(gòu)建的傳統(tǒng)預(yù)測(cè)模型的誤差情況。重新構(gòu)造兩組能夠反映上、下界變化特征的核序列，分別構(gòu)建DGM(1，1)模型；根據(jù)將兩組預(yù)測(cè)值與傳統(tǒng)預(yù)測(cè)模型結(jié)合；最后推導(dǎo)得到新的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型，并用算例驗(yàn)證了模型的可行性。

1 基本概念

定義1[19]：既有下限a(k)又有上限b(k)的灰數(shù)稱為區(qū)間

定義2[19]：區(qū)間灰數(shù)?(k)的取值范圍稱為測(cè)度或信息域，記做u(k)=b(k)-a(k)。

定 義 3[19]：存 在 區(qū) 間 灰 數(shù) ?(k)∈[a(k)，b(k)],則 稱灰數(shù)，記為為灰數(shù)?(k)的核；

公理1[19]：（灰度不減公理）兩個(gè)灰度不同的灰數(shù)進(jìn)行和、差、積、商運(yùn)算時(shí)，運(yùn)算結(jié)果的灰度不小于灰度較大的灰數(shù)，為計(jì)算方便，通?？蓪⑦\(yùn)算結(jié)果的灰度取為灰度較大的灰數(shù)的灰度。

推論1[19]：兩個(gè)信息域不同的區(qū)間灰數(shù)進(jìn)行和、差、積、商運(yùn)算時(shí),運(yùn)算結(jié)果的信息域不小于信息域較大的區(qū)間灰數(shù)的信息域。

設(shè)存在區(qū)間灰數(shù)序列X(?)={? (1)，?(2)，...，?(n)} ，其中 ?(k)∈[a(k)，b(k)]，根據(jù)定義1和定義2，由每個(gè)灰元的“核”和“測(cè)度”分別構(gòu)成X(?)的核序列X0(?0)和測(cè)度序列UX，記作：

2 基于“灰度不減”公理的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型

2.1 基于“灰度不減”公理的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型建模原理

設(shè) 有 區(qū) 間 灰 數(shù)X(?)={? (1)，?(2)，...，?(n)},?(k)其核序列和測(cè)度序列分別為：

對(duì)核序列X0(?0)構(gòu)建預(yù)測(cè)模型得到擬合序列

根據(jù)定義2和定義3，建立方程組：

解方程組得：

稱（1）為區(qū)間灰數(shù)序列X(?)的傳統(tǒng)預(yù)測(cè)模型。

2.2 傳統(tǒng)預(yù)測(cè)模型誤差分析

由公式（1）可知，序列X(?)的上、下限預(yù)測(cè)值分別為：

（1）當(dāng)核預(yù)測(cè)值不存在誤差時(shí)。假設(shè)?0(k+1)=?0即將模型誤差都轉(zhuǎn)移到測(cè)度預(yù)測(cè)誤差上，則式（1）可調(diào)整為：

則區(qū)間灰數(shù)下、上限誤差值分別為：

由公式（2）、公式（3）可知，當(dāng)核預(yù)測(cè)值不存在誤差時(shí)，區(qū)間灰數(shù)的上、下限誤差值存在關(guān)系ε1(k+1)+ε2(k+1)=0，且ε1(k+1)≥0，ε2(k+1)≤0

（2）當(dāng)測(cè)度預(yù)測(cè)值不存在誤差時(shí)，假設(shè)預(yù)測(cè)誤差都轉(zhuǎn)移到核預(yù)測(cè)上，即其中即將測(cè)度預(yù)測(cè)值的誤差都轉(zhuǎn)移到核預(yù)測(cè)誤差上，則式（1）可調(diào)整為：

此時(shí)，區(qū)間灰數(shù)下、上限誤差值相等，為：

綜合公式（2）至公式（4）可得傳統(tǒng)區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型的下、上限的誤差分別為：

下、上限的平均誤差為：

3 基于“灰度不減”公理改進(jìn)的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型

3.1 基于“灰度不減”公理改進(jìn)的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型構(gòu)建

上限預(yù)測(cè)誤差為ε2(k+1)=0

證畢。

由命題1可知對(duì)于傳統(tǒng)區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型，當(dāng)對(duì)上、限分別取核預(yù)測(cè)值分別為和時(shí)，區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)誤差為0。當(dāng)定義上、下限的核序列分別為時(shí)，可以提高模型預(yù)測(cè)精度。

為GM(1，1)模型的離散形式，簡稱DGM(1,1)模型；其中

累減還原式為：

由式（9）和式（10）可得到序列

=[ρ，ρ]T，其中：

將上、下限核預(yù)測(cè)值分別帶入公式（1）的上、下限預(yù)測(cè)模型，得到新的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型為：

稱式（13）為改進(jìn)的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型。

3.2 基于“灰度不減”公理改進(jìn)的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型建模步驟

基于傳統(tǒng)區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型改進(jìn)的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型具體建模步驟為：

（1）由定義2得到序列X(?)的測(cè)度序列，得到最大測(cè)度值；

（2）由定義4分別確定序列X(?)的下、上限核序列；

（3）分別構(gòu)建上、下限核序列的預(yù)測(cè)模型；

（4）將上、下限核序列的預(yù)測(cè)帶入公式（1）。

3.3 基于“灰度不減”公理改進(jìn)的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型性質(zhì)分析

（1）模型的適用范圍

本文所研究的預(yù)測(cè)模型，通過對(duì)上、下限取不同的核序列，并分別建立DGM(1，1)模型，再結(jié)合“灰度不減公理”確定上、下限預(yù)測(cè)值。因此，模型的適用范圍主要取決于DGM(1，1)模型的適用范圍。

（2）模型預(yù)測(cè)值測(cè)度分析：

對(duì)于模型（13），其預(yù)測(cè)值的測(cè)度為：

與傳統(tǒng)區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型想比，其預(yù)測(cè)區(qū)間的測(cè)度隨著區(qū)間灰數(shù)上下限的變化而變化，對(duì)于測(cè)度變化較大的區(qū)間灰數(shù)序列預(yù)測(cè)具有較好的適應(yīng)性。

（3）預(yù)測(cè)值誤差分析

4 算例分析

為了便于建模精度比較，將文獻(xiàn)[20]的算例和建模方法與傳統(tǒng)區(qū)間灰數(shù)建模方法及本文構(gòu)建的區(qū)間灰數(shù)序列的預(yù)測(cè)模型的擬合結(jié)果進(jìn)行比較，以驗(yàn)證新模型的有效性。

表1 X(?)中的區(qū)間灰數(shù)

根據(jù)本文建模過程構(gòu)建表1中序列X(?)的預(yù)測(cè)模型，具體步驟如下：

（1）計(jì)算序列X(?)的測(cè)度最大值

由定義2得到區(qū)間灰數(shù)序列X(?)的測(cè)度序列為測(cè)度最大值為測(cè)隊(duì)最小值為測(cè)度極值之差為顯然區(qū)間灰數(shù)序列X(?)的測(cè)度變化較大。

（2）構(gòu)造上、下限核序列

（3）構(gòu)造上、下限核序列的預(yù)測(cè)模型

對(duì)上、下限核序列建立DGM(1，1)模型，可得：

（4）區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型構(gòu)建

由式（13）可得：

根據(jù)上式得到列X(?)的預(yù)測(cè)值，并與公式（1）的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，如下頁表2所示。

表2 模擬結(jié)果比較

由表2可知，本文構(gòu)建模型的平均相對(duì)誤差為1.61%，遠(yuǎn)小于傳統(tǒng)方法，同時(shí)也小于文獻(xiàn)[20]方法的平均相對(duì)誤差，也就是本文模型有良好的預(yù)測(cè)精度。由表3對(duì)比三種方法得到的預(yù)測(cè)值的測(cè)度發(fā)現(xiàn)，公式（1）得到的測(cè)度預(yù)測(cè)值是保持不變的，而其他兩種方法的測(cè)度具有時(shí)變性。綜合考慮擬合值的預(yù)測(cè)誤差和測(cè)度的時(shí)變性，本文方法具有較好的擬合和預(yù)測(cè)效果。

表3 預(yù)測(cè)值測(cè)度比較

5 結(jié)論

基于核和“灰度不減”公理構(gòu)建的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型，對(duì)于灰度或測(cè)度波動(dòng)大的序列擬合效果不好，且無法預(yù)測(cè)序列測(cè)度的發(fā)展趨勢(shì)。本文首先分析了傳統(tǒng)區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型的上、下限預(yù)測(cè)值的誤差組成，為提高區(qū)間灰數(shù)上下限的擬合精度，在原模型基礎(chǔ)上，分別構(gòu)造新的上、下限核序列；然后分別建立上、下限核序列預(yù)測(cè)模型；最后將上、下限核序列預(yù)測(cè)值帶入傳統(tǒng)預(yù)測(cè)模型中，推導(dǎo)得到新的預(yù)測(cè)模型。新的預(yù)測(cè)模型不僅遵循了“灰度不減”公理，同時(shí)通過對(duì)上、下限取不同的核預(yù)測(cè)值提高了模型的擬合精度。實(shí)現(xiàn)對(duì)測(cè)度波動(dòng)較大序列的有效擬合，同時(shí)考慮序列的動(dòng)態(tài)發(fā)展，使測(cè)度具有時(shí)變性，從而擴(kuò)大了模型的應(yīng)用范圍。