王朝祥

(北京市第八十中學(xué) 北京 100102)

1 平均值的基礎(chǔ)知識(shí)

1.1 不連續(xù)量的平均值

如果給出一系列數(shù)值x1，x2，x3，…，xn，xn>0，以不同的數(shù)學(xué)運(yùn)算方式可以取得不同類型的平均值.

算術(shù)平均值

幾何平均值

調(diào)和平均值

方均根

加權(quán)平均值

W=x1p1+x2p2+…+xnpn

其中加權(quán)系數(shù)之和

p1+p2+…+pn=1

不同平均值之間的大小關(guān)系：H≤G≤A≤R，當(dāng)x1=x2=x3=…=xn時(shí)取等號(hào)．

1.2 連續(xù)函數(shù)的平均值

如圖1所示，其幾何意義為：在區(qū)間[x1,x2]范圍內(nèi)，函數(shù)曲線下所圍曲邊梯形的面積等于矩形ABCD的面積，矩形的高即為函數(shù)的平均值．

圖1 y-x圖像

若將積分區(qū)間分成n個(gè)等份(n→∞)，每一份記為Δx，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為yi，則

由此可見，連續(xù)函數(shù)的平均值與不連續(xù)量的算數(shù)平均值在本質(zhì)上是一致的．

2 平均值在物理中的應(yīng)用

2.1 平均值問題中的等效替代思想

物理學(xué)需要研究各種變量，許多物理量的變化過程是非均勻的，研究起來比較困難．引入平均的思想，可以用一個(gè)等效的常量代替變量，或者用一個(gè)均勻的變化過程代替非均勻的變化過程，從而對(duì)大量的同類變量或非均勻變化的過程做出整體的、概括性的描述．不同平均值的數(shù)學(xué)運(yùn)算方式不同，其物理意義也不同．

在測(cè)定性的物理實(shí)驗(yàn)中，對(duì)待測(cè)物理量進(jìn)行多次測(cè)量，然后把各次的測(cè)量結(jié)果取算術(shù)平均值，以此作為待測(cè)物理量的測(cè)量值，可以有效地減小實(shí)驗(yàn)過程中的偶然誤差．

如果某個(gè)物理量的平均值跟參與平均的各個(gè)量在總體中的權(quán)重有關(guān)，就要用到加權(quán)平均值．例如單向直線運(yùn)動(dòng)的平均速度、混合物的密度(不考慮總體積變化)、混合物的比熱容、混合物的平均摩爾質(zhì)量、質(zhì)心坐標(biāo)，等等．作為特例，如果各個(gè)量的權(quán)重相同，加權(quán)平均值就等于算術(shù)平均值．

調(diào)和平均值H是各個(gè)量倒數(shù)的算術(shù)平均值的倒數(shù)，在中學(xué)物理里有幾種典型應(yīng)用．例如：電路中有n個(gè)不同的電阻R1，R2，…，Rn并聯(lián)，從對(duì)電流的阻礙作用來看，這些電阻可以等效地看作n個(gè)相同的電阻Rh并聯(lián)，Rh即為這n個(gè)電阻阻值的調(diào)和平均值；電容器的串聯(lián)也有類似的規(guī)律．

溫度是分子熱運(yùn)動(dòng)劇烈程度的標(biāo)志，溫度越高，分子平均動(dòng)能越大．分子平均平動(dòng)動(dòng)能是各個(gè)分子平動(dòng)動(dòng)能的平均值，即

有定積分作為數(shù)學(xué)工具，計(jì)算連續(xù)函數(shù)的平均值就不再困難．例如，力的空間累積是功，力對(duì)位移的平均值可以表述為

借助力對(duì)位移的平均值，可以將變力做功問題等效地轉(zhuǎn)化為恒力做功問題．類似的平均值問題還有力對(duì)時(shí)間的平均值、平均速度、平均加速度、平均電流、平均功率等．

交變電流的有效值是根據(jù)電流的熱效應(yīng)定義的，即如果交變電流i(t)一個(gè)周期T內(nèi)在電阻R上產(chǎn)生的熱量與某一恒定電流I相同時(shí)間內(nèi)在電阻R上產(chǎn)生的熱量相等，恒定電流I稱作交變電流i(t)的有效值．即

有效值

例如，正弦交流電i(t)=Imsin(ωt+φ)的有效值

借助微元思想可以體會(huì)，交變電流的有效值I實(shí)際上是一個(gè)周期內(nèi)電流的方均根．

2.2 應(yīng)用平均值時(shí)要注意的幾個(gè)問題

物理量的各種平均值具有豐富的物理意義，計(jì)算物理量的平均值時(shí)要注意平均的對(duì)象、平均的區(qū)域、平均的方法這3個(gè)問題．

平均值的計(jì)算都有具體的對(duì)象．同一個(gè)物理量，若所取的平均對(duì)象不同，計(jì)算所得的平均值也就不同．辨別平均的對(duì)象，解決的是“對(duì)什么取平均”的問題．例如，力對(duì)位移的平均值等于該力所做的功與所對(duì)應(yīng)位移的比值，力對(duì)時(shí)間的平均值等于該力的沖量與所對(duì)應(yīng)時(shí)間的比值，這兩個(gè)平均值具有不同的物理意義．

不同類型的平均值所對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)運(yùn)算方法不同，其物理意義也就不同．計(jì)算平均值時(shí)，要根據(jù)具體的物理情景和物理問題的需求，選取不同的平均方法．

3 典型問題分析

【例1】某物體做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，在一段時(shí)間內(nèi)其速度由v1增加到v2，求該物體在這段時(shí)間內(nèi)的平均速度及其在位移中點(diǎn)的瞬時(shí)速度．

解析：物體的加速度記為a，加速時(shí)間

位移

其平均速度

聯(lián)立解得，物體在位移中點(diǎn)的瞬時(shí)速度

點(diǎn)撥：在勻加速直線運(yùn)動(dòng)中，中間時(shí)刻的瞬時(shí)速度(平均速度)等于始末速度的算術(shù)平均值，位移中點(diǎn)的瞬時(shí)速度等于始末速度的方均根．

若將物體做直線運(yùn)動(dòng)的位移分為相等的兩段，前半段的平均速度為v1，后半段的平均速度為v2，則全程的平均速度

此為v1和v2的調(diào)和平均值．

另外，若將物體的直線運(yùn)動(dòng)分為前后兩段，第一段運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和平均速度分別為t1和v1，第二段運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和平均速度分別為t2和v2，則全程的平均速度

此為v1和v2的加權(quán)平均值．

請(qǐng)讀者結(jié)合本題中4種平均速度的計(jì)算，體會(huì)不同類型的平均值在物理意義上的區(qū)別．

在0～T時(shí)間內(nèi)

點(diǎn)撥：本題中，電流對(duì)時(shí)間的平均值與時(shí)間段(平均的區(qū)域)的選取有關(guān)．

不同的物理過程內(nèi)，物理量的平均值一般不同．因此，敘述物理量的平均值時(shí)要明確所對(duì)應(yīng)的物理過程．

圖2 例3題圖

解析：彈力與位移的函數(shù)關(guān)系為F=-κx，此過程中彈力對(duì)位移的平均值

彈力與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為

F=-κAsinωt

此過程中彈力對(duì)時(shí)間的平均值

【例4】在一次實(shí)驗(yàn)中，某同學(xué)用螺旋測(cè)微器測(cè)量某圓柱體的直徑D，在柱體的不同位置測(cè)量了6次，測(cè)量結(jié)果如表1所示.

表1 直徑D的測(cè)量值

請(qǐng)計(jì)算直徑的算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差．

解析：測(cè)量結(jié)果的算術(shù)平均值

1.048 0+1.049 5+1.047 0)=1.049 18 cm

測(cè)量值的不確定度

算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差

所以，直徑的測(cè)量結(jié)果可以表述為

點(diǎn)撥：在處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的過程中，測(cè)量結(jié)果不確定度的估算涉及方均根的運(yùn)算．表述測(cè)量結(jié)果時(shí)，測(cè)量結(jié)果的有效數(shù)字與不確定度的最后一位對(duì)齊．