李清華 ，劉昭威

（1.南京航空航天大學(xué)能源與動力學(xué)院，南京210016；2.中國航發(fā)四川燃?xì)鉁u輪研究院，成都610500）

0 引言

計(jì)算流體力學(xué)（CFD）技術(shù)在壓氣機(jī)設(shè)計(jì)領(lǐng)域主要用于進(jìn)行流場數(shù)值模擬與氣動性能求解。需要根據(jù)數(shù)值模擬結(jié)果不斷修正葉片幾何構(gòu)型，再反復(fù)求解流場，直至得到滿足目標(biāo)性能要求的葉片幾何構(gòu)型。重復(fù)調(diào)整驗(yàn)證的過程計(jì)算量較大，工作周期長，設(shè)計(jì)過程繁瑣低效。為此提出了基于CFD技術(shù)的反問題設(shè)計(jì)方法，通過給定和控制葉片表面氣動參數(shù)分布，直接求解出滿足設(shè)計(jì)要求的葉片幾何構(gòu)型，目的性強(qiáng)、求解過程更為直觀、具有較高的設(shè)計(jì)效率。

Dang等[1-3]對反問題設(shè)計(jì)方法的研究從2維無黏設(shè)計(jì)計(jì)算逐步擴(kuò)展到3維黏性計(jì)算，研究對象也從亞聲速壓氣機(jī)擴(kuò)展到跨聲速軸流壓氣機(jī)，發(fā)展并改善了適用于反問題設(shè)計(jì)計(jì)算的滲透邊界條件，開發(fā)了INV3D軸流壓氣機(jī)葉片反問題設(shè)計(jì)程序，并成功地運(yùn)用于工程實(shí)際的改型設(shè)計(jì)中；Ghaly等[4]通過給定載荷和實(shí)際載荷之間的差異得到中弧面虛擬速度，基于此更新葉片幾何構(gòu)型；Hield[5]和Van Rooij等[6]研究了多級壓氣機(jī)的反問題設(shè)計(jì)方法，對級間氣動匹配過程進(jìn)行了極大的簡化，提升了反問題設(shè)計(jì)方法的工程實(shí)用性。在中國，王正明等[7-8]開展了2維反問題設(shè)計(jì)方法的研究，并建立了全3維黏性反問題設(shè)計(jì)方法；周新海等[9]通過有限體積法求解Euler方程，將反問題設(shè)計(jì)方法擴(kuò)展到跨聲速葉柵；楊策等[10]在葉片表面規(guī)定無量綱目標(biāo)速度分布，基于目標(biāo)速度分布和計(jì)算所得速度分布之間的差值來修正葉片吸壓力面坐標(biāo)，最終得到符合目標(biāo)的葉片幾何構(gòu)型；寧方飛等[11]構(gòu)造了葉片表面控制體，發(fā)展了葉片型線更新量與靜壓之間的關(guān)系，并將反問題設(shè)計(jì)應(yīng)用在工程實(shí)踐中。

可控?cái)U(kuò)散葉型在20世紀(jì)80年代由PW公司提出。NASA的Sanz等[12-13]開發(fā)的可控?cái)U(kuò)散葉型反問題設(shè)計(jì)程序 LINDES（Lewis Inverse Design Code）被廣泛應(yīng)用；Gelder和Schmid[14]采用可控?cái)U(kuò)散葉型對靜子進(jìn)行重新設(shè)計(jì)，葉片數(shù)減半，達(dá)到了雙圓弧葉型的性能；Sanger和Shreeve[15]對其所設(shè)計(jì)的可控?cái)U(kuò)散葉型靜子葉柵進(jìn)行與傳統(tǒng)雙圓弧葉型性能對比試驗(yàn)，驗(yàn)證了可控?cái)U(kuò)散葉型具有更寬廣的穩(wěn)定工作范圍。在中國，劉波等[16]采用數(shù)值優(yōu)化技術(shù)提出了1種可控?cái)U(kuò)散葉型的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法；鐘兢軍等[17]對可控?cái)U(kuò)散葉型的發(fā)展與設(shè)計(jì)方法進(jìn)行了系統(tǒng)的歸納和總結(jié)?？煽?cái)U(kuò)散葉型的設(shè)計(jì)概念能夠?yàn)槿?維黏性反問題設(shè)計(jì)定解條件給定方法的研究提供良好的借鑒。同時采用全3維黏性反問題設(shè)計(jì)，能夠進(jìn)一步提升可控?cái)U(kuò)散葉型的設(shè)計(jì)精度。

本文在自行開發(fā)的壓氣機(jī)全3維黏性反問題計(jì)算程序CIDS[18]的基礎(chǔ)上，發(fā)展了全3維黏性可控?cái)U(kuò)散葉型反問題設(shè)計(jì)方法。并選取NASA Stage35靜子葉片作為算例進(jìn)行驗(yàn)證。

1 模型和計(jì)算方法

本文的反問題設(shè)計(jì)計(jì)算基于有限體積法求解全3維黏性Navier-Stokes方程。其中，對流通量空間離散采用Steger-Warming迎風(fēng)分裂格式，黏性通量計(jì)算采用2階中心差分格式；采用LU-SGS隱式格式進(jìn)行時間推進(jìn)來獲得方程的定常解；運(yùn)用當(dāng)?shù)貢r間步長和隱式殘差光順提高收斂速度、增加求解的穩(wěn)定性；湍流黏性的計(jì)算采用Bald-Lomax湍流模型，計(jì)算量較小，且計(jì)算效率較高。

1.1 壓氣機(jī)葉片全3維反問題設(shè)計(jì)方法

本文通過給定葉片吸壓力面靜壓分布的方法，采用反問題求解相應(yīng)的葉片幾何構(gòu)型。在求解過程中，葉片型線在給定靜壓分布的作用下不斷更新，直至滿足設(shè)計(jì)要求。本文在課題組前期研究的基礎(chǔ)上[19]，采用黎曼不變量守恒構(gòu)造反問題計(jì)算邊界條件，構(gòu)建起吸壓力面靜壓分布與葉片型線更新量之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系

式中:v為采用給定靜壓與葉片表面實(shí)際靜壓差計(jì)算得到的葉片壁面的虛擬移動速度；p為靜壓；γ為比熱比；ρ為密度；上標(biāo)“+”和“-”分別表示葉片上、下表面。

用葉片吸壓力面的虛擬移動速度乘以1個虛擬時間步長，就得到葉片壁面的虛擬位移。葉片吸壓力面虛擬位移如圖1所示。

圖1 葉片吸壓力面虛擬位移

上述反問題設(shè)計(jì)方法理論是建立在2維基礎(chǔ)上的，很容易就能推廣到3維反問題設(shè)計(jì)中。在全3維反問題求解計(jì)算中，根據(jù)壓氣機(jī)子午流道形狀將子午面按照流道高度從低到高劃分網(wǎng)格截面。進(jìn)行反問題設(shè)計(jì)計(jì)算時，往往根據(jù)設(shè)計(jì)意圖，選取若干網(wǎng)格截面作為設(shè)計(jì)截面，計(jì)算得到其新的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，其他非設(shè)計(jì)截面則采用插值求得。

在反問題設(shè)計(jì)過程中，為了避免葉片吸、壓力面型線出現(xiàn)“交叉”現(xiàn)象或者在前后緣出現(xiàn)“不閉合”現(xiàn)象，必須對葉片厚度變化做出一定的約束。首先，給定葉片上下表面設(shè)計(jì)區(qū)域的移動范圍，即給定葉片厚度變化的上下限，防止葉片“過薄”或者“過厚”，出現(xiàn)不合理的葉片形狀；其次，保證葉片前后緣厚度不變，以確保葉片吸、壓力面型線在前后緣處閉合。葉片幾何型線設(shè)計(jì)區(qū)域如圖2所示，設(shè)計(jì)者可根據(jù)強(qiáng)度或其他設(shè)計(jì)需求給定設(shè)計(jì)區(qū)域的具體范圍。

圖2 葉片幾何型線設(shè)計(jì)區(qū)域

在進(jìn)行反問題改型設(shè)計(jì)時，需要保證葉片的氣流折轉(zhuǎn)角達(dá)到設(shè)計(jì)目的。以葉片基元級建立控制體，控制體內(nèi)的氣體流動應(yīng)當(dāng)滿足動量矩守恒方程，在絕對坐標(biāo)系下的表達(dá)形式為

式中:M為動量矩；G為流經(jīng)控制體的氣體質(zhì)量流量；r為半徑；cθ為氣流絕對速度的切向分量。

控制體總動量矩M可通過葉片對氣流的切向作用力求出

式中:Aθ為葉片中弧面面積的切向分量；LE和TE分別表示葉片前緣和尾緣。

在葉片改型前后，只需保證葉片吸壓力面靜壓差從前緣到尾緣的積分相等，就能保證葉片氣流折轉(zhuǎn)角在改型前后一致。

1.2 可控?cái)U(kuò)散葉型反問題設(shè)計(jì)

可控?cái)U(kuò)散葉型屬于定制葉型，其設(shè)計(jì)目標(biāo)是要控制氣流沿葉片表面的流動過程，減弱氣流在葉片通道內(nèi)的激波強(qiáng)度，使氣體盡可能保持較好的流動狀態(tài)，降低激波與附面層之間的相互干擾，進(jìn)而減小流動損失?？煽?cái)U(kuò)散葉型主要應(yīng)用于高亞聲速和低跨聲速葉型設(shè)計(jì)中，其進(jìn)口相對馬赫數(shù)為0.8~1.2。

可控?cái)U(kuò)散葉型葉片表面氣流流動如圖3所示。從圖中可見，在葉片壓力面附近氣流速度變化不大，基本保持相對較低的馬赫數(shù)不變進(jìn)行流動；在葉片吸力面附近，氣流從前緣開始持續(xù)加速，達(dá)到峰值馬赫數(shù)，該峰值馬赫數(shù)由設(shè)計(jì)人員給定，一般不超過1.2或1.3，氣流在葉片吸力面附近形成1個超聲速區(qū)。但是由于相對馬赫數(shù)不高，所以不會產(chǎn)生較強(qiáng)的激波。氣流加速達(dá)到峰值馬赫數(shù)后，通過控制其后的擴(kuò)壓程度，使氣流平緩地進(jìn)行減速運(yùn)動，降低壁面附近的逆壓梯度，從而減小附面層分離發(fā)生的風(fēng)險(xiǎn)，使氣流能夠保持較好的流動狀態(tài)，減少流動損失。前期研究表明，采用上述設(shè)計(jì)思路，能夠使葉型以較小的總壓損失在比較寬廣的范圍內(nèi)穩(wěn)定工作，同時使氣流在整個葉片都保持較好的流動狀態(tài)，不會發(fā)生明顯的附面層分離。

圖3 可控?cái)U(kuò)散葉型葉片表面氣流流動

反問題設(shè)計(jì)方法是直觀地給出葉片吸壓力面氣動參數(shù)的分布規(guī)律，通過求解器直接計(jì)算得到葉片的幾何構(gòu)型。本文采用的反問題設(shè)計(jì)方法以葉片表面靜壓分布作為輸入目標(biāo)來進(jìn)行葉片型線設(shè)計(jì)計(jì)算。但是由于反問題計(jì)算是基于全3維黏性流場求解，在壁面附近采用無滑移邊界條件，氣流在葉片表面速度為0。因此本文采用等熵馬赫數(shù)對葉片表面附近的氣流速度進(jìn)行設(shè)計(jì)，然后再根據(jù)等熵流動關(guān)系，將葉片吸壓力面等熵馬赫數(shù)分布轉(zhuǎn)化為靜壓分布

式中:pref為參考壓力，本文選擇為靜子葉片進(jìn)口平均總壓；Maisen為葉片表面對應(yīng)的等熵馬赫數(shù)。

采用式（4）將葉片表面的等熵馬赫數(shù)分布轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的靜壓分布，輸入反問題設(shè)計(jì)計(jì)算。

可控?cái)U(kuò)散葉型吸壓力面等熵馬赫數(shù)及其對應(yīng)的靜壓分布如圖4所示。從圖中可見，壓力面靜壓分布幾乎保持為1個常數(shù)，吸力面靜壓在前緣迅速降低，通過超聲速區(qū)后，經(jīng)歷了1個較為平緩的擴(kuò)壓過程，靜壓升高至設(shè)計(jì)值。按照可控?cái)U(kuò)散葉型的設(shè)計(jì)規(guī)律給定葉片吸壓力面的靜壓分布，通過反問題設(shè)計(jì)計(jì)算，可以達(dá)到控制葉片表面流動狀態(tài)的目的。

圖4 可控?cái)U(kuò)散葉型吸壓力面等熵馬赫數(shù)及其對應(yīng)的靜壓分布

按照上述思路，本文采用全3維黏性反問題設(shè)計(jì)方法進(jìn)行可控?cái)U(kuò)散葉型設(shè)計(jì)的具體流程為:首先對葉片表面等熵馬赫數(shù)分布進(jìn)行設(shè)計(jì)；其次采用等熵流動關(guān)系將等熵馬赫數(shù)分布轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的靜壓分布，以其作為目標(biāo)靜壓輸入反問題設(shè)計(jì)計(jì)算，如圖5所示。

2 計(jì)算結(jié)果及分析

圖5 可控?cái)U(kuò)散葉型反問題設(shè)計(jì)流程

本文選取NASA Stage 35靜子葉片作為算例，采用本文所發(fā)展的可控?cái)U(kuò)散葉型設(shè)計(jì)方法，對其靜子葉片進(jìn)行改型設(shè)計(jì)，以驗(yàn)證方法的準(zhǔn)確性和有效性。為了比較采用多圓弧葉型（Multiple Circular Arc Airfoil，MCA）的原始葉片幾何與反問題設(shè)計(jì)得到的可控?cái)U(kuò)散葉型葉片幾何的氣動性能，以Stage35原型靜子葉片為初始幾何，重新設(shè)計(jì)葉片吸壓力面靜壓分布，按照如圖5所示流程進(jìn)行可控?cái)U(kuò)散反問題設(shè)計(jì)計(jì)算。NASA Stage 35是小展弦比高負(fù)荷跨聲速壓氣機(jī)級，其進(jìn)口馬赫數(shù)為0.75左右。靜子葉片采用多圓弧葉型設(shè)計(jì)，共有46個葉片，葉尖稠度為1.3左右。在進(jìn)行反問題設(shè)計(jì)時，分別選取5%、30%、50%、70%、95%葉高處的截面為設(shè)計(jì)截面，葉片其余葉高處的截面通過插值得到。為了保證反問題計(jì)算過程穩(wěn)定，一般每10~20個時間推進(jìn)步長進(jìn)行1次反問題計(jì)算及葉片幾何型線更新。

圖6 30%葉高處截面吸壓力面等熵馬赫數(shù)分布及其對應(yīng)的靜壓分布

圖7 50%葉高處截面吸壓力面等熵馬赫數(shù)分布及其對應(yīng)的靜壓分布

圖8 70%葉高處截面吸壓力面等熵馬赫數(shù)分布及其對應(yīng)的靜壓分布

進(jìn)行等熵馬赫數(shù)分布設(shè)計(jì)時對不同葉高截面處采用相似的設(shè)計(jì)規(guī)律。為了避免在葉片通道內(nèi)產(chǎn)生激波，控制葉片吸力面峰值馬赫數(shù)為1.0，壓力面和尾緣出口馬赫數(shù)均為0.56。同時，本文是在保證總載荷不變的情況下，比較改型前后葉片幾何的總體氣動性能，因此要保證改型前后氣流在靜子葉片中的轉(zhuǎn)折角不發(fā)生變化，即在改變?nèi)~片吸壓力面靜壓分布時，需確保其載荷沿流向積分不變。吸壓力面等熵馬赫數(shù)分布采用B樣條曲線構(gòu)造。不同設(shè)計(jì)截面吸壓力面等熵馬赫數(shù)分布及其對應(yīng)的靜壓分布分別圖6～8所示。將靜壓分布作為目標(biāo)輸入反問題設(shè)計(jì)程序進(jìn)行計(jì)算，從圖7～9中目標(biāo)靜壓與反問題計(jì)算結(jié)果的靜壓分布的對比可見，反問題計(jì)算結(jié)果（紅線所示）與設(shè)計(jì)目標(biāo)（藍(lán)色圓圈）符合性較好，基本滿足設(shè)計(jì)意圖，很好地實(shí)現(xiàn)給定的吸壓力面靜壓分布。按照等熵流動關(guān)系將其轉(zhuǎn)換成等熵馬赫數(shù)分布可見，葉片吸壓力面馬赫數(shù)與設(shè)計(jì)目標(biāo)吻合較好，氣流在葉片表面的流動符合可控?cái)U(kuò)散葉型的流動特點(diǎn)。氣流在吸力面前緣連續(xù)加速達(dá)到峰值馬赫數(shù)，然后經(jīng)過平緩的減速擴(kuò)壓過程，最后達(dá)到給定的出口尾緣馬赫數(shù)，而在壓力面其流動速度基本保持不變，按照給定的馬赫數(shù)勻速流動。

從圖6～8中還可見，葉片前半部分吸壓力面靜壓差明顯要比后半部分大，表明設(shè)計(jì)時葉片前半部分載荷較大。3個不同葉高位置處反問題設(shè)計(jì)得到的可控?cái)U(kuò)散葉型與原始多圓弧葉型幾何的對比如圖9所示。從圖中可見，通過反問題設(shè)計(jì)得到的可控?cái)U(kuò)散葉型與原始多圓弧葉型有明顯區(qū)別，由于葉片前半部分承受載荷較大，可控?cái)U(kuò)散葉型葉片前半部分曲率變化較大。

圖9 不同葉高位置處反問題設(shè)計(jì)得到的可控?cái)U(kuò)散葉型與原始多圓弧葉型幾何的對比

不同葉高位置處反問題設(shè)計(jì)得到的可控?cái)U(kuò)散葉型與原型葉片通道內(nèi)相對馬赫數(shù)等值線分布對比如圖10～12所示。從圖中可見，反問題設(shè)計(jì)得到的可控?cái)U(kuò)散葉型靜子葉片通道內(nèi)氣流的流動結(jié)構(gòu)較好地滿足了設(shè)計(jì)目標(biāo)。葉片通道內(nèi)氣流峰值馬赫數(shù)為1.0左右，沒有產(chǎn)生較強(qiáng)的激波，在40%弦長處出現(xiàn)了局部的超聲速區(qū)域，由于控制了峰值馬赫數(shù)的大小，降低了激波的強(qiáng)度，從而有效控制了激波損失。同時，由于對葉片吸力面后半部分的擴(kuò)壓程度進(jìn)行控制，降低了附面層分離的風(fēng)險(xiǎn)，氣流在葉片吸力面后半部分的擴(kuò)壓流動較為合理。對比原始多圓弧葉型靜子葉片可以發(fā)現(xiàn)，原雙圓弧葉型的靜子葉片吸力面加速區(qū)靠近前緣部分，且在這部分區(qū)域加速比較明顯，峰值馬赫數(shù)位置靠近葉片前緣，而改型后形成的可控?cái)U(kuò)散葉型的靜子葉片，其吸力面的峰值馬赫數(shù)及其位置均由設(shè)計(jì)者給定，峰值馬赫數(shù)為1.0左右，大約在葉片弦長2/3處達(dá)到，壓力面的相對馬赫數(shù)基本沒有變化，氣流按照設(shè)計(jì)給定速度從前緣流動到尾緣。

圖10 30%葉高位置處反問題葉型與原型葉片馬赫數(shù)分布對比

圖11 50%葉高位置處反問題葉型與原型葉片馬赫數(shù)分布對比

圖12 70%葉高位置處反問題葉型與原型葉片馬赫數(shù)分布對比

帶有原始葉型和反問題設(shè)計(jì)得到的可控?cái)U(kuò)散葉型靜子葉片的壓氣機(jī)級設(shè)計(jì)點(diǎn)總體氣動性能對比見表1。從表中可見，本文改型設(shè)計(jì)得到的可控?cái)U(kuò)散葉型靜子，其壓氣機(jī)級總體性能要優(yōu)于原型的，其中流量增加了0.33%，總壓比提升了0.36%，絕熱效率提高了0.61%。

表1 NASA Stage 35原型與反問題氣動性能對比

為了進(jìn)一步驗(yàn)證反問題設(shè)計(jì)得到的可控?cái)U(kuò)散葉型靜子葉片以及整個壓氣機(jī)級在設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)速下的氣動性能，本文對其進(jìn)行設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)速下的特性計(jì)算，并與原型進(jìn)行對比。由反問題設(shè)計(jì)得到的可控?cái)U(kuò)散葉型與原始多圓弧葉型壓氣機(jī)級效率和壓比特性曲線對比如圖13所示。從圖中可見，改型后的壓氣機(jī)級的堵點(diǎn)流量有所增加，壓比與原型的相比基本不變，而在近喘振工況點(diǎn)效率比原型的有所提高。

圖13 NASA Stage 35反問題設(shè)計(jì)與原始壓氣機(jī)級效率和壓比特性曲線對比

3 結(jié)論

本文在課題組全3維黏性反問題設(shè)計(jì)方法的基礎(chǔ)上，發(fā)展了可控?cái)U(kuò)散葉型的全3維反問題設(shè)計(jì)方法，通過等熵流動關(guān)系建立起吸壓力面靜壓分布與葉片表面氣流速度之間的關(guān)系。以Stage 35為設(shè)計(jì)實(shí)例，對其靜子葉片進(jìn)行可控?cái)U(kuò)散葉型反問題改型設(shè)計(jì)。通過分析對比得到以下結(jié)論:

（1）反問題設(shè)計(jì)計(jì)算結(jié)果很好地滿足了給定的設(shè)計(jì)條件，得到的靜壓分布與給定靜壓分布吻合較好，驗(yàn)證了本文所采用的全3維黏性反問題設(shè)計(jì)方法的準(zhǔn)確性和有效性。

（2）以可控?cái)U(kuò)散葉型流動結(jié)構(gòu)為設(shè)計(jì)目標(biāo)，發(fā)展了1種基于全3維黏性反問題計(jì)算的可控?cái)U(kuò)散葉型反問題設(shè)計(jì)方法。通過合理設(shè)計(jì)葉片表面的馬赫數(shù)分布，求解得到滿足設(shè)計(jì)目標(biāo)的葉型幾何，其葉片通道內(nèi)的流動結(jié)構(gòu)符合可控?cái)U(kuò)散葉型的流動特點(diǎn)。通過算例對比分析，壓氣機(jī)設(shè)計(jì)點(diǎn)和非設(shè)計(jì)點(diǎn)的性能均得到提升，驗(yàn)證了本文發(fā)展的可控?cái)U(kuò)散葉型全3維反問題設(shè)計(jì)方法的有效性。

（3）本文在全3維環(huán)境下開展可控?cái)U(kuò)散葉型設(shè)計(jì)，拓寬了全3維黏性反問題設(shè)計(jì)的應(yīng)用范圍，為反問題設(shè)計(jì)中定解條件的給定方法提供了新思路。在進(jìn)行反問題設(shè)計(jì)時，可以合理組織葉片表面流動結(jié)構(gòu)，根據(jù)設(shè)計(jì)需求給定葉片表面的氣動參數(shù)分布，采用反問題設(shè)計(jì)方法求解出滿足設(shè)計(jì)目標(biāo)的葉片幾何構(gòu)型。