含功率擾動電力系統(tǒng)混沌振蕩的動態(tài)滑?？刂?/h1>
2019-02-25 01:27:20閔富紅馬漢媛王耀達
通信學(xué)報 2019年1期
閔富紅，馬漢媛，王耀達
（南京師范大學(xué)電氣與自動化工程學(xué)院，江蘇 南京 210023）
1 引言
電力系統(tǒng)是由發(fā)電機、變電所、輸配電線路、電力負荷等組成的復(fù)雜非線性系統(tǒng)，是一種耦合性強且變量多的動態(tài)系統(tǒng)。隨著電力系統(tǒng)的發(fā)展和用電需求的增加，電網(wǎng)結(jié)構(gòu)和電氣設(shè)備特性高度復(fù)雜化，由參數(shù)變化、時間延遲和外部干擾等因素引起的混沌振蕩會給電網(wǎng)的安全可靠運行帶來威脅?；煦缯袷幨且环N包含不穩(wěn)定軌道的、敏感依賴性的運行，是一種極其復(fù)雜的運行形式，其不穩(wěn)定性和敏感依賴性對電網(wǎng)安全運行構(gòu)成了威脅[1]，因此促使學(xué)者們針對此現(xiàn)象做了諸多研究工作，分析了各種電力系統(tǒng)的動態(tài)特性和混沌機理[2-3]。Ji[4]討論了激勵硬限幅環(huán)節(jié)對四階電力系統(tǒng)的影響，發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)經(jīng)歷了全局分岔進而導(dǎo)致持續(xù)的混沌行為。Min和Ma[5-6]分析了互聯(lián)電力系統(tǒng)的動力學(xué)行為，研究了電磁干擾的靈敏度和延遲時間，并闡述了其在電力系統(tǒng)中的共存現(xiàn)象。
電力系統(tǒng)中出現(xiàn)的混沌振蕩具有復(fù)雜的機理，其存在可能會導(dǎo)致整個系統(tǒng)的穩(wěn)定性喪失，引起電壓崩潰甚至災(zāi)難性停電，但是基于線性控制理論的傳統(tǒng)穩(wěn)定性策略不能有效地對其進行抑制，因此學(xué)者們也提出了許多非線性方法用于混沌控制，如反饋控制[7-8]、自適應(yīng)控制[9-12]、線性耦合[13]、滑模控制[14-16]、模糊控制[17]、激活反饋控制[18]等，其中許多方法適用于高度非線性的大系統(tǒng)如電力系統(tǒng)。Ni[19-20]分別設(shè)計了模糊快速終端滑模控制器和快速固定時間非奇異終端滑?？刂品椒?，來抑制電力系統(tǒng)中的混沌振蕩。Si[21]設(shè)計延遲反饋控制器用于抑制風(fēng)力渦輪機的分?jǐn)?shù)階永磁同步發(fā)電機模型中的混沌振蕩?？梢?，滑?？刂破鞯摹敖Y(jié)構(gòu)”并不固定，其主要機理是根據(jù)系統(tǒng)所期望的動態(tài)特性來設(shè)計切換面，通過控制律迫使系統(tǒng)狀態(tài)在該平面上運動?？刂破鞯脑O(shè)計與系統(tǒng)參數(shù)和擾動無關(guān)，具有響應(yīng)快速、對參數(shù)變化和擾動不靈敏以及物理實現(xiàn)簡單的優(yōu)點，能夠更好地適應(yīng)電力系統(tǒng)非線性強、變化劇烈、擾動因素多、參數(shù)不穩(wěn)定等特征，提高系統(tǒng)的可靠性且滑模抖振小。
本文基于含有功率擾動項的四階電力系統(tǒng)模型，通過分岔圖、Lyapunov指數(shù)譜和譜熵研究此模型中不同擾動參數(shù)改變時系統(tǒng)的非線性特性，發(fā)現(xiàn)功率擾動項可以使系統(tǒng)運動接近具有特定參數(shù)的周期軌道。此外，利用滑模控制進行混沌振蕩的抑制，使得系統(tǒng)在控制過程中隨時間變化，并且沿規(guī)定軌跡作小幅度的高頻切換，以繼電特性函數(shù)為切換面，使系統(tǒng)能夠快速平滑地到達控制目標(biāo)。數(shù)值仿真結(jié)果表明，該非線性控制器性能良好，使系統(tǒng)能夠快速平穩(wěn)地達到預(yù)期目標(biāo)。
2 系統(tǒng)建模
同步發(fā)電機是電力系統(tǒng)最重要的能量來源，也是整個電網(wǎng)的核心。以同步電動機作為重要設(shè)備的互聯(lián)電力系統(tǒng)的研究，是電力系統(tǒng)動態(tài)特性研究的關(guān)鍵。圖1顯示了帶勵磁環(huán)節(jié)的系統(tǒng)模型，這里的勵磁環(huán)節(jié)是指發(fā)電機勵磁系統(tǒng)控制回路，基本功能是為發(fā)電機勵磁繞組提供直流電流（勵磁電流），以形成發(fā)電機氣隙磁場，實現(xiàn)轉(zhuǎn)子機械能到定子電能的能量轉(zhuǎn)換。
圖 1中勵磁控制器的輸出電壓Efd受控制器約束，依據(jù)輸入電壓Efdr的大小在有限區(qū)間內(nèi)變動，系統(tǒng)方程可以描述為
其中，δ是發(fā)電機的功角，ω是發(fā)電機角頻率，f0是同步電機基頻，M是發(fā)電機轉(zhuǎn)子的慣性，d是阻尼因子，Pm是輸入功率的發(fā)電機，PG由發(fā)電機的電磁功率傳遞，x是輸電線路的電抗，xd是發(fā)電機的電抗，xd′是發(fā)電機暫態(tài)電抗，Td′0是發(fā)電機定子繞組的時間常數(shù)，Efd是激勵電壓，V0是無窮大的電壓，KA是放大增益，Vref是母線電壓參考值，Efd0是勵磁限制電壓的參考值，V是發(fā)電機的終端電壓，可表示為
電力系統(tǒng)中一般采用終端限幅方式的勵磁環(huán)節(jié)對系統(tǒng)進行設(shè)備保護，勵磁控制器的輸出電壓表示為
當(dāng)輸入電壓Efdr在區(qū)間內(nèi)時，輸出電壓 Efd=Efdr；當(dāng)Efdr超出輸出上限（或下限）時，輸出電壓Efd保持在上限而不再隨Efdr變動，直到Efdr重新回到區(qū)間范圍內(nèi)。
結(jié)合電力系統(tǒng)實際操作參數(shù)和便于混沌研究，各系統(tǒng)參數(shù)取值如表1所示。
依據(jù)表1所給系統(tǒng)參數(shù)，可計算式（1）的耗散特性如式（4）所示。
表1 系統(tǒng)參數(shù)取值
當(dāng)系統(tǒng)阻尼系數(shù)為正時，?V取值必為負，因此，只要保證電力系統(tǒng)等效阻尼一直為正阻尼，則式（1）表示的系統(tǒng)一定為耗散系統(tǒng)，對應(yīng)t時刻的相空間體積V（t）在運動過程中總是不斷收縮，如式（5）所示。當(dāng)t→∞時，相空間體積為 0，系統(tǒng)運動軌跡收縮到有限范圍內(nèi)并最終固定在一個吸引域上，從而表明系統(tǒng)混沌吸引子存在的可能性。
為求取系統(tǒng)的平衡點，令式（1）左側(cè)等于0，同時代入表1中的系統(tǒng)參數(shù)取值，可獲得如式（6）所示代數(shù)方程。
其中，勵磁控制器輸出電壓Efd表示為發(fā)電機端電壓V表示為
為了更接近實際情況，在電力系統(tǒng)中考慮了不同的功率擾動，式（1）可以被描述為
3 功率擾動項對系統(tǒng)的影響
以電磁擾動的幅值eP和頻率f1、負載擾動的幅值kP和頻率f2，這4個電力系統(tǒng)參數(shù)為研究對象，采取單變量法，固定系統(tǒng)參數(shù)1.9229）作為系統(tǒng)初始值代入式（8）進行迭代運算。利用分岔圖、Lyapunov指數(shù)譜和相圖分別展示這4個參數(shù)對系統(tǒng)狀態(tài)吸引子演變過程的影響。
3.1 電磁擾動幅值Pe
電磁擾動項的存在可能會使系統(tǒng)出現(xiàn)超高電壓，影響系統(tǒng)的穩(wěn)定運行，因此有必要對電磁擾動項進行研究。電力系統(tǒng)的振蕩頻率一般在0～2 Hz之間，選取Pk= 0，f2=0Hz和f1= 0.2 Hz，得到Pe∈ （0, 0.2255） 時系統(tǒng)的Pe分岔圖和 Lyapunov指數(shù)譜，如圖2所示。
圖2 系統(tǒng)關(guān)于 eP的分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜
當(dāng)Pe∈ （0,0.1256） 時，系統(tǒng)在參數(shù)范圍內(nèi)最大的2個Lyapunov指數(shù)（LE, Lyapunov exponent）同時保持趨近于0，即系統(tǒng)在該范圍內(nèi)LE值的分布情況為（0,0,-,-,-），通過 LE值并結(jié)合分岔圖可判定系統(tǒng)運動在此范圍內(nèi)為擬周期態(tài)。而系統(tǒng)在擬周期態(tài)與混沌態(tài)的分界點Pe= 0.1256處的LE 具體值為 （0,0,-0 .094 4,-0 .250 2,-1 .1088） 。當(dāng)Pe持續(xù)增大超過0.125 6后，系統(tǒng)的最大LE也會迅速增大并大于 0，系統(tǒng)運動實現(xiàn)由擬周期向混沌轉(zhuǎn)變的過渡過程。在Pe∈ （0.1256,0.2255） 的范圍內(nèi)，對應(yīng)圖 2（a）和圖 2 （b）的陰影部分，系統(tǒng)最大LE大于0，結(jié)合分岔圖可知此時系統(tǒng)運行在混沌運動狀態(tài)。當(dāng)Pe＞ 0.2255時，由于式（8）中的電力系統(tǒng)不能長期處于穩(wěn)定態(tài)，導(dǎo)致過度擾動作用下的電壓崩潰。表2給出了部分Pe值時系統(tǒng)的LE和運行狀態(tài)。
表2 不同Pe值時的LE與系統(tǒng)狀態(tài)
3.2 電磁擾動頻率f1
頻率作為功率擾動的另一個重要參數(shù)，其取值也會直接影響到電力系統(tǒng)運動狀態(tài)。在不考慮負荷擾動情況下，選取Pk= 0，f2=0和Pe= 0.02,得到f1∈ （0,2）時系統(tǒng)關(guān)于f1的分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜，如圖3所示。
圖3 系統(tǒng)關(guān)于 f1的分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜
在f1∈ （0.7780,0.8205）∪ （0.874 0,0.9315） 的范圍內(nèi)，即圖 3（a）與圖 3（b）中的 2塊陰影區(qū)域，最大 LE大于 0，表明系統(tǒng)運動于混沌狀態(tài)。當(dāng)f1∈ （0.8205,0.9315） 時，對應(yīng)圖 3（a）與圖 3（b）中 2塊陰影區(qū)域的中間部分，該段范圍內(nèi)最大 LE等于0且次大LE小于0，即該參數(shù)范圍內(nèi)系統(tǒng)處于周期運動狀態(tài)。而在f1∈ （0,0.7780）∪ （0.9315,2）時，系統(tǒng)的最大與次大LE均趨于0，從分岔圖可看出此時系統(tǒng)處于擬周期運動狀態(tài)。此外，f1= 0.420 0和f1= 1.2680的較小鄰域內(nèi)，最大的LE仍然為 0，次大 LE為負，在圖4（a）中出現(xiàn)周期窗口。
圖4 系統(tǒng)關(guān)于 f1特定值的相圖
圖4為f1=0.85和f1=0.90時系統(tǒng)的相圖，可以明顯看出系統(tǒng)運動狀態(tài)從周期到混沌的變化，與上述分析相對應(yīng)。部分f1值對應(yīng)的系統(tǒng)LE和運行狀態(tài)如表3所示。
3.3 負荷擾動幅值Pk
負荷擾動的存在可能會引起諧波和電壓波動等損害電能質(zhì)量的問題，威脅到電力系統(tǒng)的穩(wěn)定，因此有必要對負荷擾動項進行研究。在不考慮電磁擾動情況下，選取Pe=0，f1=0，f2=0.2，得到Pk∈ （0,0.2555）時系統(tǒng)關(guān)于Pk的分岔圖和 Lyapunov指數(shù)譜，如圖5所示。
圖5 系統(tǒng)關(guān)于 kP的分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜
在Pk∈ （0,0.137 0） 的范圍內(nèi)，系統(tǒng)最大 LE以及次大 LE均趨近于0，系統(tǒng)此時處于擬周期運動狀態(tài)。當(dāng)Pk∈ （0.137 0,0.205 5） 時，系統(tǒng)最大 LE保持 0，次大 LE≤0，系統(tǒng)運行在周期狀態(tài)，且從圖5（a）可看出周期數(shù)較大，而在上文中改變Pe時卻并未找到周期運動的痕跡。當(dāng)Pk∈（0.2055,0.2555）時，對應(yīng)圖 5（a）與圖 5（b）中的陰影區(qū)域，該段參數(shù)范圍內(nèi)系統(tǒng)最大LE具有明顯的正性，此時系統(tǒng)運動狀態(tài)為典型的混沌態(tài)。而在Pk值超過 0.255 5時，系統(tǒng)將會因過大的擾動作用產(chǎn)生功角發(fā)散現(xiàn)象從而崩潰。表 4展示了部分Pk值時系統(tǒng)的 LE和運行狀態(tài)。
表3 不同f1值時的LE與系統(tǒng)狀態(tài)
表4 不同Pk值時的LE與系統(tǒng)狀態(tài)
3.4 負荷擾動頻率f2
圖6 系統(tǒng)關(guān)于 f2的分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜
與上文分析方法類似，在不考慮電磁擾動情況下，選取Pk= 0.02，Pe= 0，f1=0，得到f2∈ （0,2） 時系統(tǒng)關(guān)于f2的分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜，如圖6所示。相較于改變f1時的情況，改變f2對系統(tǒng)帶來的變化大體上相似，只存在幾處較小的差別。當(dāng)f2在（0.7615,0.8130 ）∪ （0. 8855,0.957 5） 的范圍內(nèi)時，對應(yīng)于圖6中2個陰影區(qū)域，此時系統(tǒng)的最大LE大于 0，說明系統(tǒng)運動狀態(tài)為混沌態(tài)。當(dāng)f2∈（ 0.7135,0.761 5）∪ （0.8130,0.8855）∪（1.2565,1.2775）∪（1.682 0,1.704 0）時，系統(tǒng)最大LE為0，其余的LE均明顯小于 0，從圖 8（a）對應(yīng)區(qū)域也能觀察到明顯的周期窗口。當(dāng)f2∈（ 0,0.7135）∪ （0.9575,1.2565）∪（1.277 5,1.682 0）∪ （1.704 0,2）時，系統(tǒng)中最大的2個LE值同時趨近于0，意味著系統(tǒng)在該參數(shù)范圍內(nèi)運行于擬周期狀態(tài)。圖7為f2=0.75和f2=0.90時系統(tǒng)的相圖，可以明顯看出系統(tǒng)運動狀態(tài)從周期到混沌的改變，與上述分析相對應(yīng)。部分f2值對應(yīng)的系統(tǒng)LE和運行狀態(tài)如表5所示。
圖7 系統(tǒng)關(guān)于 f2特定值的相圖
4 系統(tǒng)的復(fù)雜度分析
混沌系統(tǒng)復(fù)雜度是指采用相關(guān)算法衡量混沌序列接近隨機序列的程度，復(fù)雜度值越大，序列越接近隨機序列，相應(yīng)的運動越無規(guī)律[22]。對于電力系統(tǒng)而言，若其具有明顯的振蕩規(guī)律，則得到的SE測度值較小，即復(fù)雜度較小，若系統(tǒng)無振蕩規(guī)律則復(fù)雜度較大。
為了進一步驗證此模型的運動狀態(tài)，這里引入譜熵復(fù)雜度（SE，spectral entropy）分析，圖8為系統(tǒng)關(guān)于eP、kP、f1、f2的SE復(fù)雜度分析圖。
由圖8（a）與圖8（b）可以明顯看出系統(tǒng)隨著eP和kP的增大，其復(fù)雜度呈現(xiàn)上升趨勢，與系統(tǒng)從擬周期到混沌的運動軌跡相對應(yīng)，在同一參數(shù)配置下，混沌運動的復(fù)雜度比擬周期和周期態(tài)大。圖 8（c）與圖 8（d）為系統(tǒng)關(guān)于f1和f2的SE復(fù)雜度分析圖。圖8（c）中虛線之間的區(qū)域?qū)?yīng)于圖 3（a）與圖 3（b）中 2塊陰影區(qū)域的中間部分，圖 8（d）中虛線之間的區(qū)域?qū)?yīng)在圖 6（a）與圖的范圍內(nèi)，這些部分均為系統(tǒng)出現(xiàn)小周期的區(qū)間，其 SE值較小，在混沌區(qū)間內(nèi)，其SE值相對較大。不同于圖 8（a）與圖 8（b）中 SE 值呈現(xiàn)單調(diào)遞增趨勢，圖 8（c）與圖8（d）中的SE值變化起伏較多，即相比擾動幅值，在擾動頻率影響下系統(tǒng)會展現(xiàn)出更加豐富的動力學(xué)行為。
表5 不同f2值時的LE與系統(tǒng)狀態(tài)
圖8 系統(tǒng)關(guān)于 eP、 kP、 f1、 f2的復(fù)雜度
通過改變式（8）中的功率擾動參數(shù)，觀察到了周期運動、擬周期運動以及混沌現(xiàn)象。與以往的工作相比，當(dāng)功率擾動存在時，電力系統(tǒng)更有可能出現(xiàn)混沌振蕩。因此，有必要設(shè)計一種有效的控制器來抑制電力系統(tǒng)的混沌現(xiàn)象。
5 混沌振蕩的抑制
滑?？刂破髟O(shè)計與系統(tǒng)參數(shù)無關(guān)，具有抗干擾能力強等特點。這里設(shè)計了一種基于低通濾波器的動態(tài)表面滑?？刂品椒?，以抑制混沌振蕩。該方法可以消除微分項的爆炸，具有簡單的結(jié)構(gòu)和參數(shù)設(shè)計，并將繼電器特性函數(shù)作為控制器的開關(guān)函數(shù)，有效地抑制了系統(tǒng)的抖振。
5.1 控制器設(shè)計與穩(wěn)定性分析
對于含功率擾動項的電力系統(tǒng)四階模型式（8），以發(fā)電機功角δ作為控制目標(biāo)，在方程組的第2項式加入控制律u，得到如下受控系統(tǒng)
設(shè)受控系統(tǒng)式（9）的預(yù)期控制目標(biāo)為r，定義位置誤差為
考慮到位置跟蹤、虛擬控制和濾波誤差，定義第二個Lyapunov函數(shù)為
定義滑動面為 s=e2,則動態(tài)面滑?？刂破髟O(shè)計為
證明 當(dāng)V2=p時B有界，記為M，則
得到
圖9 目標(biāo)軌跡為 r = 1.2 + 0.1sin（t） 的滑?？刂?/p>
5.2 數(shù)值仿真
依據(jù)上文受控系統(tǒng)穩(wěn)定性證明過程可知，χ越大控制效果越好，這也要求控制參數(shù)c1、c2盡可能取較大的正常數(shù)。此處選取控制器參數(shù)c1=c2=60，τ=0.01，η=0.3，ε= 0.001。選擇2組不同的控制目標(biāo)r= 1.2 + 0.1sin（t）和r=1.2，觀察系統(tǒng)在控制器接入系統(tǒng)后的控制效果，結(jié)果如圖 9和圖 10所示?？梢悦黠@看出在控制器接入之前系統(tǒng)中功角δ非常不穩(wěn)定，波動幅度大且沒有規(guī)律性，在150 s加入控制器后功角δ趨于穩(wěn)定，波動范圍小且有規(guī)律，系統(tǒng)近乎沒有抖振。
為體現(xiàn)本文控制方法的優(yōu)越性，在相同參數(shù)條件下，采用符號函數(shù)即θ（s）= sgn（s）作為控制器的切換函數(shù)，并對相同的控制目標(biāo)r= 1.2 + 0.1sin（t） 和r= 1.2進行追蹤控制數(shù)值仿真，仿真結(jié)果如圖 11和圖12所示。顯然，采用繼電特性函數(shù)作為切換函數(shù)的控制器控制效果更好，系統(tǒng)平滑穩(wěn)定無抖振。而采用常規(guī)的符號函數(shù)作為切換函數(shù)，雖然也能獲得良好的控制效果，但系統(tǒng)抖振明顯且抖振頻率較高，同時也因劇烈的抖振現(xiàn)象導(dǎo)致數(shù)值仿真耗時長、數(shù)據(jù)量大。
圖11 采用符號函數(shù)對目標(biāo)軌跡為 r = 1.2 + 0.1sin（t） 的滑?？刂?/p>
6 結(jié)束語
圖12 采用符號函數(shù)對目標(biāo)軌跡為r=1.2的滑模控制
本文建立了含有功率擾動項的四階電力系統(tǒng)模型，基于耗散性分析了系統(tǒng)混沌吸引子存在的可能性，利用 Lyapunov指數(shù)譜、分岔圖、相圖、譜熵等研究了功率擾動項對系統(tǒng)運動狀態(tài)的影響，可知在擾動頻率影響下系統(tǒng)會展現(xiàn)出更加豐富的動力學(xué)行為。功率擾動項參數(shù)對系統(tǒng)功角影響更為敏感，隨著擾動幅值到達某一值時，功角會急劇增大最終使系統(tǒng)失穩(wěn)。本文根據(jù)系統(tǒng)特點設(shè)計了一種基于低通濾波器動態(tài)面滑模控制，選取繼電特性函數(shù)作為切換函數(shù)，對電力系統(tǒng)中的混沌振蕩進行抑制，理論和數(shù)值仿真結(jié)果都表明了該控制器具備良好的控制效果，能有效地去除抖振。
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（南京師范大學(xué)電氣與自動化工程學(xué)院，江蘇 南京 210023）
1 引言
電力系統(tǒng)是由發(fā)電機、變電所、輸配電線路、電力負荷等組成的復(fù)雜非線性系統(tǒng)，是一種耦合性強且變量多的動態(tài)系統(tǒng)。隨著電力系統(tǒng)的發(fā)展和用電需求的增加，電網(wǎng)結(jié)構(gòu)和電氣設(shè)備特性高度復(fù)雜化，由參數(shù)變化、時間延遲和外部干擾等因素引起的混沌振蕩會給電網(wǎng)的安全可靠運行帶來威脅?；煦缯袷幨且环N包含不穩(wěn)定軌道的、敏感依賴性的運行，是一種極其復(fù)雜的運行形式，其不穩(wěn)定性和敏感依賴性對電網(wǎng)安全運行構(gòu)成了威脅[1]，因此促使學(xué)者們針對此現(xiàn)象做了諸多研究工作，分析了各種電力系統(tǒng)的動態(tài)特性和混沌機理[2-3]。Ji[4]討論了激勵硬限幅環(huán)節(jié)對四階電力系統(tǒng)的影響，發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)經(jīng)歷了全局分岔進而導(dǎo)致持續(xù)的混沌行為。Min和Ma[5-6]分析了互聯(lián)電力系統(tǒng)的動力學(xué)行為，研究了電磁干擾的靈敏度和延遲時間，并闡述了其在電力系統(tǒng)中的共存現(xiàn)象。
電力系統(tǒng)中出現(xiàn)的混沌振蕩具有復(fù)雜的機理，其存在可能會導(dǎo)致整個系統(tǒng)的穩(wěn)定性喪失，引起電壓崩潰甚至災(zāi)難性停電，但是基于線性控制理論的傳統(tǒng)穩(wěn)定性策略不能有效地對其進行抑制，因此學(xué)者們也提出了許多非線性方法用于混沌控制，如反饋控制[7-8]、自適應(yīng)控制[9-12]、線性耦合[13]、滑模控制[14-16]、模糊控制[17]、激活反饋控制[18]等，其中許多方法適用于高度非線性的大系統(tǒng)如電力系統(tǒng)。Ni[19-20]分別設(shè)計了模糊快速終端滑模控制器和快速固定時間非奇異終端滑?？刂品椒?，來抑制電力系統(tǒng)中的混沌振蕩。Si[21]設(shè)計延遲反饋控制器用于抑制風(fēng)力渦輪機的分?jǐn)?shù)階永磁同步發(fā)電機模型中的混沌振蕩?？梢?，滑?？刂破鞯摹敖Y(jié)構(gòu)”并不固定，其主要機理是根據(jù)系統(tǒng)所期望的動態(tài)特性來設(shè)計切換面，通過控制律迫使系統(tǒng)狀態(tài)在該平面上運動?？刂破鞯脑O(shè)計與系統(tǒng)參數(shù)和擾動無關(guān)，具有響應(yīng)快速、對參數(shù)變化和擾動不靈敏以及物理實現(xiàn)簡單的優(yōu)點，能夠更好地適應(yīng)電力系統(tǒng)非線性強、變化劇烈、擾動因素多、參數(shù)不穩(wěn)定等特征，提高系統(tǒng)的可靠性且滑模抖振小。
本文基于含有功率擾動項的四階電力系統(tǒng)模型，通過分岔圖、Lyapunov指數(shù)譜和譜熵研究此模型中不同擾動參數(shù)改變時系統(tǒng)的非線性特性，發(fā)現(xiàn)功率擾動項可以使系統(tǒng)運動接近具有特定參數(shù)的周期軌道。此外，利用滑模控制進行混沌振蕩的抑制，使得系統(tǒng)在控制過程中隨時間變化，并且沿規(guī)定軌跡作小幅度的高頻切換，以繼電特性函數(shù)為切換面，使系統(tǒng)能夠快速平滑地到達控制目標(biāo)。數(shù)值仿真結(jié)果表明，該非線性控制器性能良好，使系統(tǒng)能夠快速平穩(wěn)地達到預(yù)期目標(biāo)。
2 系統(tǒng)建模
同步發(fā)電機是電力系統(tǒng)最重要的能量來源，也是整個電網(wǎng)的核心。以同步電動機作為重要設(shè)備的互聯(lián)電力系統(tǒng)的研究，是電力系統(tǒng)動態(tài)特性研究的關(guān)鍵。圖1顯示了帶勵磁環(huán)節(jié)的系統(tǒng)模型，這里的勵磁環(huán)節(jié)是指發(fā)電機勵磁系統(tǒng)控制回路，基本功能是為發(fā)電機勵磁繞組提供直流電流（勵磁電流），以形成發(fā)電機氣隙磁場，實現(xiàn)轉(zhuǎn)子機械能到定子電能的能量轉(zhuǎn)換。
圖 1中勵磁控制器的輸出電壓Efd受控制器約束，依據(jù)輸入電壓Efdr的大小在有限區(qū)間內(nèi)變動，系統(tǒng)方程可以描述為
其中，δ是發(fā)電機的功角，ω是發(fā)電機角頻率，f0是同步電機基頻，M是發(fā)電機轉(zhuǎn)子的慣性，d是阻尼因子，Pm是輸入功率的發(fā)電機，PG由發(fā)電機的電磁功率傳遞，x是輸電線路的電抗，xd是發(fā)電機的電抗，xd′是發(fā)電機暫態(tài)電抗，Td′0是發(fā)電機定子繞組的時間常數(shù)，Efd是激勵電壓，V0是無窮大的電壓，KA是放大增益，Vref是母線電壓參考值，Efd0是勵磁限制電壓的參考值，V是發(fā)電機的終端電壓，可表示為
電力系統(tǒng)中一般采用終端限幅方式的勵磁環(huán)節(jié)對系統(tǒng)進行設(shè)備保護，勵磁控制器的輸出電壓表示為
當(dāng)輸入電壓Efdr在區(qū)間內(nèi)時，輸出電壓 Efd=Efdr；當(dāng)Efdr超出輸出上限（或下限）時，輸出電壓Efd保持在上限而不再隨Efdr變動，直到Efdr重新回到區(qū)間范圍內(nèi)。
結(jié)合電力系統(tǒng)實際操作參數(shù)和便于混沌研究，各系統(tǒng)參數(shù)取值如表1所示。
依據(jù)表1所給系統(tǒng)參數(shù)，可計算式（1）的耗散特性如式（4）所示。
表1 系統(tǒng)參數(shù)取值
當(dāng)系統(tǒng)阻尼系數(shù)為正時，?V取值必為負，因此，只要保證電力系統(tǒng)等效阻尼一直為正阻尼，則式（1）表示的系統(tǒng)一定為耗散系統(tǒng)，對應(yīng)t時刻的相空間體積V（t）在運動過程中總是不斷收縮，如式（5）所示。當(dāng)t→∞時，相空間體積為 0，系統(tǒng)運動軌跡收縮到有限范圍內(nèi)并最終固定在一個吸引域上，從而表明系統(tǒng)混沌吸引子存在的可能性。
為求取系統(tǒng)的平衡點，令式（1）左側(cè)等于0，同時代入表1中的系統(tǒng)參數(shù)取值，可獲得如式（6）所示代數(shù)方程。
其中，勵磁控制器輸出電壓Efd表示為發(fā)電機端電壓V表示為
為了更接近實際情況，在電力系統(tǒng)中考慮了不同的功率擾動，式（1）可以被描述為
3 功率擾動項對系統(tǒng)的影響
以電磁擾動的幅值eP和頻率f1、負載擾動的幅值kP和頻率f2，這4個電力系統(tǒng)參數(shù)為研究對象，采取單變量法，固定系統(tǒng)參數(shù)1.9229）作為系統(tǒng)初始值代入式（8）進行迭代運算。利用分岔圖、Lyapunov指數(shù)譜和相圖分別展示這4個參數(shù)對系統(tǒng)狀態(tài)吸引子演變過程的影響。
3.1 電磁擾動幅值Pe
電磁擾動項的存在可能會使系統(tǒng)出現(xiàn)超高電壓，影響系統(tǒng)的穩(wěn)定運行，因此有必要對電磁擾動項進行研究。電力系統(tǒng)的振蕩頻率一般在0～2 Hz之間，選取Pk= 0，f2=0Hz和f1= 0.2 Hz，得到Pe∈ （0, 0.2255） 時系統(tǒng)的Pe分岔圖和 Lyapunov指數(shù)譜，如圖2所示。
圖2 系統(tǒng)關(guān)于 eP的分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜
當(dāng)Pe∈ （0,0.1256） 時，系統(tǒng)在參數(shù)范圍內(nèi)最大的2個Lyapunov指數(shù)（LE, Lyapunov exponent）同時保持趨近于0，即系統(tǒng)在該范圍內(nèi)LE值的分布情況為（0,0,-,-,-），通過 LE值并結(jié)合分岔圖可判定系統(tǒng)運動在此范圍內(nèi)為擬周期態(tài)。而系統(tǒng)在擬周期態(tài)與混沌態(tài)的分界點Pe= 0.1256處的LE 具體值為 （0,0,-0 .094 4,-0 .250 2,-1 .1088） 。當(dāng)Pe持續(xù)增大超過0.125 6后，系統(tǒng)的最大LE也會迅速增大并大于 0，系統(tǒng)運動實現(xiàn)由擬周期向混沌轉(zhuǎn)變的過渡過程。在Pe∈ （0.1256,0.2255） 的范圍內(nèi)，對應(yīng)圖 2（a）和圖 2 （b）的陰影部分，系統(tǒng)最大LE大于0，結(jié)合分岔圖可知此時系統(tǒng)運行在混沌運動狀態(tài)。當(dāng)Pe＞ 0.2255時，由于式（8）中的電力系統(tǒng)不能長期處于穩(wěn)定態(tài)，導(dǎo)致過度擾動作用下的電壓崩潰。表2給出了部分Pe值時系統(tǒng)的LE和運行狀態(tài)。
表2 不同Pe值時的LE與系統(tǒng)狀態(tài)
3.2 電磁擾動頻率f1
頻率作為功率擾動的另一個重要參數(shù)，其取值也會直接影響到電力系統(tǒng)運動狀態(tài)。在不考慮負荷擾動情況下，選取Pk= 0，f2=0和Pe= 0.02,得到f1∈ （0,2）時系統(tǒng)關(guān)于f1的分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜，如圖3所示。
圖3 系統(tǒng)關(guān)于 f1的分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜
在f1∈ （0.7780,0.8205）∪ （0.874 0,0.9315） 的范圍內(nèi)，即圖 3（a）與圖 3（b）中的 2塊陰影區(qū)域，最大 LE大于 0，表明系統(tǒng)運動于混沌狀態(tài)。當(dāng)f1∈ （0.8205,0.9315） 時，對應(yīng)圖 3（a）與圖 3（b）中 2塊陰影區(qū)域的中間部分，該段范圍內(nèi)最大 LE等于0且次大LE小于0，即該參數(shù)范圍內(nèi)系統(tǒng)處于周期運動狀態(tài)。而在f1∈ （0,0.7780）∪ （0.9315,2）時，系統(tǒng)的最大與次大LE均趨于0，從分岔圖可看出此時系統(tǒng)處于擬周期運動狀態(tài)。此外，f1= 0.420 0和f1= 1.2680的較小鄰域內(nèi)，最大的LE仍然為 0，次大 LE為負，在圖4（a）中出現(xiàn)周期窗口。
圖4 系統(tǒng)關(guān)于 f1特定值的相圖
圖4為f1=0.85和f1=0.90時系統(tǒng)的相圖，可以明顯看出系統(tǒng)運動狀態(tài)從周期到混沌的變化，與上述分析相對應(yīng)。部分f1值對應(yīng)的系統(tǒng)LE和運行狀態(tài)如表3所示。
3.3 負荷擾動幅值Pk
負荷擾動的存在可能會引起諧波和電壓波動等損害電能質(zhì)量的問題，威脅到電力系統(tǒng)的穩(wěn)定，因此有必要對負荷擾動項進行研究。在不考慮電磁擾動情況下，選取Pe=0，f1=0，f2=0.2，得到Pk∈ （0,0.2555）時系統(tǒng)關(guān)于Pk的分岔圖和 Lyapunov指數(shù)譜，如圖5所示。
圖5 系統(tǒng)關(guān)于 kP的分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜
在Pk∈ （0,0.137 0） 的范圍內(nèi)，系統(tǒng)最大 LE以及次大 LE均趨近于0，系統(tǒng)此時處于擬周期運動狀態(tài)。當(dāng)Pk∈ （0.137 0,0.205 5） 時，系統(tǒng)最大 LE保持 0，次大 LE≤0，系統(tǒng)運行在周期狀態(tài)，且從圖5（a）可看出周期數(shù)較大，而在上文中改變Pe時卻并未找到周期運動的痕跡。當(dāng)Pk∈（0.2055,0.2555）時，對應(yīng)圖 5（a）與圖 5（b）中的陰影區(qū)域，該段參數(shù)范圍內(nèi)系統(tǒng)最大LE具有明顯的正性，此時系統(tǒng)運動狀態(tài)為典型的混沌態(tài)。而在Pk值超過 0.255 5時，系統(tǒng)將會因過大的擾動作用產(chǎn)生功角發(fā)散現(xiàn)象從而崩潰。表 4展示了部分Pk值時系統(tǒng)的 LE和運行狀態(tài)。
表3 不同f1值時的LE與系統(tǒng)狀態(tài)
表4 不同Pk值時的LE與系統(tǒng)狀態(tài)
3.4 負荷擾動頻率f2
圖6 系統(tǒng)關(guān)于 f2的分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜
與上文分析方法類似，在不考慮電磁擾動情況下，選取Pk= 0.02，Pe= 0，f1=0，得到f2∈ （0,2） 時系統(tǒng)關(guān)于f2的分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜，如圖6所示。相較于改變f1時的情況，改變f2對系統(tǒng)帶來的變化大體上相似，只存在幾處較小的差別。當(dāng)f2在（0.7615,0.8130 ）∪ （0. 8855,0.957 5） 的范圍內(nèi)時，對應(yīng)于圖6中2個陰影區(qū)域，此時系統(tǒng)的最大LE大于 0，說明系統(tǒng)運動狀態(tài)為混沌態(tài)。當(dāng)f2∈（ 0.7135,0.761 5）∪ （0.8130,0.8855）∪（1.2565,1.2775）∪（1.682 0,1.704 0）時，系統(tǒng)最大LE為0，其余的LE均明顯小于 0，從圖 8（a）對應(yīng)區(qū)域也能觀察到明顯的周期窗口。當(dāng)f2∈（ 0,0.7135）∪ （0.9575,1.2565）∪（1.277 5,1.682 0）∪ （1.704 0,2）時，系統(tǒng)中最大的2個LE值同時趨近于0，意味著系統(tǒng)在該參數(shù)范圍內(nèi)運行于擬周期狀態(tài)。圖7為f2=0.75和f2=0.90時系統(tǒng)的相圖，可以明顯看出系統(tǒng)運動狀態(tài)從周期到混沌的改變，與上述分析相對應(yīng)。部分f2值對應(yīng)的系統(tǒng)LE和運行狀態(tài)如表5所示。
圖7 系統(tǒng)關(guān)于 f2特定值的相圖
4 系統(tǒng)的復(fù)雜度分析
混沌系統(tǒng)復(fù)雜度是指采用相關(guān)算法衡量混沌序列接近隨機序列的程度，復(fù)雜度值越大，序列越接近隨機序列，相應(yīng)的運動越無規(guī)律[22]。對于電力系統(tǒng)而言，若其具有明顯的振蕩規(guī)律，則得到的SE測度值較小，即復(fù)雜度較小，若系統(tǒng)無振蕩規(guī)律則復(fù)雜度較大。
為了進一步驗證此模型的運動狀態(tài)，這里引入譜熵復(fù)雜度（SE，spectral entropy）分析，圖8為系統(tǒng)關(guān)于eP、kP、f1、f2的SE復(fù)雜度分析圖。
由圖8（a）與圖8（b）可以明顯看出系統(tǒng)隨著eP和kP的增大，其復(fù)雜度呈現(xiàn)上升趨勢，與系統(tǒng)從擬周期到混沌的運動軌跡相對應(yīng)，在同一參數(shù)配置下，混沌運動的復(fù)雜度比擬周期和周期態(tài)大。圖 8（c）與圖 8（d）為系統(tǒng)關(guān)于f1和f2的SE復(fù)雜度分析圖。圖8（c）中虛線之間的區(qū)域?qū)?yīng)于圖 3（a）與圖 3（b）中 2塊陰影區(qū)域的中間部分，圖 8（d）中虛線之間的區(qū)域?qū)?yīng)在圖 6（a）與圖的范圍內(nèi)，這些部分均為系統(tǒng)出現(xiàn)小周期的區(qū)間，其 SE值較小，在混沌區(qū)間內(nèi)，其SE值相對較大。不同于圖 8（a）與圖 8（b）中 SE 值呈現(xiàn)單調(diào)遞增趨勢，圖 8（c）與圖8（d）中的SE值變化起伏較多，即相比擾動幅值，在擾動頻率影響下系統(tǒng)會展現(xiàn)出更加豐富的動力學(xué)行為。
表5 不同f2值時的LE與系統(tǒng)狀態(tài)
圖8 系統(tǒng)關(guān)于 eP、 kP、 f1、 f2的復(fù)雜度
通過改變式（8）中的功率擾動參數(shù)，觀察到了周期運動、擬周期運動以及混沌現(xiàn)象。與以往的工作相比，當(dāng)功率擾動存在時，電力系統(tǒng)更有可能出現(xiàn)混沌振蕩。因此，有必要設(shè)計一種有效的控制器來抑制電力系統(tǒng)的混沌現(xiàn)象。
5 混沌振蕩的抑制
滑?？刂破髟O(shè)計與系統(tǒng)參數(shù)無關(guān)，具有抗干擾能力強等特點。這里設(shè)計了一種基于低通濾波器的動態(tài)表面滑?？刂品椒?，以抑制混沌振蕩。該方法可以消除微分項的爆炸，具有簡單的結(jié)構(gòu)和參數(shù)設(shè)計，并將繼電器特性函數(shù)作為控制器的開關(guān)函數(shù)，有效地抑制了系統(tǒng)的抖振。
5.1 控制器設(shè)計與穩(wěn)定性分析
對于含功率擾動項的電力系統(tǒng)四階模型式（8），以發(fā)電機功角δ作為控制目標(biāo)，在方程組的第2項式加入控制律u，得到如下受控系統(tǒng)
設(shè)受控系統(tǒng)式（9）的預(yù)期控制目標(biāo)為r，定義位置誤差為
考慮到位置跟蹤、虛擬控制和濾波誤差，定義第二個Lyapunov函數(shù)為
定義滑動面為 s=e2,則動態(tài)面滑?？刂破髟O(shè)計為
證明 當(dāng)V2=p時B有界，記為M，則
得到
圖9 目標(biāo)軌跡為 r = 1.2 + 0.1sin（t） 的滑?？刂?/p>
5.2 數(shù)值仿真
依據(jù)上文受控系統(tǒng)穩(wěn)定性證明過程可知，χ越大控制效果越好，這也要求控制參數(shù)c1、c2盡可能取較大的正常數(shù)。此處選取控制器參數(shù)c1=c2=60，τ=0.01，η=0.3，ε= 0.001。選擇2組不同的控制目標(biāo)r= 1.2 + 0.1sin（t）和r=1.2，觀察系統(tǒng)在控制器接入系統(tǒng)后的控制效果，結(jié)果如圖 9和圖 10所示?？梢悦黠@看出在控制器接入之前系統(tǒng)中功角δ非常不穩(wěn)定，波動幅度大且沒有規(guī)律性，在150 s加入控制器后功角δ趨于穩(wěn)定，波動范圍小且有規(guī)律，系統(tǒng)近乎沒有抖振。
為體現(xiàn)本文控制方法的優(yōu)越性，在相同參數(shù)條件下，采用符號函數(shù)即θ（s）= sgn（s）作為控制器的切換函數(shù)，并對相同的控制目標(biāo)r= 1.2 + 0.1sin（t） 和r= 1.2進行追蹤控制數(shù)值仿真，仿真結(jié)果如圖 11和圖12所示。顯然，采用繼電特性函數(shù)作為切換函數(shù)的控制器控制效果更好，系統(tǒng)平滑穩(wěn)定無抖振。而采用常規(guī)的符號函數(shù)作為切換函數(shù)，雖然也能獲得良好的控制效果，但系統(tǒng)抖振明顯且抖振頻率較高，同時也因劇烈的抖振現(xiàn)象導(dǎo)致數(shù)值仿真耗時長、數(shù)據(jù)量大。
圖11 采用符號函數(shù)對目標(biāo)軌跡為 r = 1.2 + 0.1sin（t） 的滑?？刂?/p>
6 結(jié)束語
圖12 采用符號函數(shù)對目標(biāo)軌跡為r=1.2的滑模控制
本文建立了含有功率擾動項的四階電力系統(tǒng)模型，基于耗散性分析了系統(tǒng)混沌吸引子存在的可能性，利用 Lyapunov指數(shù)譜、分岔圖、相圖、譜熵等研究了功率擾動項對系統(tǒng)運動狀態(tài)的影響，可知在擾動頻率影響下系統(tǒng)會展現(xiàn)出更加豐富的動力學(xué)行為。功率擾動項參數(shù)對系統(tǒng)功角影響更為敏感，隨著擾動幅值到達某一值時，功角會急劇增大最終使系統(tǒng)失穩(wěn)。本文根據(jù)系統(tǒng)特點設(shè)計了一種基于低通濾波器動態(tài)面滑模控制，選取繼電特性函數(shù)作為切換函數(shù)，對電力系統(tǒng)中的混沌振蕩進行抑制，理論和數(shù)值仿真結(jié)果都表明了該控制器具備良好的控制效果，能有效地去除抖振。
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