繆 超

(南京郵電大學(xué) 自動化學(xué)院，江蘇 南京 210046)

0 引 言

近年來，研究者們發(fā)現(xiàn)了許多真實(shí)網(wǎng)絡(luò)的特性，如小世界效應(yīng)[1]、無標(biāo)度特性[2]等等，從而促進(jìn)了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論的迅速發(fā)展。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上傳播動力學(xué)研究日益成為一個研究熱點(diǎn)。為了深入研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的病毒傳播機(jī)理，有效預(yù)防與控制大規(guī)模病毒傳播，已經(jīng)提出了多種不同的病毒傳播模型。其中較經(jīng)典的傳播模型有SI(susceptible-infected)、SIR(susceptible-infected-recovered)與SIS(susceptible-infected-susceptible)模型[3]。May和Lloyd討論了網(wǎng)絡(luò)規(guī)模對無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上傳播行為的影響，發(fā)現(xiàn)了有限規(guī)模的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)存在正的傳播強(qiáng)度臨界值。Barthelemy等深入分析了SI模型中病毒爆發(fā)的特性，發(fā)現(xiàn)病毒傳播動力學(xué)結(jié)構(gòu)具有明顯的層次性。

研究傳染病的臨界行為和閾值特性對于預(yù)測和控制傳染病的傳播具有非常大的現(xiàn)實(shí)意義。很多真實(shí)網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)度值分布較為集中，這些網(wǎng)絡(luò)稱為同構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，如均勻網(wǎng)絡(luò)[4]、隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)[5]和小世界網(wǎng)絡(luò)[6]等。這些網(wǎng)絡(luò)中的傳播模型分析通常存在一個共同的假設(shè)：均勻混合假設(shè)，即假設(shè)個體間具有相等的傳染性，沒有考慮個體差異對傳播行為的影響，這與真實(shí)情況存在較大的差異。因此許多研究者們開始研究人口以及網(wǎng)絡(luò)非均勻性對病毒傳播的影響。非均勻平均場方法[7-12](heterogeneous mean-field method)不再簡單地把所有節(jié)點(diǎn)看作是相似的，而是將相同的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行平均近似。這種方法考慮了節(jié)點(diǎn)異質(zhì)性。由于接觸的非均勻性已經(jīng)被證明對流行病的閾值和流行病的最終規(guī)模有很大的影響，Volz等[13]通過研究美國一個大型城市人口交往模式數(shù)據(jù)，建立了一種隨機(jī)分布接觸模型來研究傳播過程。Fournet等[14]研究高中學(xué)生之間兩組高度時間分布差異的接觸模式來描述其傳播過程并設(shè)計(jì)相應(yīng)的抑制方式。Colizza等[15]運(yùn)用非均勻平均場方法在多個亞群中推導(dǎo)出病毒流動感染的閾值表達(dá)式，提出了感染一定亞群所需要的最小流動感染病毒節(jié)點(diǎn)數(shù)。Lee等[16]討論了動態(tài)節(jié)點(diǎn)非均勻接觸模式對轉(zhuǎn)發(fā)算法性能的影響。Apolloni等[17]研究了雙層異構(gòu)網(wǎng)絡(luò)的非均勻性，這對病毒在一個地區(qū)傳播以及在多個地區(qū)的流動傳播的控制和預(yù)防有很大的貢獻(xiàn)。Gong等[18]研究了非均勻感染率對動態(tài)節(jié)點(diǎn)閾值的影響。

文中在充分考慮人群傳播差異性的前提下，以SIS模型為基礎(chǔ)，建立了具有分類人群傳播率的改進(jìn)模型，在無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)下研究傳染病的臨界行為和閾值特性，并通過仿真證明閾值計(jì)算的有效性。

1 多重傳播率SIS模型的建立

傳播動力學(xué)的研究主要集中于病毒傳播、信息傳播等，文中主要研究病毒傳播特性。病毒傳播動力學(xué)模型是根據(jù)病毒產(chǎn)生、發(fā)展以及網(wǎng)絡(luò)環(huán)境變化等情況，建立能夠反映傳播過程以及爆發(fā)或滅絕狀況的數(shù)學(xué)模型，通過對傳播模型的解析與研究來描述病毒發(fā)展的過程，預(yù)測傳染病的流行規(guī)律與發(fā)展趨勢，分析疾病爆發(fā)的原因，從而達(dá)到控制病毒傳播的目的。

SIS模型是研究病毒傳播常用的動力學(xué)模型，該模型適用于能夠反復(fù)感染的傳播模型，如流感。在此模型中個體處于易感態(tài)(S)或者感染態(tài)(I)，處于S態(tài)的節(jié)點(diǎn)以一定的概率λ感染為I態(tài)，而處于I態(tài)的節(jié)點(diǎn)也將以概率μ恢復(fù)為S態(tài)。當(dāng)某一個個體感染病毒，成為網(wǎng)絡(luò)中的種子節(jié)點(diǎn)，在一定的時間內(nèi)與其有接觸的其他節(jié)點(diǎn)有一定概率感染病毒，從而引起病毒在整個網(wǎng)絡(luò)中的傳播。

為了更好地描述傳播過程，按照節(jié)點(diǎn)度對網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行區(qū)分，定義p(k)表示度為k的節(jié)點(diǎn)占總節(jié)點(diǎn)的比例，p(k'|k)表示一個給定的度為k的節(jié)點(diǎn)與一個度為k'的節(jié)點(diǎn)相互連接的概率。于是當(dāng)p(k)≠0時，不難得出：

(1)

在無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中，對于SIS病毒傳播模型，將確定人口區(qū)分為感染率分別為λ1,λ2的兩個人群，定義相對密度I1k(t),I2k(t)分別表示度為k的節(jié)點(diǎn)被感染的概率。由于恢復(fù)率μ只影響系統(tǒng)穩(wěn)定時間，所以不妨設(shè)μ=1。

對于一個度為k的高感染率節(jié)點(diǎn)，在(t,t+Δt)時間段內(nèi)必然經(jīng)歷以下兩種過程：

(1)節(jié)點(diǎn)以I1k(t)的概率處于感染態(tài)(I),將以1的概率轉(zhuǎn)變?yōu)橐赘袘B(tài)(S)；

(2)節(jié)點(diǎn)以I2k(t)的概率處于易感態(tài)(S),每個與其連接的節(jié)點(diǎn)有一定概率使其感染成為感染態(tài)(I)。

其傳播動力學(xué)方程如式2所示：

(2)

其中p∈(0,1)為不同人口比例，且

(3)

2 閾值分析

記wk(t),uk(t)的穩(wěn)態(tài)值為I1k,I2k，令式2右端為0，經(jīng)過運(yùn)算可得式4：

(4)

由于無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)具有非關(guān)聯(lián)性，所以可得：

(5)

故不妨記Θ=λ1Θ1+λ2Θ2，將式5代入式4可得：

(6)

易得式6存在一個平凡解Θ=0。假設(shè)該方程存在一個非平凡解Θ≠0，則需要滿足如下條件：

|Θ=0≥1

(7)

即有：

(8)

從而可以求得無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的傳播臨界值λc為：

λc=[λ1(1-p)+λ2p]=〈k〉/〈k2〉

(9)

其中感染率取值范圍如下：

(10)

由上式可見：

(1)無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中的多傳播率傳播閾值受兩種傳播率影響，其影響強(qiáng)度由兩種傳播率人群比例決定。

(2)與單一傳播率類似，傳播閾值受網(wǎng)絡(luò)規(guī)模以及平均度分布影響，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)規(guī)模N→∞時，〈k〉→∞，從而有λc=[λc1(1-p)+λc2p]→0。

3 仿真與結(jié)果分析

通過具體實(shí)例對具有多種傳播率的SIS模型進(jìn)行閾值仿真，驗(yàn)證計(jì)算所得的閾值。

首先，生成一個具有1 000個節(jié)點(diǎn)的BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)，給定該網(wǎng)絡(luò)平均度分布為6，連邊數(shù)為3 000，大部分節(jié)點(diǎn)度集中在平均度附近，只有小部分節(jié)點(diǎn)擁有較大的度，符合無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先連接特性。對生成的BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)計(jì)算各參數(shù)數(shù)據(jù)：平均度分布〈k〉=6，二階矩=41.436。于是由式9計(jì)算結(jié)果可得閾值條件如下：

(11)

設(shè)定恢復(fù)率為1，兩種傳播率人口比例為4∶6。將人口比例代入式10，計(jì)算病毒臨界傳播率λ1,λ2的取值范圍：

(12)

圖1 時間演化曲線(λ2a=0.2)

圖2 時間演化曲線 (λ2b=0.12)

由圖可知，當(dāng)[λ1(1-p)+λ2p]〈k2〉/〈k〉<1時，病毒在網(wǎng)絡(luò)中爆發(fā)并長期存在，反之，病毒在有限時間內(nèi)迅速消亡。

為了確定病毒爆發(fā)的臨界值，首先將分別固定兩種傳播率中的一個，研究另一種傳播率的傳播特性。根據(jù)式10求得的臨界值條件，分別設(shè)定高傳播率為0.16和0.18，經(jīng)過計(jì)算低傳播率閾值分別為：0.122 5和0.092 5，畫出低傳播率閾值傳播圖，分別如圖3和圖4所示。

圖3 單閾值演化(λ1=0.16)

圖4 單閾值演化(λ1=0.18)

由圖可知，仿真所得低傳播率傳播閾值與計(jì)算結(jié)果相符。

為了完整地驗(yàn)證閾值條件，根據(jù)式10所列范圍，繪制三維閾值，如圖5所示。

根據(jù)圖5將仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果填入表1，其中λ1為高傳播率，λ2為低傳播率理論閾值，λ2e為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，對比仿真結(jié)果與理論數(shù)值表明，在誤差允許范圍內(nèi)，仿真結(jié)果與第二節(jié)中求得的理論結(jié)果相一致。

圖5 三維閾值

閾值12345678910λ10.150.160.170.180.190.20.210.220.230.24λ2c0.137 50.122 50.107 50.092 50.077 50.062 50.047 50.032 50.0170.002λ2e0.140.120.1150.10.0850.0650.050.030.010

4 結(jié)束語

網(wǎng)絡(luò)傳播動力學(xué)作為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究中的重要課題，具有極其重要的意義。文中介紹了一種具有多重傳播率的SIS傳播模型，可以描述具有顯著人群差異性的人口網(wǎng)絡(luò)模型中的傳播過程。應(yīng)用異質(zhì)平均場方法研究網(wǎng)絡(luò)特性，異質(zhì)平均場理論將度相同的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行平均近似，而不再將所有節(jié)點(diǎn)簡單近似。對相同節(jié)點(diǎn)度的節(jié)點(diǎn)分組，研究某一節(jié)點(diǎn)度k下的節(jié)點(diǎn)傳播過程，繼而推廣至整個網(wǎng)絡(luò)。從推導(dǎo)和仿真結(jié)論可以看出，具有多重傳播率的SIS傳播模型與普通傳播模型類似地存在與傳播率以及網(wǎng)絡(luò)平均度相關(guān)的傳播閾值，多重傳播率閾值由傳播率以及不同類型人口比例構(gòu)成。這為如何定向免疫與控制類似現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)中的病毒傳播過程提供了一個可行的方向。