張傳宗，朱阿康，謝夢瑋，魯延玲

(南京郵電大學 理學院，江蘇 南京 210003)

0 引 言

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)[1]是具有眾多數(shù)量節(jié)點和復(fù)雜連接結(jié)構(gòu)的高度復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)，可以看作是一個具有足夠復(fù)雜拓撲結(jié)構(gòu)的圖，衍生出來小世界網(wǎng)絡(luò)和無標度網(wǎng)絡(luò)等網(wǎng)絡(luò)模型[2]。眾多復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中，社會網(wǎng)絡(luò)的研究已有很長的歷史，它是由一群人或團體按照某種關(guān)系連接起來而構(gòu)成的一種復(fù)雜體系。

病毒傳播在社會網(wǎng)絡(luò)中廣泛存在，近年來，許多學者采用平均場[3]、有效度[4]、離散概率模型[5]等方法來描述病毒傳播的演化過程，提出了包括SI、SIS和SIR在內(nèi)的多種病毒傳播模型[6-9]，研究了不同病毒傳播模型分別在均勻網(wǎng)絡(luò)和無標度網(wǎng)絡(luò)中的傳播臨界值問題[10-12]、動態(tài)網(wǎng)絡(luò)中病毒傳播模型的穩(wěn)定性[13-14]等。

病毒在社會網(wǎng)絡(luò)中傳播時，人類會做出相應(yīng)的行為反應(yīng)，以減少自身被感染的概率。Sahneh和Scoglio在模擬病毒傳播中的人類行為時，提出了SAIS病毒傳播模型[15]。病毒正在傳播的信息被健康節(jié)點獲得后，健康節(jié)點的警覺意識就會促使它以一定的概率轉(zhuǎn)化為預(yù)警節(jié)點，采取一些措施，降低自己被感染的可能性。而預(yù)警節(jié)點被感染后，經(jīng)過一系列措施又恢復(fù)到健康狀態(tài)，由于存在被感染的經(jīng)歷，所以經(jīng)過一次預(yù)警行為的部分健康個體為了降低再次感染的概率，再次轉(zhuǎn)化為預(yù)警節(jié)點，這就是二次預(yù)警行為，據(jù)此提出一種具有二次預(yù)警行為的SAIS模型。

1 基于二次預(yù)警行為的SAIS病毒傳播模型

在網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)中，個體用節(jié)點表示，個體間的連接關(guān)系用兩節(jié)點間的邊表示。在網(wǎng)絡(luò)中，影響節(jié)點狀態(tài)的因素不僅來自節(jié)點本身，也來自與其相鄰的所有節(jié)點。在具有二次預(yù)警行為的SAIS病毒傳播模型中，網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點具有三種狀態(tài)：健康狀態(tài)S(易感染狀態(tài))、預(yù)警狀態(tài)A(不易感染狀態(tài))、感染狀態(tài)I。假設(shè)易感染節(jié)點被感染的概率為β0，預(yù)警節(jié)點被感染的概率為βα。在病毒傳播過程中，由于預(yù)警節(jié)點會采取一定的措施降低被感染的概率，所以一般有：β0>βα。同時，易染節(jié)點以概率α轉(zhuǎn)化為預(yù)警狀態(tài)，感染節(jié)點以概率δ0恢復(fù)為易感染節(jié)點S，以δα的概率轉(zhuǎn)化為預(yù)警節(jié)點。將感染節(jié)點轉(zhuǎn)化為預(yù)警節(jié)點的行為稱為二次預(yù)警。具有二次預(yù)警行為的SAIS病毒傳播模型的節(jié)點狀態(tài)轉(zhuǎn)化示意圖如圖1所示。

圖1 節(jié)點狀態(tài)轉(zhuǎn)化

設(shè)在一個節(jié)點平均度為的網(wǎng)絡(luò)中，S(t),I(t),A(t)分別為易染狀態(tài)、感染狀態(tài)、預(yù)警狀態(tài)在時間點t時的節(jié)點密度。則其滿足歸一化條件：

A+S+I=1

(1)

利用平均場理論，得到具有二次預(yù)警行為SAIS模型的微分動力學演化方程：

(2)

利用歸一化條件，則上述微分方程等價為：

(3)

設(shè)D={(S,I)|0≤S,I≤1}為非負初始條件下的非負不變集。

2 病毒傳播模型的理論分析

2.1 模型的求解

當病毒的傳播進入穩(wěn)態(tài)時，S、A、I三種節(jié)點密度隨時間的變化率均為0，即dS/dt=0和dI/dt=0。此時，可以得到系統(tǒng)(3)的平衡點E=(S,I)?D。因此，平衡點滿足：

(4)

由式4可知，顯然，無病平衡點：E0=(S0,I0)=(1,0)是方程的一個平衡點。

當感染節(jié)點密度不為0時，即I≠0，則系統(tǒng)(3)地方病平衡點:E*=(S*,I*)滿足方程：

β0SI+βα(1-S-I)I-

δαI-δ0I=0

(5)

-β0SI-αSI+δ0I=0

(6)

由式5得易感染節(jié)點平均密度與感染節(jié)點平均密度的關(guān)系式為：

(7)

將式7帶入式6得穩(wěn)態(tài)時感染節(jié)點密度：

(8)

則易感染狀態(tài)節(jié)點密度為：

(9)

即可以得到結(jié)論：系統(tǒng)(3)存在唯一地方病平衡點。

由以上結(jié)果易得具有二次預(yù)警行為的SAIS模型的病毒傳播閾值為：

(10)

2.2 結(jié)果分析

2.2.1 分析舊模型

使用同樣的求解方法，對具有一次預(yù)警行為的SAIS模型及經(jīng)典SIS模型進行求解，得到如下結(jié)果：

具有一次預(yù)警行為的SAIS模型：

經(jīng)典SIS模型

2.2.2 感染節(jié)點密度的比較

從求解結(jié)果來看，顯然有IA'，即具有二次預(yù)警行為的SAIS模型的感染節(jié)點密度小于僅具有一次預(yù)警行為的SAIS模型的感染節(jié)點密度；具有二次預(yù)警行為的SAIS模型的預(yù)警節(jié)點密度大于僅具有一次預(yù)警行為的SAIS模型的預(yù)警節(jié)點密度。

(1)比較I'與I''。

利用已求的感染節(jié)點密度分析得：

即當β0>βα時，I'I''。

(2)比較I與I''。

利用已求的感染節(jié)點密度分析得：

顯然，若β0>βα時，I

得到以下結(jié)論：

定理1：

(1)當β0>βα時，I

注：相比于具有一次預(yù)警行為的SAIS模型，加入了二次預(yù)警的SAIS模型的感染節(jié)點密度小于SIS模型的感染節(jié)點密度時，預(yù)警節(jié)點被感染的概率所取范圍更廣。

2.2.3 傳播閾值的比較

通過不同模型的傳播閾值的比較，可以更好地體現(xiàn)模型的優(yōu)越性。

對上式的正負性進行討論后，可以得出結(jié)論：

定理2：

注：相比于具有一次預(yù)警行為的SAIS模型，加入了二次預(yù)警的SAIS模型的傳播閾值小于SIS模型的傳播閾值時，變量取值范圍更廣。

3 數(shù)值仿真

根據(jù)理論分析可以發(fā)現(xiàn)，隨著二次預(yù)警率的增加，感染密度逐漸減小，病毒傳播臨界值逐漸增大。

在WS小世界網(wǎng)絡(luò)中進行仿真，以驗證理論結(jié)果。WS小世界網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點數(shù)為1 000，節(jié)點的平均度=6,對于每次仿真，易感染節(jié)點的預(yù)警概率不變即α=0.15。在Monte Carlo仿真中，在病毒傳播的起始時刻，隨機選取一個節(jié)點作為傳染源。

3.1 驗證理論結(jié)果

在小世界網(wǎng)絡(luò)中，在相同的條件下模擬具有二次預(yù)警行為與具有一次預(yù)警行為的SAIS模型感染節(jié)點密度與時間的變化關(guān)系，如圖2和圖3所示。

圖2 有一次預(yù)警行為的SAIS模型感染節(jié)點密度與時間變化曲線

由圖2可以看出，隨著時間的推移，病毒傳播呈現(xiàn)先上升后趨于穩(wěn)定的形態(tài)。最終感染節(jié)點密度穩(wěn)定在0.5左右。

由圖3可以看出，隨著時間的推移，病毒傳播呈現(xiàn)先上升后趨于穩(wěn)定的形態(tài)。最終感染節(jié)點密度穩(wěn)定在0.35左右。

從圖2及圖3的感染節(jié)點密度走向上看，兩種模型最終都會趨于一個穩(wěn)定值。對比兩幅圖像，顯然增加了第二次預(yù)警行為的SAIS模型的穩(wěn)態(tài)感染節(jié)點密度要小于僅具有一次預(yù)警行為的SAIS模型。符合理論推導(dǎo)。

圖3 具有二次預(yù)警行為的SAIS模型感染節(jié)點密度與時間變化曲線

3.2 研究二次預(yù)警行為模型的性質(zhì)

針對不同感染率，改變二次預(yù)警率，得到不同預(yù)警率下感染節(jié)點密度隨時間變化的曲線。當易染節(jié)點被感染的概率β0=0.02，二次預(yù)警率分別取值0.4,0.6，0.8時，穩(wěn)態(tài)感染節(jié)點密度隨時間變化的曲線如圖4所示。

圖4 不同二次預(yù)警率對I(t)的影響(β0=0.02)

由圖4可以看出，隨著病毒傳播時間的推移，感染節(jié)點密度均會趨于一個穩(wěn)定的數(shù)值，且二次預(yù)警率越高，穩(wěn)態(tài)時感染節(jié)點密度越低。

當易染節(jié)點被感染的概率β0=0.08，二次預(yù)警率分別取值0.4,0.6，0.8時，穩(wěn)態(tài)感染節(jié)點密度隨時間變化的示意圖如圖5所示。

圖5 不同二次預(yù)警率對I(t)的影響(β0=0.08)

從圖5中可以得出與圖4相同的結(jié)論，即二次預(yù)警率越高，穩(wěn)態(tài)時感染節(jié)點密度越低，感染節(jié)點的數(shù)目越少。

綜上所述，隨著二次預(yù)警率的增加，穩(wěn)態(tài)時感染節(jié)點的密度不斷減小。而且二次預(yù)警率越高，病毒傳播進入穩(wěn)態(tài)的時間越短。從而可以說明增加二次預(yù)警率可以減少病毒爆發(fā)規(guī)模，減緩病毒在網(wǎng)絡(luò)中的爆發(fā)。

4 結(jié)束語

在實際社會網(wǎng)絡(luò)中，健康個體即使采取一定措施轉(zhuǎn)化為預(yù)警個體，可最后還是感染病毒轉(zhuǎn)化為感染個體；隨著自身康復(fù)力和外部治療的作用，感染個體被治愈，由于之前的染病經(jīng)歷，該個體又重新回到預(yù)警狀態(tài)。文中正是考慮人類的二次預(yù)警行為，提出了新的SAIS病毒傳播模型。在該模型中，一方面，健康節(jié)點可以接收到感染鄰居節(jié)點散布的“病毒存在”預(yù)警信息，進而以一定的預(yù)警率轉(zhuǎn)化為預(yù)警節(jié)點；另一方面，感染個體被治愈后，由于種種原因?qū)︻A(yù)警行為有記憶，可以直接轉(zhuǎn)化為預(yù)警個體。理論分析和研究發(fā)現(xiàn)，隨著二次預(yù)警率的增加，感染密度是逐漸變小的，病毒傳播臨界值是逐漸增大的，說明隨著二次預(yù)警率的增加，可以減少病毒爆發(fā)規(guī)模，減緩病毒在網(wǎng)絡(luò)中的爆發(fā)。

這意味著，預(yù)警信息的重視程度越強，二次預(yù)警行為越普遍，越可以減緩病毒在網(wǎng)絡(luò)中的傳播，進而降低病毒爆發(fā)的規(guī)模。為了更好地預(yù)防和控制病毒傳播，病毒傳播過程中的預(yù)警行為對病毒傳播的影響，以及預(yù)警行為和病毒傳播的相互關(guān)系值得繼續(xù)深入研究。