薛瑞梅，王書(shū)敏，姚若俠

(陜西師范大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 西安 710119)

0 引 言

計(jì)算機(jī)科學(xué)的蓬勃發(fā)展推動(dòng)了其他學(xué)科的發(fā)展，計(jì)算機(jī)符號(hào)計(jì)算系統(tǒng)[1-3]的出現(xiàn)為人類分析和研究數(shù)學(xué)物理模型提供了極大的便利。近年來(lái)，計(jì)算機(jī)科學(xué)在數(shù)學(xué)物理領(lǐng)域的應(yīng)用，使得非線性科學(xué)煥發(fā)了新的活力。在力學(xué)、物理學(xué)、生命科學(xué)、工程技術(shù)等許多領(lǐng)域，非線性偏微分方程的精確解都發(fā)揮著重要作用。科學(xué)研究者提出了大量的求解非線性微分方程的方法，如反散射法[4]、雙線性法[5]、齊次平衡法[6]等。而變系數(shù)非線性偏微分方程往往比常系數(shù)的非線性偏微分方程具有更廣泛的物理意義，它的解更具一般性，也更貼近現(xiàn)象的本質(zhì)。Maple作為一個(gè)應(yīng)用廣泛的符號(hào)計(jì)算系統(tǒng)，結(jié)合了世界上最強(qiáng)大的數(shù)學(xué)引擎和接口，使用它非常容易分析、探索、可視化和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。1970年，Kadomtsev和Petviashvili提出的用以描述散色和非線性介質(zhì)中的擾動(dòng)KP方程[7]，在流體力學(xué)、氣體動(dòng)力學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的意義，它的解對(duì)許多問(wèn)題都有重要的參考價(jià)值[8]。文中借助計(jì)算機(jī)符號(hào)計(jì)算系統(tǒng)Maple，通過(guò)修正的CK直接約化方法[9-11]和推廣的Painlevé非標(biāo)準(zhǔn)截?cái)喾椒╗12-14]求解一類變系數(shù)KP方程。

文中研究的一般變系數(shù)KP方程的形式如下[15]：

[ut+f(t)(6uux+uxxx)]x+g(t)uyy=0

(1)

其中，f(t),g(t)是關(guān)于t的任意函數(shù)。當(dāng)f(t)=a,g(t)=b(a,b是常數(shù))時(shí)，式1變?yōu)槌Ｏ禂?shù)方程。

[ut+a(6uux+uxxx)]x+buyy=0

(2)

以Maple為計(jì)算工具，采用修正的CK方法獲得了式1與式2的解之間的關(guān)系，再利用Painlevé非標(biāo)準(zhǔn)截?cái)喾椒?gòu)造出式2的解，繼而獲得式1的解。

1 變系數(shù)KP方程的CK約化

設(shè)式1有如下形式的解：

u(x,y,t)=α(x,y,t)+β(x,y,t)U(X,Y,T)

(3)

其中，α=α(x,y,t),β=β(x,y,t),X=X(x,y,t),Y=Y(x,y,t),T=T(x,y,t)均為待定函數(shù)，并且在變換{u,x,y,t}→{U,X,Y,T}下，要求U(X,Y,T)滿足式2，即

(UT+a(UUX+UXXX))X+bUUYY=0

(4)

其中，a,b是常數(shù)。

式1的約化過(guò)程如下所述：

(1)調(diào)用Maple的偏微分方程工具包PDEtools，即[>with PDEtools()；然后在Maple中輸入式1；

(2)調(diào)用微分替換函數(shù)dsubs()，執(zhí)行dsubs()語(yǔ)句，用式3替換式1中的u之后，再將式4代入；

(3)借助collect()函數(shù)和coeff()函數(shù)，整理并提取出未知函數(shù)U及其導(dǎo)數(shù)項(xiàng)系數(shù)，令其為零，由此可獲得一個(gè)代數(shù)方程組，解之得：

其中，F(xiàn)(t),T(t)是t的任意函數(shù)；k1,k2,k3是任意常數(shù)。

在Maple中式1約化過(guò)程的主要算法如下：

>restart:with PDEtools();

>PDEque:=方程(1);#將方程(1)輸入計(jì)算機(jī)，命名為“PDEque”

>equ1:=dsubs(u(x,y,t)=α(x,y,t)+β(x,y,t)U(X,Y,T),PDEqu);

>equ2:=equ1-(UT+α(UUx+UXXX))X+bUUYY=0;

>equ3:=collect(equ2，U(X,Y,T));

#以下部分提取出未知函數(shù)U及其導(dǎo)數(shù)項(xiàng)系數(shù)，由此可獲得一個(gè)代數(shù)方程組，解之

>str:=[]:

>for i from 1 tonops(equ3) do

>ss(i):=coeffs(op(i,equ3),U(X,Y,T)):

>str:=[ss(i),op(equ3)]:

>od:

>str;

>solve(str);

根據(jù)上述過(guò)程，有如下定理：

定理1：如果X,Y,T,α,β按式5給出，則式1的解可表示為：

(6)

2 常系數(shù)KP方程的Painlevé非標(biāo)準(zhǔn)截?cái)嗾归_(kāi)

通常，對(duì)于如下給定的偏微分方程：

F(t,x1,x2,…,xn,u,ux1,ux2,…,uxi,

ux1x1,…,uxixj…)≡F(u)=0

(7)

它的Painlevé展開(kāi)為：

(8)

其中，φ≡φ(x1,x2,…,xn,t)=0是任意的奇性流形，由于φ的任意性，Conte[16]令：

(9)

即可獲得一個(gè)新的展開(kāi)式：

(10)

對(duì)于2+1維系統(tǒng)(y=x2),將式9分別對(duì)x,y和t求微分，可得下述三個(gè)恒等式：

(11)

其中

(12)

其中，S,C,K均在Mobious變換下保持不變。

Pickering對(duì)上述方法作了進(jìn)一步推廣[17]，取一個(gè)新的變量g作為一個(gè)新的展開(kāi)函數(shù)使得展開(kāi)式為：

(13)

其中，g要滿足以下條件：

(14)

式14的自洽條件為gxt=gtx,gyt=gty,gxy=gyx。

所要研究的(2+1)維KP方程具有以下形式：

[ut+a(uux+uxxx)]x+buyy=0

(15)

將u按照Pickering推廣的方法展開(kāi)為：

(16)

借助主項(xiàng)平衡，得到α=-2，代入式16，展開(kāi)如下：

(17)

其中g(shù)要滿足式14。

繼而，與第二部分約化過(guò)程一致，這里就不再對(duì)算法進(jìn)行贅述。借助Maple系統(tǒng)的dsubs()函數(shù)，把式14和式17代入式15；再用collect(equation，g)語(yǔ)句整理方程；然后，再把所得到的方程通過(guò)Maple系統(tǒng)的sort()函數(shù)，按照g的冪次高低排列；最后，提取g的各個(gè)冪次項(xiàng)的系數(shù)。如果僅僅希望得到原方程的孤子解的話，則可以令S=s,C=c,K=k，也就是說(shuō)把它們當(dāng)作常數(shù)處理，此時(shí)再令g的各次項(xiàng)系數(shù)為零，即可得到一系列復(fù)雜的方程組，通過(guò)Maple計(jì)算，在之后給出結(jié)果，式中的s,c,k均為常數(shù)，且由式14通過(guò)Maple計(jì)算可得：

(18)

參數(shù)解1：

u3=0,u4=0

(19)

對(duì)應(yīng)式2的單孤子解為：

(20)

當(dāng)s=1,c=1,k=0,a=1,b=1,d=1(或者s=1,c=0,k=1,a=1,b=1,d=1)時(shí)，用Maple中的Plots命令可以輕易畫(huà)出解的三維圖，如圖1所示。

圖1 三維圖(1)

參數(shù)解2：

(21)

對(duì)應(yīng)式2的單孤子解為：

同樣，當(dāng)s=1,c=0,k=1,a=1,b=1,d=1(或者s=1,c=1,k=0,a=1,b=1,d=1)時(shí)，解的三維圖如圖2所示。

利用式6進(jìn)而得到式1的單孤子解。

解1：

(23)

解2：

(24)

通過(guò)對(duì)變系數(shù)KP方程的求解，可以發(fā)現(xiàn)：利用Maple只需很少的執(zhí)行語(yǔ)句，就可以輕松地對(duì)復(fù)雜的變系數(shù)KP方程求精確解，并且可以利用Maple中的Plots命令繪制約化后的常系數(shù)方程孤子解三維的圖形，使數(shù)學(xué)問(wèn)題可視化，有助于研究者直觀地分析微分方程的解。

3 結(jié)束語(yǔ)

以符號(hào)計(jì)算系統(tǒng)Maple為工作平臺(tái)對(duì)變系數(shù)KP方程進(jìn)行求解，利用修正的CK直接約化方法建立了變系數(shù)KP方程與其對(duì)應(yīng)的常系數(shù)方程之間的關(guān)系，之后利用推廣的Painlevé非標(biāo)準(zhǔn)截?cái)嗾归_(kāi)法分析了常系數(shù)方程，求出了常系數(shù)方程的兩個(gè)解，進(jìn)而得到變系數(shù)KP方程的兩個(gè)單孤子解。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法可用于一部分變系數(shù)偏微分方程的求解。