王紹波，梁振

1. 安徽醫(yī)科大學(xué)附屬安慶醫(yī)院 設(shè)備科，安徽 安慶 246003；2. 安徽醫(yī)科大學(xué) 生物醫(yī)學(xué)工程系，安徽 合肥 230032

引言

超聲醫(yī)學(xué)因其具有對人體無損害、成本低、使用方便、能夠?qū)崟r顯示器官等眾多優(yōu)點而成為一種重要的輔助診斷方法[1-4]。超聲醫(yī)學(xué)圖像由于成像原理所致，在成像過程中產(chǎn)生斑點噪聲，斑點噪聲在一定程度上制約了超聲圖像的診斷效果[5-6]。為了改善超聲醫(yī)學(xué)圖像的質(zhì)量，近年來，出現(xiàn)了去除斑點噪聲的方法。例如：基于頻域的濾波及基于空間域的濾波，這兩類方法要么完全在頻域進(jìn)行處理，要么完全在空間域進(jìn)行處理，不能同時兼顧空間特性和頻域特性。小波變換作為一種高效的時頻域信號分析工具，克服了上面兩種方法的限制。首先，Guo等[7]第一次提出了基于小波的噪聲抑制方法，接著Donoho等[8]提出了軟閾值算法對一維信號進(jìn)行除噪。之后有各種小波去噪方法的提出[9-14]，大都是圍繞閾值的選取及小波系數(shù)的去留問題做出相關(guān)處理，最后再進(jìn)行軟閾值或硬閾值修改小波系數(shù)。軟閾值方法得到地小波系數(shù)連續(xù)性好，但是由于小波系數(shù)的減小，易引起邊界模糊。硬閾值算法可以較好地保留圖像邊緣等局部特征，但得到地小波系數(shù)連續(xù)性差，可能引起重構(gòu)信號的振蕩，使圖像出現(xiàn)振鈴、偽吉布斯效應(yīng)等視覺失真（產(chǎn)生偽像），在醫(yī)學(xué)診斷中這是不允許的，因此尋求一種更好地保留小波系數(shù)連續(xù)性并使小波系數(shù)盡可能地接近原系數(shù)是有必要地。

綜上所述，本文提出了一種基于冪次變換的閾值去噪算法，該算法主要是對大于閾值的小波系數(shù)進(jìn)行冪次變換，使處理后的小波系數(shù)盡可能地接近原始小波系數(shù)，這樣更好地保留了圖像的細(xì)節(jié)信息，減小了去噪引起的誤差。

1 方法

1.1 去噪思想

小波去噪方法的高效性主要得益小波變換系數(shù)的集中性。在小波域中，對應(yīng)邊緣的高頻分量的能量集中在少數(shù)小波系數(shù)上，而噪聲一般能量比較分散，因此，在小波域中可以從幅度上將信號的小波系數(shù)同噪聲的小波系數(shù)分開：噪聲主要為絕對值較小的小波系數(shù)，高頻信號主要為絕對值較大的小波系數(shù)，因此，可通過選定閾值來區(qū)分信號和噪聲。

1.2 冪次變換算法

在進(jìn)行本文算法的推導(dǎo)之前，首先，要理解軟閾值及線性小波去噪模型，具體模型如a與b所示。

a. 軟閾值算法(Soft Threshold Algorithm，STA)函數(shù)公式表示為：

式(1)中，δ各層對應(yīng)的閾值，W表示帶噪聲的小波系數(shù)，Ws表示閾值處理后的小波系數(shù)，下同。

b. 線性加權(quán)算法(The Linear Weighted Algorithm，LWA)模型[15-17]：

式(2)中，Wl表示閾值處理后的小波系數(shù)，Wmax為各層小波系數(shù)絕對值的最大值，下同。

通過公式可以看出，式(2)是對軟閾值算法進(jìn)行了線性加權(quán)，使小波系數(shù)一定程度上接近了原系數(shù)，但小波系數(shù)越小與原小波系數(shù)的差值越大，為此尋求一種非線性增大小波系數(shù)的方法是有必要的，通過各種數(shù)學(xué)函數(shù)性質(zhì)可知，冪次變換算法（Power Transform Algorithm，PTA）具有這種優(yōu)勢。冪次函數(shù)的基本形式為：

因本文研究的小波系數(shù)絕對值全為大于等于0的值，所以我們只考慮γ為正常數(shù)的情況，γ＞0是冪次函數(shù)具有如下性質(zhì)：① 性質(zhì)1：它的圖像點都過（0,0）和（1,1）點；② 性質(zhì) 2 ：在x∈ [0,∞ )時，冪次函數(shù)單調(diào)遞增。

圖1 冪次變換

由圖1可看出，1＞γ＞0時，正滿足了閾值處理后小波系數(shù)越小增大幅度越大的要求，這說明冪次變換適合修改小波系數(shù)。由冪次變換的性質(zhì)1知，在x∈[0 1]內(nèi)，x=0時，s=0，x=1，s=1，這一性質(zhì)可以方便地確定變換后的最大值與最小值。為了能夠?qū)绱巫儞Q用于修改小波系數(shù)，應(yīng)當(dāng)將小波系數(shù)的絕對值變?yōu)閇0 1]范圍內(nèi)，即：

其中

由式(5)知，W1∈[0 1]，這樣，便可將冪次變換引入到小波變換中，同時，還要滿足在W1=1時，W2=1+δ/(Wmax-δ)，為此，假設(shè)變換后的小波系數(shù)為：

式中，γ值對小波去噪的效果至關(guān)重要，小波系數(shù)經(jīng)過冪次變換后，不能超過去噪前小波系數(shù)的值，不然會增加去噪后圖像的誤差。為此，冪次變換應(yīng)滿足以下條件，

對W3及W4進(jìn)行一次及二次求導(dǎo)有：

由c＞0,1＞γ＞0，(γ-1)＜0，是逐漸減小的，因此只有一個交點時應(yīng)有≥1（因為橫坐標(biāo)縱坐標(biāo)均為小波系數(shù)），有γ≥(Wmax-δ)/Wmax。由c＞0，1＞γ＞0，(γ-1)＜0，W1γ-2＞0知，且交點在W1=1，所以應(yīng)為拐點，此時將(9)式代入，得

將c、γ代入（1）式，由a 得最終處理后的小波系數(shù)為：

本文算法的具體過程如下：① 對噪聲圖像進(jìn)行對數(shù)變換，使斑點噪聲變?yōu)榧有栽肼?；?對對數(shù)圖像進(jìn)行二次小波分解；③ 對高頻小波系數(shù)按照式(15)進(jìn)行處理；④ 對處理后的小波系數(shù)進(jìn)行小波逆變換和指數(shù)變換得到去噪后的圖像，各種算法原理比較與見圖2。

圖2 各種算法原理比較圖

2 實驗仿真及討論

實驗仿真在Matlab7.0環(huán)境下編程實現(xiàn)，為證明本文算法的有效性，本文以均方根誤差及邊緣保留評價系數(shù)為評價標(biāo)準(zhǔn)，其中均方根誤差定義為：

式中，fi表示原圖像像素值，為去噪后圖像的像素值。N表示圖像的像素點的總個數(shù)，下同。

邊緣保留評價參數(shù)e定義為：

圖3 噪聲方差為0.01時各種算法處理的結(jié)果

圖4 噪聲方差為0.01時各種算法處理后的高頻系數(shù)圖像

由圖3、圖4可知，噪聲方差為0.01時，PTA處理后的高頻系數(shù)保留最好，LWA算法次之。并且軟閾值算法由于小波系數(shù)的減小，造成超聲醫(yī)學(xué)圖像明顯變暗，LWA算法雖然增大了小波系數(shù)，但小波系數(shù)越小其增加的幅度越小，高頻邊緣沒有得到有效地恢復(fù)，PTA有效地增大了高頻小波系數(shù)，使其更好地接近原小波系數(shù)值，視覺效果最好。分別對采集自PHILIPS IE33彩超機(jī)，S5-1探頭所得五幅不同的心臟圖像添加不同方差的斑點噪聲后，運用軟閾值算法、線性加權(quán)閾值算法和本文算法處理的結(jié)果比較，如表1、表2所示。

分別對采集自MIDRAY彩超機(jī)，C5-2探頭所得五幅不同腹部圖像添加不同方差的斑點噪聲后，運用軟閾值算法、線性加權(quán)閾值算法和本文算法處理的結(jié)果比較，如表3、表4所示。

表1 各種算法處理后的均方根誤差

表2 各種算法處理后的邊緣保留評價系數(shù)

表3 各種算法處理后的均方根誤差

表4 各種算法處理后的邊緣保留評價系數(shù)

通過分析表1、表3可知，噪聲越小，PTA算法處理后的均方根誤差越小，LWA算法次之，STA算法均方根誤差最大，但隨著噪聲的增大，PTA算法均方根誤差變化最快，LWA次之，STA算法變化最慢，噪聲增加到一定程度后，STA算法處理后的均方根誤差最小。造成這種現(xiàn)象的原因可以通過小波去噪思想加以解釋，小波去噪是通過小波系數(shù)的大小來區(qū)分噪聲和信號的，即大于閾值的小波系數(shù)為信號信息，小于閾值的小波系數(shù)為噪聲，然而，高頻細(xì)節(jié)信息和噪聲的小波系數(shù)沒有絕對的分界線，高頻細(xì)節(jié)信息越小與噪聲越難區(qū)分。在這里本文選用的統(tǒng)一閾值算法，認(rèn)為大于閾值的小波系數(shù)為有用信號，小于閾值的小波系數(shù)為噪聲。理論上，通過本文算法，處理后的圖像更接近與原圖像，但事實上，在統(tǒng)一閾值算法中，大于閾值的小波系數(shù)中包含有噪聲小波系數(shù)，隨著噪聲的增大，保留的小波系數(shù)中噪聲增加，通過PTA算法改變小波系數(shù)的同時，增大了噪聲，噪聲均方根誤差的增大。通過分析表2、表4，可知，PTA算法高頻細(xì)節(jié)信息保留最好，LWA算法次之，STA算法最少。

3 結(jié)論

本文提出了一種基于冪次變換的自適應(yīng)超聲醫(yī)學(xué)圖像去噪算法。該算法成功地將冪次變換引入到小波閾值去噪中，并對冪次變換的系數(shù)c、γ求解進(jìn)行了推導(dǎo)，成功地實現(xiàn)了冪次變換的自適應(yīng)去噪算法。理論上，從該算法的推導(dǎo)可以看出，本文算法處理后的小波系數(shù)更接近于原小波系數(shù)的值，優(yōu)于軟閾值算法及線性加權(quán)算法，但由于高頻細(xì)節(jié)信號和噪聲沒有絕對的分界線，選用統(tǒng)一閾值算法在保留的小波系數(shù)中含有一定的噪聲，隨著噪聲方差的增加，保留的小波系數(shù)中噪聲含量會相應(yīng)地增加，在增大小波系數(shù)的同時也增大了噪聲系數(shù)，一定程度上增加了均方根誤差。通過上述討論可知，在噪聲方差較小時，保留的小波系數(shù)中噪聲系數(shù)較少，本文算法效果最好；高頻細(xì)節(jié)信息越豐富，噪聲越大，有用信號和噪聲難以區(qū)分，造成過多的噪聲信號得以保留，本文算法在增大有用信號的同時也增大了噪聲系數(shù)，因而增加了均方根誤差，本文算法去噪效果反而不如軟閾值算法及線性加權(quán)算法。從邊緣保留評系數(shù)來看，本文算法對邊緣保留效果是最好的。