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（北京 100007）

關(guān)于晶體的電阻和霍爾效應(yīng)的嚴(yán)格理論雖然已經(jīng)很成熟，但是由于嚴(yán)格理論在數(shù)學(xué)技巧上比較復(fù)雜，缺乏一定的物理直觀，如何利用一個簡單的物理圖像給出電阻和霍爾效應(yīng)的描述是本文的目的所在。本文提出了一種描述帶電粒子在導(dǎo)體中運動的非常簡單的方法。把磁場中物質(zhì)的導(dǎo)電行為，模型化為帶電粒子在恒定的均勻電場和均勻磁場中的線性阻尼運動，也即物質(zhì)中載流子的運動受到電場力、洛倫茲力和正比于速度的阻力。模型十分簡單的同時又保證了足夠的正確性，給出了一種在生活生產(chǎn)中應(yīng)用廣泛的電阻和霍爾效應(yīng)的快速估算方法。

1 模型的建立

通常電子在導(dǎo)體中的運動，是外加電場、晶格離子所形成的電場共同作用的結(jié)果，如果再考慮外加恒定均勻磁場下的霍爾效應(yīng)，電子還會受到洛倫茲力。導(dǎo)體中存在穩(wěn)恒電流的情況下，其內(nèi)部存在著恒定電場，這個電場實際上是外加電動勢所提供的，如果考慮均勻無限大導(dǎo)體，該電場在空間上處處均勻。另一方面，晶格的熱運動和離散性使晶格形成的電場隨時間、空間變化，精確地描述該項電場力很困難。實際上晶格電場的主要貢獻(xiàn)在于電子受到該電場力的碰撞和散射作用，從而形成阻力，在最簡單的近似中，我們可以將該阻力處理為的形式。因此，在這個最簡單的模型中，上述方程足以描述導(dǎo)體中的導(dǎo)電行為。

我們將上述方程寫成分量形式，得到：

2 運動方程的求解

這是一個速度大小趨近于零的運動，無論初速度的取值為多少。

3 電阻和霍爾效應(yīng)

實際上，很多物質(zhì)的電阻率或多或少會隨著磁場發(fā)生變化，這個現(xiàn)象實際上可以利用多通道電流的模型給出解釋。原子中的電子有著不同的軌道，一些遠(yuǎn)離原子核的電子可以自由運動，來自不同軌道的自由運動電子可以有著不同的有效質(zhì)量；同時，不同軌道電子受到晶格的阻礙作用也不相同，這些都會造成阻尼不相同?？梢哉J(rèn)為，物質(zhì)中的電子在運動的過程中，互相獨立，沒有影響。考慮最簡單的情形，只有兩種電子軌道貢獻(xiàn)電流，這就是雙通道電流模型。該模型下，，和是兩個不同軌道電子對總電流的貢獻(xiàn)，的表達(dá)式和一致，不過相應(yīng)的電子數(shù)密度和阻尼需要使用相應(yīng)通道的電子的取值，此時得到，利用矩陣的求逆，我們得到電阻率為：

4 結(jié)語

本文使用了一個非常簡單的模型給出導(dǎo)體中電阻率和霍爾效應(yīng)的計算結(jié)果，該結(jié)果能夠很好地解釋某些物質(zhì)的導(dǎo)電性質(zhì)。本方法可用于估算某些材料的電阻率，設(shè)計霍爾器件，制作傳感器等，在生產(chǎn)生活中應(yīng)用廣泛。模型可以進(jìn)一步推廣，例如可以考慮在交變電場中電子的運動，此時求解電子的運動方程，可以得到和電場同頻率的振動，這個振動所造成的電流就是一個交流電，這可以用來解釋物質(zhì)導(dǎo)電的交流性質(zhì)。