胡志剛，李佳迅，蘇開(kāi)齊，胡清雨，朱昨磊，鄭琳麗，鄧邦林

(成都理工大學(xué) 地球物理學(xué)院，四川 成都 610059)

2018年國(guó)際青年物理學(xué)家錦標(biāo)賽(IYPT)和2018年中國(guó)大學(xué)生物理學(xué)術(shù)競(jìng)賽(CUPT)中有題目為“Radiant lantern”(燈光四射)，描述了以下問(wèn)題：在晚上給點(diǎn)燃的提燈拍照，會(huì)有大量從提燈中心發(fā)出的光線(xiàn)顯示在照片上. 試解釋并探究這一現(xiàn)象. 在運(yùn)用相機(jī)拍攝點(diǎn)亮的提燈時(shí)，得到了相應(yīng)的射線(xiàn)的現(xiàn)象. 光線(xiàn)在經(jīng)過(guò)相機(jī)鏡頭時(shí)，傳播方向發(fā)生偏離，這種光線(xiàn)偏離初始傳播方向的現(xiàn)象與光學(xué)中的衍射現(xiàn)象[1]是相同的. 本文從衍射的角度出發(fā)，引入光的衍射公式，嘗試解釋照片中點(diǎn)亮的提燈中心發(fā)出大量射線(xiàn)的原因，并通過(guò)Mathematica計(jì)算仿真[2]，探究相關(guān)物理量對(duì)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的影響，并設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)定性驗(yàn)證仿真結(jié)果.

1 理論分析與模擬仿真

1.1 射線(xiàn)現(xiàn)象成因

單反相機(jī)成像示意圖[3]如圖1所示. 外部景物的光線(xiàn)依次通過(guò)鏡頭組、光圈、反光鏡，最后通過(guò)五棱鏡的2次反射穿過(guò)取景器. 拍攝時(shí)按下快門(mén)鍵，反射鏡抬起，光圈預(yù)縮到設(shè)定的大小和形狀，光線(xiàn)入射到膠片上. 光線(xiàn)在經(jīng)過(guò)照相機(jī)后發(fā)生了衍射，實(shí)際過(guò)程對(duì)應(yīng)著按下快門(mén)，光圈縮小，光在經(jīng)過(guò)較小的障礙物光圈后發(fā)生了衍射.

圖1 單反照相機(jī)成像示意圖

照相機(jī)的簡(jiǎn)化光路如圖2所示，惠更斯-菲涅耳原理[1]為

(1)

其中，C為比例系數(shù)；K(θ)為傾斜因子，其值隨著θ增大而減?。籄(Q)為分布函數(shù)，即光強(qiáng)振幅通過(guò)光圈以后在Σ小孔上的分布；r為光圈上的點(diǎn)到屏衍射點(diǎn)的距離，k為波數(shù).

圖2 照相機(jī)簡(jiǎn)化光路圖

運(yùn)用格林公式求解出基爾霍夫衍射公式，對(duì)比例系數(shù)和傾斜因子[4]描述為

(2)

A(ξ,η)=B(ξ,η)T(ξ,η).

(3)

(3)式表示光強(qiáng)振幅在通過(guò)光圈以后的分布，B(ξ,η)為光強(qiáng)振幅在透過(guò)光圈以前在孔上的分布情況，T(ξ,η)為光圈的透射系數(shù)，如果是空氣，此時(shí)值為1.

相機(jī)中的膠片是個(gè)很小的區(qū)域，近似認(rèn)為θ不變，傾斜因子是定值，即為1，(2)式簡(jiǎn)化得到

(4)

根據(jù)波動(dòng)光學(xué)[5]，薄透鏡是相位變化元件，相位變化因子表達(dá)式為

(5)

式中EL0是透過(guò)透鏡的光強(qiáng)復(fù)振幅.

考慮衍射和相位變化后，透過(guò)光圈的光強(qiáng)振幅分布為

A(ξ,η)=B(ξ,η)T(ξ,η)TL(ξ,η).

(6)

根據(jù)傅里葉光學(xué)[6]，點(diǎn)光源發(fā)出的光線(xiàn)的光強(qiáng)振幅在光圈上的分布函數(shù)為

(7)

(4)式中r是光圈上點(diǎn)到衍射屏上點(diǎn)的距離，為

(8)

將(8)式二項(xiàng)式展開(kāi)，并忽略高階小量，將得到結(jié)果和(6)式代入(4)式，得：

(9)

根據(jù)高斯公式，

為了更好地描述各點(diǎn)衍射強(qiáng)度的關(guān)系，計(jì)算衍射光照強(qiáng)度的大小. 光照強(qiáng)度的計(jì)算公式為L(zhǎng)=|E|2，由于

故光照強(qiáng)度為

(10)

1.2 數(shù)值模擬

用Mathematica計(jì)算上述方程，并對(duì)計(jì)算結(jié)果可視化. 計(jì)算過(guò)程中，取光的波長(zhǎng)為500 nm，定義r0為孔徑，即是孔的幾何中心到孔的頂點(diǎn)的距離，且計(jì)算過(guò)程中孔為正多邊形.

1.2.1 孔的形狀的數(shù)值模擬

首先對(duì)不同形狀的孔[7-8]進(jìn)行模擬計(jì)算，得到部分衍射的理論圖樣如圖3所示.λ=500 nm，r0=0.5 mm，q=0.1 m. 從仿真結(jié)果可以看到衍射射線(xiàn)數(shù)目呈現(xiàn)的規(guī)律為：當(dāng)孔的邊數(shù)為奇數(shù)時(shí)，射線(xiàn)數(shù)目為邊數(shù)的2倍；當(dāng)孔的邊數(shù)為偶數(shù)時(shí)，射線(xiàn)數(shù)目與邊數(shù)一致. 對(duì)衍射射線(xiàn)數(shù)目的定性解釋?zhuān)汗庠诮?jīng)過(guò)孔的過(guò)程中，孔的每條邊都會(huì)發(fā)生衍射，每條邊都會(huì)衍射出2條方向相反的射線(xiàn)條紋，當(dāng)孔的邊數(shù)為奇數(shù)時(shí)，任意2條邊都是交錯(cuò)的，所以得到的衍射射線(xiàn)條紋方向也一定是交錯(cuò)著的，即不會(huì)存在完全重合在一起的2條條紋，所以衍射射線(xiàn)條紋數(shù)目是孔邊數(shù)的2倍. 當(dāng)孔的邊數(shù)為偶數(shù)時(shí)，由于存在對(duì)邊相互平行，這2條平行邊的衍射結(jié)果也重合，所以最終在衍射屏上得到的射線(xiàn)數(shù)目也和孔的邊數(shù)一致.

(a)三角形

(b)四邊形

(c)五邊形

(d)六邊形

(e)七邊形圖3 不同形狀孔的計(jì)算結(jié)果

1.2.2 孔徑的數(shù)值模擬

用Mathmatica計(jì)算七邊形孔的孔徑，λ與q控制不變，仿真結(jié)果如圖4所示. 其中I為x軸方向的衍射強(qiáng)度，I0為中央零級(jí)亮紋的衍射強(qiáng)度[9-10]. 可見(jiàn)隨著孔徑不斷增大，各級(jí)亮紋的寬度變窄，這意味衍射減弱，說(shuō)明實(shí)驗(yàn)中改變光圈大小，照片上的提燈中心發(fā)出的射線(xiàn)強(qiáng)度發(fā)生變化.

(a)r0=0.1 mm

(b)r0=0.2 mm

(c)r0=0.3 mm

(d)r0=0.4 mm圖4 不同孔徑的計(jì)算結(jié)果

2 實(shí)驗(yàn)研究

實(shí)驗(yàn)裝置側(cè)視示意圖如5圖所示，相機(jī)型號(hào)為NIKON(D3200)的單反照相機(jī)(其光圈形狀為七邊形)，光源用點(diǎn)亮的手機(jī)后置電筒替代提燈. 為了探究小孔形狀對(duì)射線(xiàn)形狀邊數(shù)的影響，準(zhǔn)備了尼龍絲襪(拉伸仔細(xì)觀察，其形狀為三角形小孔)，達(dá)到改變小孔形狀的目的.

圖5 實(shí)驗(yàn)裝置側(cè)視示意圖

圖6(a)是用尼龍絲襪小孔的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，可以看見(jiàn)照片上射線(xiàn)條紋數(shù)目是6條. 圖6(b)是對(duì)鏡頭不做處理得到的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，鏡頭的光圈形狀是七邊形，可以看見(jiàn)照片上的射線(xiàn)條紋數(shù)目是14條. 與理論分析中關(guān)于射線(xiàn)條紋數(shù)目的計(jì)算是吻合的，但是實(shí)驗(yàn)中的現(xiàn)象與理論有差別，理論算出來(lái)的射線(xiàn)條紋隨著距離增加是越來(lái)越細(xì)的，而實(shí)驗(yàn)結(jié)果中，射線(xiàn)條紋卻是越來(lái)越寬. 仔細(xì)觀察光圈的形狀，并且查閱相關(guān)資料，發(fā)現(xiàn)光圈的形狀并不是很規(guī)則的正多邊形，而是曲邊多邊形.

(a)尼龍絲襪小孔(三角形)

(b)光圈小孔(七邊形)圖6 尼龍絲襪小孔和鏡頭的光圈實(shí)驗(yàn)結(jié)果

圖7 曲邊多邊形理論仿真圖

對(duì)更符合實(shí)際情況的光圈形狀進(jìn)行模擬仿真，得到如圖7所示的仿真圖. 可以看到，光圈形狀設(shè)置成曲邊多邊形后，仿真結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果[圖6(b)]吻合程度很好. 在衍射條紋條數(shù)的定性討論中，提到了衍射條紋方向與光圈的邊垂直,這解釋了實(shí)際實(shí)驗(yàn)中的條紋會(huì)隨著距離的增加越來(lái)越寬：曲邊可以看成是很多短小直邊拼接而成的，每條直邊都會(huì)產(chǎn)生2條與之垂直的條紋，1條曲邊產(chǎn)生的條紋會(huì)呈現(xiàn)發(fā)散狀態(tài)，出現(xiàn)條紋越來(lái)越寬的情況.

3 結(jié)束語(yǔ)

從理論和實(shí)驗(yàn)兩方面研究了2018年IYPT和CUPT賽題提到的燈光四射現(xiàn)象. 運(yùn)用菲涅耳原理解釋了照片中提燈中心發(fā)出大量射線(xiàn)現(xiàn)象，對(duì)相機(jī)進(jìn)行了模型簡(jiǎn)化，由于光線(xiàn)在小孔處發(fā)生衍射從而產(chǎn)生了射線(xiàn)，運(yùn)用衍射公式，對(duì)現(xiàn)象進(jìn)行了數(shù)學(xué)描述. 對(duì)孔形狀與孔徑大小進(jìn)行了模擬計(jì)算仿真，發(fā)現(xiàn)當(dāng)孔的邊數(shù)是奇數(shù)時(shí)，衍射射線(xiàn)條紋數(shù)目是孔邊數(shù)的2倍；當(dāng)孔的邊數(shù)是偶數(shù)時(shí)，衍射射線(xiàn)條紋數(shù)目與孔的邊數(shù)一致. 通過(guò)在鏡頭使用尼龍絲襪小孔及不對(duì)鏡頭做處理2組實(shí)驗(yàn)，得到的衍射射線(xiàn)條紋數(shù)目實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果一致. 對(duì)孔徑大小做數(shù)值模擬仿真，發(fā)現(xiàn)隨著孔徑的增大，衍射光照強(qiáng)度減弱.