趙志欣, 唐慧, 馮宇

( 1.長春師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 吉林 長春 130032; 2.延邊大學(xué) 信息化中心, 吉林 延吉 133002 )

0 引言

在許多大型復(fù)雜系統(tǒng)中,存在著大量結(jié)構(gòu)簡單、功能并聯(lián)的系統(tǒng)，如艦船動力、電力系統(tǒng)等.這類系統(tǒng)所使用的各個(gè)單元一般都是可修復(fù)的.對此類系統(tǒng)進(jìn)行建模時(shí),因涉及維修策略等諸多因素,因此模型的建立和分析都較為復(fù)雜.近年來,許多學(xué)者對并聯(lián)可修復(fù)系統(tǒng)進(jìn)行了研究.例如：呂建偉等[1]通過分析并聯(lián)可修復(fù)系統(tǒng)的特點(diǎn)以及不同維修策略對系統(tǒng)可用性的影響,建立了并聯(lián)系統(tǒng)工作模式和各類故障的仿真模型,并給出了系統(tǒng)相關(guān)指標(biāo)的計(jì)算公式.另外，一些學(xué)者利用巴拿赫空間的相關(guān)理論,研究了上述并聯(lián)可修復(fù)系統(tǒng)模型的最優(yōu)控制、半離散化和穩(wěn)定性等問題[2-7].然而這些文獻(xiàn)討論的只是兩個(gè)系統(tǒng)部件的簡單情形,而對于系統(tǒng)部件為n個(gè)的情形并沒有進(jìn)行討論.基于此,本文在文獻(xiàn)[8]的基礎(chǔ)上,運(yùn)用C0半群理論對系統(tǒng)具有退化狀態(tài)和常規(guī)故障狀態(tài)的n個(gè)同型部件并聯(lián)可修復(fù)系統(tǒng)進(jìn)行研究,并通過共尾理論證明系統(tǒng)主算子的譜界與增長界相等.

1 模型描述

圖1 系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖

系統(tǒng)由n個(gè)可修復(fù)的相同部件組成,每個(gè)部件都有3種狀態(tài):工作狀態(tài)、退化狀態(tài)或故障狀態(tài).系統(tǒng)中每個(gè)部件有3種故障類型，并且所有的故障均相互獨(dú)立.所有部件故障或常規(guī)故障可導(dǎo)致系統(tǒng)故障.在任何工作狀態(tài)下,系統(tǒng)都可能發(fā)生常規(guī)故障.除常規(guī)故障外,所有的故障率和修復(fù)率都為常數(shù).系統(tǒng)發(fā)生故障時(shí),系統(tǒng)的修復(fù)時(shí)間服從一般分布.在t=0時(shí),系統(tǒng)開始工作,系統(tǒng)部件修復(fù)如新.系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖(n=2)如圖1所示.

利用全概率分析的方法，可將模型描述為：

(1)

(n-i+1)λ1pi -1,0(t)+μ2pi 1(t), 0

(2)

(3)

(n-j+1)λ2p0,j -1(t)+μ1p1j(t)+λ3p1,j -1(t), 0

(4)

(5)

(i+1)μ1pi +1,j(t)+(n-i-j+1)λ1pi -1,j(t)+(n-i-j+1)λ2pi,j -1(t)+(i+1)λ3pi +1,j -1(t),

0

(6)

i+j=n, 0

(7)

(8)

系統(tǒng)的邊界條件和初始條件為

(9)

A=diag(-[n(λ1+λ2)+λc],-[(n-1)(λ1+λ2)+λ3+μ1+λc],…,-[λ1+λ2+

(n-1)λ3+(n-1)μ1+λc],-[nλ3+nμ1+λc],-[(n-1)(λ1+λ2)+μ2+λc],…,-

[λ1+λ2+(n-1)μ2+λc],-nμ2,-[(n-2)(λ1+λ2)+λ3+μ1+μ2+λc],…，-[λ1+

λ2+(n-2)λ3+(n-2)μ1+μ2+λc],-[λ3+μ1+(n-1)μ2+λc],…,-[(n-1)λ1+

D(B)=X. 則系統(tǒng)方程(1)—(9)可轉(zhuǎn)化為Banach空間X中的Cauchy問題：

(10)

2 主要結(jié)果及其證明

定義1集合C為集合E的子集,若對任意的f∈E, 存在g∈C, 使得f≤g, 則稱C在E共尾.

定義2設(shè)A為閉算子,則稱s(A)=sup{Reλ|λ∈σ(A)}為算子A的譜界.

定理1主算子A是預(yù)解正算子.

證明當(dāng)r>0時(shí),對?G∈X, 考慮方程r(I-A)P=G, 即:

[r+n(λ1+λ2)+λc]p00=g00;

(11)

[r+(n-i)(λ1+λ2)+iλ3+iμ1+λc]pi 0=gi 0, 0

(12)

[r+nλ3+nμ1+λc]pn 0=gn 0,i=n,j=0;

(13)

[r+(n-j)(λ1+λ2)+jμ2+λc]p0j=g0j,i=0, 0

(14)

[r+nμ2]p0n=g0n,i=0,j=n;

(15)

[r+(n-i-j)(λ1+λ2)+iλ3+iμ1+jμ2+λc]pi j=gi j, 0

(16)

[r+iλ3+iμ1+jμ2+λc]pi j=gi j,i+j=n, 0

(17)

(18)

結(jié)合邊值條件,解上述方程依次得：

由上式再結(jié)合Fubini定理,有

定理2算子A的共軛算子A*為

證明?Q∈D(A*),Q={q00,q10,…,qn 0,q01,…,q0n,q11,…,qi j,…,qn -1,1,q(x)}， 因此有

其中

同理：

|p00|≤a00|g00|, |pi 0|≤ai 0|gi 0|, |p0j|≤a0j|g0j|, 1

|pi j|≤ai j|gi j|, 1

|pi j|≤a′i j|gi j|,i+j=n, 1

其中ai j為式(11)—(17)中pi j系數(shù)的倒數(shù).綜上,

定理4當(dāng)r< -a時(shí),r∈σ(A), 并且s(A)=-a.

因G∈{G∈R(λI-A)|gc(x)≥0,x>0}, 因此對(rI-A)P=G的解pc(x)有

定理5算子A的s(A)=ω(A)=-a.

i,j=1,…,n-1; 1

任取y=(y00,y10,…,yn 0,y01,…,y0n)T, 則