李達欽，王國玉，張敏弟，黃 彪

(北京理工大學(xué)機械與車輛學(xué)院, 北京 100081)

0 引言

結(jié)構(gòu)體入水運動涉及固、液、氣的三相耦合作用，是一個具有強瞬態(tài)和非定常運動特性的過程，伴隨著湍動、相變、可壓縮、介質(zhì)突變等大量復(fù)雜的流動現(xiàn)象[1-3]。入水現(xiàn)象普遍存在，并在自然科學(xué)、工業(yè)生產(chǎn)及仿生技術(shù)等領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用[4-8]。尤其是在航空航天領(lǐng)域，飛機的水上著落、飛船返回艙水上回收等正是利用入水空泡及自身結(jié)構(gòu)的耦合作用實現(xiàn)航行和彈道穩(wěn)定[9-12]，因此對入水空泡及其流體動力特性的研究具有很強的工程應(yīng)用及科學(xué)研究意義。

近年來，國內(nèi)外學(xué)者針對球體入水問題開展了大量研究。在實驗方面，Aristoff等[13-14]對不同密度比的疏水性球體入水空泡發(fā)展特性進行了實驗和理論研究，總結(jié)了空泡形態(tài)與韋伯?dāng)?shù)以及邦德數(shù)之間的關(guān)系，同時指出密度較小的球體有較大的速度衰減，空泡的夾斷深度比與傅汝德數(shù)無關(guān)。Shepard等[15]針對不同密度比球體在不同入水沖擊速度下的動力特性開展了研究，結(jié)果表明空泡夾斷前球體所受總流體力會產(chǎn)生波動，尤其準(zhǔn)靜態(tài)空泡閉合瞬間受力波動最大。Truscott等[16-17]以球體為研究對象，針對入水濺射水冠和球體入水過程的非定常受力開展了實驗研究，結(jié)果表明水冠的發(fā)展受大氣壓強影響顯著，密度較小的親水球體受到阻力最大。隨計算機技術(shù)的發(fā)展，計算流體力學(xué)方法在處理入水問題方面得到了廣泛應(yīng)用。Iranmanesh等[18]、Mirzaii等[19]基于VOF(Volume of Fluid)方法和不可壓縮流假設(shè)建立了一種運動體入水?dāng)?shù)值計算方法，應(yīng)用該方法計算的不同密度球體入水空泡和軌跡均與實驗擬合較好，并進一步將方法應(yīng)用于圓柱入水計算，討論了圓柱密度比、幾何參數(shù)及入水沖擊速度對入水軌跡的影響規(guī)律。Abraham[20]運用VOF多相流模型并耦合SST(Shear Stress Transport)湍流模型數(shù)值模擬了球體垂直入水初期階段自由液面發(fā)展過程以及阻力特性，對比了不同入水速度、球體密度等參數(shù)，結(jié)果表明入水初期運動體阻力主要來源于入水物體與周圍流域的動量轉(zhuǎn)換。Ding等[21]通過數(shù)值模擬研究了球體及柱體垂直入過程產(chǎn)生的入水空泡，并實現(xiàn)了移動接觸線的計算，結(jié)果表明接觸線釘扎現(xiàn)象對隨后入水空泡發(fā)展過程有顯著影響。張偉偉[22]采用多物質(zhì)ALE(Arbitrary Lagrangian-Eulerian)仿真方法，對球體入水時引發(fā)的水花、空泡及其所受沖擊力等內(nèi)容進行了系統(tǒng)的研究。通過與實驗、理論數(shù)據(jù)對比，證明了多物質(zhì)ALE 方法不僅可以再現(xiàn)結(jié)構(gòu)入水的復(fù)雜過程， 還能較好地反映密度、沖擊速度及表面親水性等因素的影響。

目前國內(nèi)外針對不同密度比航行體入水問題已有一些研究，但針對跨介質(zhì)時的濺射水冠發(fā)展規(guī)律、入水空泡形態(tài)隨球體密度比變化的詳細分類以及水下流體動力特性的研究還需要進一步探索。本文基于實驗與數(shù)值模擬相結(jié)合的方法，開展了不同密度比球體垂直入水研究,獲得并分析了球體密度對垂直入水空泡形態(tài)、濺射水冠及水下流體動力特性的影響規(guī)律。

1 實驗系統(tǒng)及方法介紹

基于高速攝像法建立的實驗系統(tǒng)如圖1所示。系統(tǒng)分為圖像采集部、水箱以及發(fā)射部3部分。

圖1 實驗系統(tǒng)示意圖Fig.1 Schematic of the experimental system

圖像采集部由計算機、高速攝像機及光源組成。計算機負責(zé)儲存和驅(qū)動Phantom V7.3高速攝像機對球體入水過程進行拍攝, 拍攝幀率為2000fps。同時實驗設(shè)計了一套同步采集系統(tǒng)，在計算機端控制發(fā)射裝置，可實現(xiàn)球體釋放落水與攝像機采集的同步。實驗中采用一組4×500W 的點陣光源通過柔光屏散射后照射水域, 并將兩盞1000W 鏑燈布置在水槽的左右兩側(cè)作為補充光源來達到良好的照明效果。實驗水箱的尺寸為0.8m×0.8m×1m，四面及底面均為10mm厚的有機玻璃，底層鋪有厚度為10mm的橡膠墊，以防球體與水箱底部撞擊損傷底部玻璃。發(fā)射部由水箱外釋放及支撐裝置組成。為保證實驗的可重復(fù)性和降低初始擾動，支撐裝置采用可調(diào)節(jié)高度的型材支架，可實現(xiàn)球體從不同固定高度自由釋放。釋放裝置固定在支架的水平支桿上并位于水箱中心正上方垂直于水面，裝置采用內(nèi)徑27mm、高50mm的圓柱導(dǎo)軌，導(dǎo)軌內(nèi)部設(shè)置有電磁鐵控制的卡頭，斷電時卡頭承接住球體，通電時卡頭收回，球體便沿垂直方向自由下落。

實驗采用5種不同材料的球體，密度比分別為m*=ρs/ρ=7.86、2.54、1.14 、0.94和 0.53(對應(yīng)軸承鋼、玻璃、兩種不同類型樹脂橡膠、輕質(zhì)木材)，其中ρs為球體密度，ρ=998.2kg/m3為水的密度。實驗球體直徑D0均為25mm, 表面都涂有SY-Super coat-SHFC3150疏水性涂層，表面接觸角θ均為150±0.5°，涂層所增加的球體厚度和質(zhì)量可以忽略不計，除球體密度外實驗球體其他參數(shù)相同，具體實驗參數(shù)如表1所示。

2 數(shù)值計算方法介紹

2.1 控制方程

本文基于均相流模型，假定氣液兩相為均相流動，且相間無速度滑移，采用有限體積法求解Navier-Stokes方程[23]。低傅汝德數(shù)入水過程中無空化現(xiàn)象發(fā)生，考慮空泡閉合時內(nèi)部高壓可能會引起壓縮效應(yīng)，因此將空氣相選為理想氣體?？刂品匠贪ㄟB續(xù)性方程、動量方程及能量方程。分別為

(1)

(2)

(3)

式中，下標(biāo)i和j分別代表坐標(biāo)方向，ρm為混合介質(zhì)密度，u為來流速度，p為流場壓力，μm′為混合介質(zhì)的動力黏性系數(shù)，μt為湍流黏性系數(shù)，κeff為有效傳熱系數(shù)，T為流體溫度。根據(jù)均質(zhì)平衡流模型假設(shè)，混合介質(zhì)密度ρm和湍流黏性系數(shù)μm分別定義為

ρm=ρlαl+ρgαg

(4)

μm=μlαl+μgαg

(5)

本文采用VOF方法對水汽兩相界面進行捕捉[23]；采用CSF(Continuum Surface Force)模型考慮接觸角影響[24]；湍流模型選擇SSTk-ω模型，該模型對強剪切流的計算上具有更高的精度和可靠性。

2.2 網(wǎng)格及邊界條件

本文選取二維軸對稱模型模擬不同密度小球垂直入水過程。圖2展示了計算流域、網(wǎng)格及邊界條件，其中球體直徑D0=25mm與實驗參數(shù)一致。在自由界面建立坐標(biāo)系如圖2所示，原點位于水面處，z軸正方向與重力加速度g方向相反。流域內(nèi)采用全結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，對于球體周圍以及流經(jīng)路徑著重加密，確保y+=yuτ/vl≈1，流域內(nèi)網(wǎng)格節(jié)點數(shù)約為25萬。計算時間步長選定為Δt=1.00×10-7s，平均庫朗數(shù)CFL=U∞Δt/Δx≈0.01。對球體垂直入水計算應(yīng)用的動網(wǎng)格技術(shù)為動態(tài)鋪層方式。利用6DOF求解器獲得球體位置參數(shù)，并實現(xiàn)網(wǎng)格和數(shù)據(jù)實時更新，同時監(jiān)測球體受力以及速度，為流體動力特性分析提供數(shù)據(jù)基礎(chǔ)。

圖2 網(wǎng)格及邊界條件示意圖Fig.2 Mesh for the whole domain and boundary conditions

2.3 數(shù)值方法驗證

為了研究不同球體密度比對入水空泡、濺射水冠以及動力特性的影響，本文開展了不同密度比球體垂直入水實驗和數(shù)值模擬計算。針對密度比m*=7.86，入水沖擊速度U0=5.40m/s(Fr=U0/(gD0)0.5=10.9)的實驗工況開展數(shù)值方法驗證研究。圖3展示了數(shù)值計算球體無量綱入水深度Z/D0隨時間變化結(jié)果與實驗結(jié)果的對比，以球體底部剛接觸到水面的時刻為t=0ms時刻，用球心坐標(biāo)表征球體位置?？梢杂^察到總體上數(shù)值結(jié)果與實驗結(jié)果吻合較好，尤其在40ms之前，數(shù)值結(jié)果與實驗結(jié)果幾乎一致，隨著時間發(fā)展，數(shù)值結(jié)果略低于實驗結(jié)果，平均誤差在5%以內(nèi)。圖3中同樣展示了典型時刻數(shù)值與實驗入水空泡形態(tài)的對比，可觀察到相同入水時刻空泡徑向與軸向尺度均與實驗結(jié)果擬合較好。由此可知，本文建立的數(shù)值模擬方法能夠有效預(yù)測不同密度比球體垂直入水軌跡及空泡形態(tài)，證明了本文建立的數(shù)值模擬方法的準(zhǔn)確性與可行性。

圖3 數(shù)值計算入水軌跡與實驗結(jié)果對比Fig.3 Comparison of sphere depth vs. time for the impact sequences of numerical results and experimental results

3 結(jié)果與討論

3.1 不同密度比球體入水空泡及濺射水冠的發(fā)展規(guī)律

基于以上確立的數(shù)值計算方法，并結(jié)合實驗結(jié)果，開展濺射水冠及入水空泡研究。通過處理實驗拍攝的相鄰入水圖像，可以獲得入水沖擊速度。球體釋放高度H對應(yīng)入水沖擊速度U0的范圍為(0.7～7.0±0.1)m/s。所有實驗工況均展示于圖6，并選取3個典型密度比球體(m*=7.86、1.14和0.53)在4種入水沖擊速度U0=0.7m/s、2.18m/s、5.40m/s和6.25m/s(Fr=1.4、4.4、10.9和12.6)工況下的入水空泡及濺射水冠進行對比，如圖4所示。根據(jù)Duez理論[7]可知，表面接觸角θ=150°的條件下形成入水空泡的臨界速度U*=0.26m/s。理論預(yù)測結(jié)果與實驗現(xiàn)象相符，實驗設(shè)計速度均大于臨界值并產(chǎn)生入水空泡。

(a)Fr=1.4, t= 55.0ms

(b)Fr=4.4, t= 63.0ms

(c)Fr=10.9, t= 59.5ms

(d)Fr=12.6, t= 57.5ms圖4 不同密度比球體入水形態(tài)對比Fig.4 Comparison of cavity shape for water entry of spheres with different density ratio

圖4的每組對比中，各球體入水圖像所取的入水時刻相同。在入水空泡方面，總體上看密度越大的球體在相同入水速度下獲得更大的動能，所以相同時刻會獲得更大的入水深度。當(dāng)Fr=1.4時，密度比小于1的輕質(zhì)球(m*=0.53)會迅速上漂，其他兩種密度球體隨著下落，三相接觸點迅速上移至球頂端，連接水面與球體的空泡逐漸形成半月牙狀，此時重力和表面張力的平衡作用占主導(dǎo)地位，這種空泡形態(tài)稱為準(zhǔn)靜態(tài)入水空泡。隨著Fr增至4.4，輕質(zhì)球(m*=0.53)依然處于準(zhǔn)靜態(tài)空泡階段，而其他兩種密度球體隨著入水深度增加，入水空泡不斷拉長，入水空泡逐漸向中心軸線收縮，到后期完整的入水空泡發(fā)生夾斷形成上下兩部分空泡，此刻的空泡狀態(tài)稱之為深閉合空泡，并且伴隨出現(xiàn)向上向下的兩股液態(tài)射流(圖5(a))。當(dāng)Fr繼續(xù)從10.9增大到12.6時，密度最大的軸承鋼球入水空泡尾部脫離自由液面，并且在自由液面處發(fā)生了閉合，此刻的空泡狀態(tài)稱之為面閉合空泡。閉合后脫離水面的空泡隨著球體下落繼續(xù)拉長，但面閉合位置出的空泡壁面在水靜壓作用下失穩(wěn)，并產(chǎn)生垂直向下的水射流，水射流進入并撞擊空泡后使得原本光滑的空泡壁面出現(xiàn)斑紋和擾動。同時隨著球體入水深度增加，入水空泡出現(xiàn)明顯的收縮趨勢，并產(chǎn)生深閉合(圖5(b))。與此同時輕質(zhì)球依然處于準(zhǔn)靜態(tài)空泡階段，樹脂球依然處于深閉合空泡階段。說明各流形之間的臨界速度隨著球體密度的增加而減小。

(a)Fr=4.4 (b)Fr=10.9圖5 入水空泡深閉合圖像，m*=7.86Fig.5 The images for deep seal, m*=7.86

在本實驗的設(shè)計速度區(qū)間，對比所有實驗結(jié)果可得到入水空泡形態(tài)之間的臨界傅汝德數(shù)與球體密度的關(guān)系圖，如圖6所示。進一步將空泡形態(tài)分為準(zhǔn)靜態(tài)入水空泡、深閉合優(yōu)先入水空泡、水冠閉合優(yōu)先的深閉合入水空泡以及面閉合空泡，分別對應(yīng)圖6中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ區(qū)域中所表征的類型。觀察到密度小于水的球體在實驗速度范圍內(nèi)時只能產(chǎn)生準(zhǔn)靜態(tài)空泡并無夾斷生成，而密度大于水的球體則經(jīng)歷更為復(fù)雜的空泡形態(tài)，隨著密度的增加，各空泡形態(tài)之間的臨界速度降低同時降低速率減緩。由此可以推測，當(dāng)球體密度持續(xù)加大，各空泡形態(tài)的臨界速度會趨于穩(wěn)定值。

圖6 入水空泡形態(tài)的臨界傅汝德數(shù)與球體密度比的關(guān)系Fig.6 Critical Froude number for cavity shape versus density ratio

針對水下空泡的深閉合與面閉合現(xiàn)象進行進一步分析，以Fr=10.9的鋼球入水工況為例，圖7(a)展示了空泡面閉合、空泡收縮以及空泡深閉合時的流場結(jié)構(gòu)，圖7(b)展示了對應(yīng)的各個時刻沿軸線相對壓力分布，參考壓強為101325Pa?？梢杂^察到，由于射流及水靜壓等因素的耦合作用，入水空泡內(nèi)部出現(xiàn)大量多尺度漩渦結(jié)構(gòu)，泡內(nèi)出現(xiàn)高速氣流和低壓區(qū)，更進一步加劇了空泡的收縮。此外，空泡面閉合和夾斷后會在閉合位置產(chǎn)生局部閉合高壓，壓力值遠大于對應(yīng)位置水靜壓，高壓與射流促進了空泡的潰滅。

t=39.8ms t=50.3ms t=75.0ms(a)鋼球入水流場結(jié)構(gòu)云圖，F(xiàn)r=10.9

(b)沿軸線壓力分布圖，F(xiàn)r=10.9圖7 球體入水流場結(jié)構(gòu)及壓力分布Fig.7 The flow structures and preesure distribution for the impact of sphere

在濺射水冠方面，從圖5實驗結(jié)果中觀察到入水傅汝德數(shù)較低(圖4(a))時，各球體均未產(chǎn)生濺射水冠。當(dāng)入水沖擊速度還不足夠大時(圖4(b))，并不會發(fā)生水冠閉合現(xiàn)象,而是一邊向中心收縮一邊下落至水面，因此在空泡夾斷前整個過程入水空泡始終與大氣連通，這種空泡形態(tài)稱為深閉合優(yōu)先入水空泡。隨著傅汝德數(shù)增加，水冠軸向徑向增長迅速，在液面上方會發(fā)生碰撞閉合形成封閉圓頂(圖4(c)和(d))，這種水冠閉合現(xiàn)象稱之為早期表面閉合[16]，對應(yīng)的入水空泡形態(tài)包括水冠閉合優(yōu)先的深閉合入水空泡以及面閉合空泡兩種。早期表面閉合伴隨形成上下兩股水射流，此時空泡內(nèi)氣體不再與外界大氣壓相連，向下的液體射流進入并撞擊空泡壁面，造成原本一直光滑的空泡壁面發(fā)生擾動，會進一步加劇空泡壁面的不穩(wěn)定。以鋼球5.40m/s(Fr=10.9)入水工況為例，圖8展示了其產(chǎn)生的濺射水冠發(fā)展過程，經(jīng)歷了初始濺射階段、水冠成型與生長階段以及水冠閉合與潰滅階段。圖9展示了對應(yīng)的過程中幾個典型時刻的數(shù)值計算結(jié)果，主要關(guān)注跨水界面區(qū)域的速度矢量和壓強分布?？梢杂^察到，當(dāng)球體以較高速度沖擊自由液面時，會與液面進行強烈的動量交換，進而形成飛濺，飛濺形成的水膜與球體發(fā)生分離，繼續(xù)向四周擴散形成水冠。隨著球體入水深度增加遠離自由液面，球體對水冠向上生長影響逐漸減小，空氣不斷高速流入空泡并在水冠內(nèi)部形成渦團結(jié)構(gòu)，同時產(chǎn)生低壓區(qū)。水冠在內(nèi)外壓差的作用下向中心軸線收縮，最終形成水冠閉合。

圖8 球體入水水冠形態(tài)，m*=7.86，F(xiàn)r=10.9Fig.8 The evolution of splash formation created by the impact of the steel sphere at m*=7.86, Fr=10.9

入水過程中會在球身某處形成固-液-氣三相接觸線，線上任意一點為三相接觸點。圖10定義了入水過程中三相接觸點相對于球底的位置距離Hc。以前文中3種密度球體以Fr=10.9入水工況為例，圖11展示了實驗與數(shù)值計算中三相接觸點垂直位置隨著入水時間的變化。

圖9 入水水冠發(fā)展典型時刻下的數(shù)值流場結(jié)構(gòu)Fig.9 The numerical flow structure at some typical moments during the splash evolution

圖10 三相接觸點示意圖Fig.10 Schematic illustration of the definition of triple line contact point

圖11 三相接觸點位置隨時間變化圖Fig.11 The history position of the triple line vs. time

接觸點垂直位置用球體直徑進行了無量綱處理，可以觀察到數(shù)值結(jié)果與實驗測量結(jié)果擬合較好。入水初期階段各密度球體的接觸點運動趨勢近乎一致，均快速上升并隨著球體入水深度增加最終穩(wěn)定在約Hc/D0=0.35的位置，此時對應(yīng)的是球體帶空泡穩(wěn)定下落階段。這種穩(wěn)定狀態(tài)在約t=60ms時發(fā)生變化，輕質(zhì)球體的接觸點迅速上移并閉合在球頂，而其他密度球體的接觸點仍然維持固定高度。此時對應(yīng)輕質(zhì)球體速度衰減劇烈不能給予附著空泡更多的動能克服水靜壓，接觸點迅速上移至球頂部，附著的空泡形成準(zhǔn)靜態(tài)后迅速在球體頂部極點處閉合并脫離球體。同時其他密度大于水的球體所附著的空泡在發(fā)生深閉合后依然有一部分空泡持續(xù)附著，直至最終脫落。

3.2 不同密度比球體入水流體動力特性分析

(6)

圖12 不同密度比球體入水軌跡實驗結(jié)果，F(xiàn)r=10.9Fig.12 The sphere depth vs. time for the impact sequences of experimental results at Fr=10.9

(7)

(8)

(a)不同密度比球體流體動力系數(shù)隨時間變化對比圖，F(xiàn)r=10.9

(b)不同密度比球體入水空泡夾斷時流場結(jié)構(gòu)，F(xiàn)r=10.9圖13 不同密度比球體流體動力系數(shù)對比及空泡夾斷時流場結(jié)構(gòu)Fig.13 Effect of sphere density ratio on hydrodynamic force coefficient upon impact and the flow structures when cavity pinches off

圖13(a)展示了實驗與數(shù)值不同密度比球體流體動力系數(shù)隨時間變化對比結(jié)果，選取工況與圖11相同，選取時間區(qū)間為1.5ms～75ms。此階段內(nèi)所有球體發(fā)生空泡夾斷。總體上數(shù)值結(jié)果與實驗結(jié)果吻合較好，尤其是對空泡夾斷時流體動力系數(shù)陡增現(xiàn)象的捕捉?？梢杂^察到入水初期各密度比入水球體的流體動力系數(shù)均呈現(xiàn)緩慢上升趨勢，并且大小都比較接近，密度越大的球體所產(chǎn)生的受力系數(shù)略大一些。但很快隨著時間的發(fā)展，密度越小的球減速越明顯，造成對應(yīng)的受力系數(shù)值以及增長的趨勢都明顯加大，尤其在空泡夾斷和潰滅階段，輕質(zhì)球受力系數(shù)受到波動而陡增，橡膠球的也有明顯的增加，而鋼球由于重力較大整個過程受力系數(shù)的波動不明顯，這種波動極其短暫，受力系數(shù)隨著時間推進很快又趨于平穩(wěn)。為進一步分析，結(jié)合圖7(a)與圖13(b)給出的其他兩種密度球體入水空泡夾斷時的流場結(jié)構(gòu)云圖可知，對于輕質(zhì)球，空泡閉合在球的頂端并產(chǎn)生瞬間的閉合高壓，同時由于完全沾濕而大大減小了所受的浮力與附加質(zhì)量力，兩者共同作用給了球體一個瞬間較大的推動作用。對于橡膠球和鋼球，空泡夾斷后球體攜帶的空泡體積快速減小，導(dǎo)致內(nèi)部壓強增大，因此也會對球體帶來瞬間的推動。隨著球體相對密度的增加，一方面夾斷后球體所攜帶的空泡體積越來越大，內(nèi)部壓力變化相對更緩慢；另一方面自身的慣性也越來越大，抵抗空泡夾斷所帶來的擾動的能力也越來越強，因此波動也越發(fā)微弱。

圖14給出了實驗中密度比與傅汝德數(shù)對入水球體時均流體動力系數(shù)的影響，F(xiàn)r區(qū)間為4.4～14.1，力的系數(shù)取t=0ms時刻到夾斷前的平均值。可以觀察到，時均流體動力系數(shù)對球體密度比敏感而受入水沖擊速度影響較小。同一密度球體，隨著入水速度增加，受力系數(shù)均呈現(xiàn)微弱的減小趨勢。而相同入水速度下，密度越小的球體平均受力系數(shù)則顯著增大。

圖14 密度比與傅汝德數(shù)對時均流體動力系數(shù)的影響Fig.14 Effect of sphere density ratio and impact velocity on time-average hydrodynamic force coefficient to pinch-off

4 結(jié)論

本文采用實驗與數(shù)值模擬相結(jié)合的方法開展了不同密度比的疏水性球體垂直入水研究，獲得并分析了入水速度和球體密度對空泡形態(tài)、濺射水冠以及球體下落過程中流體動力特性的影響規(guī)律。主要結(jié)論如下：

1)隨著入水沖擊速度的增加，球體動能加大，入水空泡尺度增大并從準(zhǔn)靜態(tài)閉合空泡逐漸發(fā)展為深閉合及面閉合空泡，并且各狀態(tài)的臨界速度隨著密度比的增加而減小。此外，空泡夾斷后會形成閉合高壓以及上下兩股高速射流，射流的進一步運動加速了水面及球體附近空泡的潰滅。

2)較高的入水沖擊速度會產(chǎn)生較強的濺射水冠。對于密度小于水的球體，球體表面固-液-氣的三相接觸線會在準(zhǔn)靜態(tài)空泡閉合時于球頂閉合，而密度大于水的球體接觸線位置在空泡夾斷前幾乎無變化，穩(wěn)定在距離球底0.35D0的位置。

3)球體帶空泡航行階段的時均流體動力系數(shù)隨密度比的增加而減小，而隨入水沖擊速度的變化較小，同時空泡夾斷會造成流體動力較大波動。