☉湖南省株洲市淥口區(qū)第五中學(xué) 陽志長

學(xué)業(yè)質(zhì)量水平是學(xué)科核心素養(yǎng)水平的綜合表現(xiàn).新課程標(biāo)準(zhǔn)明確提出，“數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的.數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析”.不但如此，數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)界定了每個數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)涵、價值、表現(xiàn)，并將每個核心素養(yǎng)劃分為三個水平，每個水平的表述都涉及“情境與問題”、“知識與技能”、“思維與表達(dá)”、“交流與反思”四個方面.這為教師把握學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)的整體性和階段性、統(tǒng)籌設(shè)計(jì)有利于學(xué)生達(dá)成學(xué)業(yè)質(zhì)量目標(biāo)的教學(xué)過程提供了依據(jù)和支持.但教師總體感覺核心素養(yǎng)“高大上”，難以在數(shù)學(xué)教育教學(xué)中“落地”.因此，探索數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)進(jìn)入課堂的方式方法具有重大的現(xiàn)實(shí)和實(shí)踐意義.“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，教材中“本冊導(dǎo)引”明確提出，“微積分的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展中的里程碑”，抓住這一載體開展相關(guān)研究，具有方法論方面的意義和價值.結(jié)合課題研究，現(xiàn)以“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”一章為例，探討如何按照所承載的核心素養(yǎng)教育任務(wù)立意，優(yōu)化設(shè)計(jì)，整體把握單元教學(xué)的問題，以促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落地、進(jìn)課堂，為一線教師提供教學(xué)方案.

一、立足概念教學(xué)，增強(qiáng)數(shù)學(xué)抽象意識

概念是思維的細(xì)胞，數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維的起點(diǎn).“導(dǎo)數(shù)和定積分都是微積分的核心概念”，既是高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的難點(diǎn)，也是提升數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的重要載體.教學(xué)時，立足導(dǎo)數(shù)這一核心概念，不但要考慮如何化解學(xué)習(xí)困難、達(dá)成學(xué)業(yè)質(zhì)量目標(biāo)，而且要考慮如何以此為載體、增強(qiáng)數(shù)學(xué)抽象意識，強(qiáng)化問題背景、建立解決“函導(dǎo)”問題的思維方式.

教材從“氣球膨脹率”、“高臺跳水”兩個學(xué)生熟悉的生活情境出發(fā)，抽象出平均變化率、瞬時變化率、導(dǎo)數(shù)的概念.“對一種生活現(xiàn)象的數(shù)學(xué)解釋”是教材介紹數(shù)學(xué)知識的切入角度.如何從數(shù)學(xué)的角度描述吹氣球過程中的現(xiàn)象“隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加，氣球的半徑增加得越來越慢”？這是學(xué)生感到困難的地方，也是數(shù)學(xué)抽象的基礎(chǔ)，教學(xué)時，可以從以下幾個方面加強(qiáng)引導(dǎo)、優(yōu)化設(shè)計(jì).這句話涉及兩個變量：氣球體積V與氣球半徑r，還涉及這兩個變量間的關(guān)系：；“氣球的半徑增加得越來越慢”意味著“隨著氣球體積的增大，當(dāng)氣體體積的增加量相同時，相應(yīng)半徑的增加量越來越小”，從數(shù)學(xué)角度進(jìn)行描述就是“隨著氣球體積的增大，比值=越來越小”，這個比值就是氣球的平均變化率；結(jié)合具體數(shù)據(jù)，讓學(xué)生感受氣球膨脹率大小的變化、體會平均膨脹率可以刻畫氣球半徑變化的快慢.而在切換到“高臺跳水”問題時，要讓學(xué)生嘗試“對一種生活現(xiàn)象的數(shù)學(xué)解釋”，其后歸納兩例的共同特征，抽象得到一般函數(shù)的平均變化率，并按照其幾何意義，形象直觀地“逼近”函數(shù)y=f（x）在x=x0處的導(dǎo)數(shù)，建構(gòu)f′（x0）、等符號的含義.

本課例按照達(dá)成數(shù)學(xué)抽象的水平二的目標(biāo)立意，從“氣球膨脹率”、“高臺跳水”的“情境與問題”入手，引導(dǎo)學(xué)生在參與“對一種生活現(xiàn)象的數(shù)學(xué)解釋”的過程中，建構(gòu)數(shù)學(xué)抽象的“知識與技能”，得到導(dǎo)數(shù)的定義，形成導(dǎo)數(shù)的“思維與表達(dá)”，并在概念辨析、“交流與反思”中，生成”等符號的數(shù)學(xué)理解，構(gòu)建數(shù)學(xué)抽象的思維導(dǎo)圖：“實(shí)際問題——數(shù)學(xué)解釋——抽象定義——辨析理解”，為學(xué)生能夠在關(guān)聯(lián)的情境中抽象出一般數(shù)學(xué)概念和規(guī)則提供樣式、積聚能量.數(shù)學(xué)抽象是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)，教師在關(guān)注知識技能掌握的同時，要按照核心概念產(chǎn)生的背景與緣由，創(chuàng)新數(shù)學(xué)抽象的“情境與問題”，不斷增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的意識，增長他們解決相關(guān)問題的見識.

二、突出結(jié)構(gòu)分析，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算能力

“數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)”.由于知識的局限性，學(xué)生難以明晰導(dǎo)數(shù)和定積分運(yùn)算的對象，使得相關(guān)計(jì)算容易出錯、甚至受阻.教學(xué)時，不但要考慮如何解決學(xué)生的計(jì)算問題、達(dá)成學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，而且要納入數(shù)學(xué)運(yùn)算的范疇，思考如何以此為契機(jī)，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，凸顯導(dǎo)數(shù)的思維價值.

根據(jù)定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，實(shí)際上最終歸結(jié)為求極限.在不介紹極限的情況下，教材盡量淡化這種方法的嚴(yán)格性要求及涉及的相關(guān)技巧，在用定義求出五個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)后，直接給出常用初等函數(shù)的八個導(dǎo)數(shù)公式，以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和復(fù)合法則.教學(xué)時，不但要理解教材的編寫意圖，而且要突出結(jié)構(gòu)分析：針對學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的困難，以積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為例，設(shè)F（x）=f（x）g（x），計(jì)算時，將它表示成，按照導(dǎo)數(shù)定義的“逼近”直觀，得到相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則；同樣，針對學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)復(fù)合法則的問題，引導(dǎo)學(xué)生自己用類似的手法，將表示成，嘗試著用導(dǎo)數(shù)定義的“逼近”直觀，解讀導(dǎo)數(shù)復(fù)合法則的結(jié)構(gòu)特征.導(dǎo)數(shù)公式給出了初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，“復(fù)雜函數(shù)”是由基本初等函數(shù)進(jìn)行“運(yùn)算”或“復(fù)合”得到的，通過結(jié)構(gòu)性分析，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識：運(yùn)用“導(dǎo)數(shù)公式”和“運(yùn)算法則”、“復(fù)合法則”，可以解決一般函數(shù)的求導(dǎo)問題，從結(jié)構(gòu)上明晰運(yùn)算對象.

本課例按照達(dá)成數(shù)學(xué)運(yùn)算水平二的目標(biāo)立意，突出結(jié)構(gòu)分析，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)定義的“逼近”直觀，幫助學(xué)生“微觀”理解公式、法則的內(nèi)部結(jié)構(gòu)；從一般函數(shù)的構(gòu)成出發(fā)，在“中觀”層面上，引導(dǎo)學(xué)生把握公式、法則，明晰運(yùn)算對象.數(shù)學(xué)運(yùn)算是具有鮮明數(shù)學(xué)學(xué)科特征的關(guān)鍵能力，教師在關(guān)注知識技能掌握的同時，要按照數(shù)學(xué)運(yùn)算“明晰對象”的特點(diǎn)，在后續(xù)探明定積分的運(yùn)算對象中，仍然要突出結(jié)構(gòu)分析的風(fēng)格，按照“互逆運(yùn)算”統(tǒng)攝知識，一以貫之，支持學(xué)生在“宏觀”上進(jìn)一步明晰運(yùn)算對象，明確運(yùn)算方向，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神.

三、突破應(yīng)用難點(diǎn)，深化數(shù)學(xué)建模主題

“數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng)”.導(dǎo)數(shù)和定積分有著實(shí)際的產(chǎn)生背景和廣泛應(yīng)用，教學(xué)時，不但要與抽象的相關(guān)概念建立聯(lián)系、達(dá)成學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，而且要納入數(shù)學(xué)應(yīng)用的體系，思考如何突破難點(diǎn)、深化數(shù)學(xué)建模主題，凸顯導(dǎo)數(shù)和定積分的應(yīng)用價值.

基于“氣球膨脹率”、“高臺跳水”情境抽象出來的導(dǎo)數(shù)，就是瞬時速度、切線斜率的模型.教材第6頁例1“原油溫度的瞬時變化率”，第7頁例2“跳水運(yùn)動曲線在特定時刻附近的變化情況”，第8頁例3“估計(jì)血管中藥物濃度的瞬時變化率”，不但具有幫助學(xué)生形象直觀地去理解導(dǎo)數(shù)的概念、深化“以直代曲”解決問題思想方法之功能，而且有利于描繪導(dǎo)數(shù)廣泛的應(yīng)用前景.教學(xué)時，要按照編者意圖，落實(shí)相關(guān)教學(xué)理念.與前面幾例不同，教材在“生活中的優(yōu)化問題舉例”這節(jié)，不僅提供了案例產(chǎn)生的背景，而且提出了相關(guān)的思考問題，以及建模、優(yōu)化過程.教學(xué)時，在“連線”導(dǎo)數(shù)模型的建構(gòu)過程中，除了要賦予問題本身的實(shí)際意義外，還要努力揭示運(yùn)用導(dǎo)數(shù)工具解決實(shí)際問題的建?！疤茁贰焙鸵I(lǐng).

基于“曲邊梯形的面積”、“汽車行駛的路程”情境抽象出來的定積分，與曲邊梯形的面積、汽車行駛的路程的模型息息相關(guān).教材在第53頁例2解析后，進(jìn)一步揭示了定積分與曲邊梯形面積的關(guān)系.教學(xué)時，要充分利用數(shù)據(jù)的有用信息，深化學(xué)生對定積分幾何意義的認(rèn)識.而在“定積分的簡單應(yīng)用”這節(jié)，教材列舉了四個例題，是定積分在幾何、物理中的應(yīng)用.教學(xué)時，要重視“連線”定積分和“生活中的優(yōu)化問題舉例”模型的建構(gòu)過程，設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)建模的“升級版”.一方面，賦予“被積函數(shù)”實(shí)際意義，進(jìn)一步挖掘新的信息價值，建構(gòu)曲邊梯形面積、變速直線運(yùn)動路程、變力做功模型的意義；另一方面，變更問題背景，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出問題，并在創(chuàng)新情境中分析、解決問題，強(qiáng)化學(xué)生基于現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象的意識.

本課例按照達(dá)成數(shù)學(xué)建模水平二的目標(biāo)立意，充分利用導(dǎo)數(shù)概念建構(gòu)的“情境與問題”，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入“角色”，在探索教材例題問題本質(zhì)、“轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題”的過程中，建構(gòu)數(shù)學(xué)建模的“知識與技能”.特別是在“生活中的優(yōu)化問題舉例”這節(jié)，重視引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注問題的“思維與表達(dá)”，在與課本、與教師的深度對話中，努力揭示運(yùn)用導(dǎo)數(shù)工具解決實(shí)際問題的建模套路和應(yīng)用價值.而在“定積分的簡單應(yīng)用”這節(jié)，在挖掘新的信息價值上下功夫，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)曲邊梯形面積、變速直線運(yùn)動路程等方面的“情境與問題”、“知識與技能”，在“升級”數(shù)學(xué)建模的“思維與表達(dá)”中，創(chuàng)造性地建立數(shù)學(xué)模型，解決問題.數(shù)學(xué)建模是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決現(xiàn)實(shí)問題的思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力，教師在關(guān)注學(xué)生知識技能掌握的同時，要按照數(shù)學(xué)建模的“情境與問題”，創(chuàng)新設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生自我建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的實(shí)際意義，突破應(yīng)用難點(diǎn)，深化數(shù)學(xué)建模主題學(xué)習(xí).

四、把握知識脈絡(luò)，提升數(shù)據(jù)分析水平

“數(shù)據(jù)分析是指針對研究對象獲取數(shù)據(jù)，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、分析和推斷，形成關(guān)于研究對象知識的素養(yǎng)”.微積分是數(shù)學(xué)發(fā)展史上繼歐氏幾何后的又一個具有劃時代意義的偉大創(chuàng)造.教學(xué)時，不但要與本章各節(jié)的學(xué)習(xí)聯(lián)系起來、達(dá)成學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，而且要站在立德樹人、培養(yǎng)創(chuàng)新人才的高度立意，考量如何把握知識脈絡(luò)，落實(shí)文化引領(lǐng)，提升學(xué)生數(shù)據(jù)分析水平、大數(shù)據(jù)思維的問題.

教材章頭語介紹了微積分創(chuàng)立的意義，與處理四類科學(xué)問題的關(guān)系，以及本章的學(xué)習(xí)內(nèi)容、目標(biāo)和價值.教學(xué)時，要重視章節(jié)起始課教學(xué)，不但要通過案例揭示導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生的歷史背景、現(xiàn)實(shí)淵源，而且要為學(xué)生基于現(xiàn)實(shí)情境發(fā)現(xiàn)、提出相關(guān)問題提供支持.在“探索與發(fā)現(xiàn)”、“信息技術(shù)應(yīng)用”等拓展性欄目中，教材推介了“牛頓法——用導(dǎo)數(shù)方法求方程近似解”和“圖形技術(shù)與函數(shù)性質(zhì)”等.教學(xué)時，要綜合評價相關(guān)內(nèi)容的教育功能、整體布局，引導(dǎo)學(xué)生合理利用這些拓展性資源，讓他們在學(xué)習(xí)中體會現(xiàn)代文明與文化傳承的關(guān)系.教材提供了實(shí)習(xí)作業(yè)“走進(jìn)微積分”，它是提升微積分在數(shù)學(xué)思想史和科學(xué)思想史上的價值的重要“作業(yè)”.教學(xué)時，可以將學(xué)生分成若干組，按照“作業(yè)”的目的、過程、思考與要求，收集材料，匯集整理，提煉觀點(diǎn)，形成“研究報(bào)告”，進(jìn)行班級交流，讓學(xué)生進(jìn)一步了解微積分研究、探索的歷史，深化課程學(xué)習(xí)，增強(qiáng)數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識與信心.特別是在章節(jié)小結(jié)時，不但要引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建知識框圖、理解相關(guān)知識，而且要充分利用整章學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)方法對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、分析和推斷，弄清知識的來龍去脈，形成微積分創(chuàng)立的基本過程、思想方法和核心要素以及做數(shù)學(xué)研究的一般方法.

本課例按照達(dá)成數(shù)據(jù)分析水平二的目標(biāo)立意，引導(dǎo)學(xué)生把教材相關(guān)拓展和章節(jié)學(xué)習(xí)資料結(jié)合起來，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、分析和推斷，弄清導(dǎo)數(shù)和定積分知識的來龍去脈，獲得整章學(xué)習(xí)的意義建構(gòu).特別是把章節(jié)起始課、“實(shí)習(xí)作業(yè)”和單元小結(jié)納入教學(xué)范疇，整體規(guī)劃，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用現(xiàn)代信息技術(shù)手段，收集、處理數(shù)據(jù)，釋放數(shù)據(jù)能量，從中獲取更多的啟發(fā)和效益，向數(shù)據(jù)分析的更高目標(biāo)靠攏.數(shù)據(jù)分析是大數(shù)據(jù)時代公民的必備品格和關(guān)鍵能力，教師在關(guān)注知識技能掌握的同時，要按照數(shù)據(jù)分析的學(xué)業(yè)要求，優(yōu)化設(shè)計(jì)，整合到數(shù)學(xué)教學(xué)中去，促進(jìn)學(xué)生整體把握知識脈絡(luò)，不斷提升數(shù)據(jù)分析的水平.

“數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)既相對獨(dú)立，又相互交融，是一個有機(jī)的整體”.按照章節(jié)所承載的核心素養(yǎng)教育任務(wù)立意，整體把握單元教學(xué)，不是對每一節(jié)課或每一個知識點(diǎn)進(jìn)行設(shè)計(jì)，而是把這個單元內(nèi)容前后照應(yīng)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，在關(guān)注知識技能的同時，按照相應(yīng)核心素養(yǎng)的發(fā)展水平，落實(shí)到具體的、能夠揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)和體悟數(shù)學(xué)思想的過程中，進(jìn)課堂、相互交融，螺旋上升地構(gòu)建和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).