鄧 峰

(北京理工大學(xué)附屬中學(xué),北京 100089)

筆者最近有幸看到《200道物理學(xué)難題》里的第85題．本文在原書答案的基礎(chǔ)上,進行深入細致地再探究,有著自己的研究思路和著手點,算是對此問題的補充研究,權(quán)當(dāng)拋磚引玉,跟同仁交流．

題目.兩個小孩站在一個開闊、傾斜的山坡上,山坡可以看成一個平坦的斜面．地面上結(jié)了足夠的冰,只要小孩受到一點點的作用力就會以恒定的速度滑向山下．

圖1

如圖1所示,一個小孩與另外一個小孩玩,他背靠在一顆大樹上以v0=1 m/s的速度水平推了對方一下．后者滑下了山坡,此間其速度的大小和方向均發(fā)生了變化．如果忽略空氣阻力并假定摩擦力與速度無關(guān),被推的小孩最終的速度為多大?

1 難點分析

有學(xué)生審題時對小孩是否受摩擦力產(chǎn)生了疑惑,認為既然是恒定的速度滑下,怎么會有小孩速度的大小和方向均發(fā)生了變化呢?本題分兩段,前一段給出摩擦力與速度無關(guān)的條件,說明摩擦力大小恒定,但方向當(dāng)然是跟相對運動反向了．學(xué)生誤以為摩擦力大小,方向都恒定,是受“恒定速度”這句話的干擾,很多學(xué)生就是在這陷進了思維怪圈而認為此題出錯了．有學(xué)生沒有認真思考題目的條件,就誤以為是類平拋運動,分析此題可以看出下滑運動受到的其實不是恒定不變的合力,所以不可能做類平拋運動．另有一些物理基礎(chǔ)好的學(xué)生和教師們試圖求出小孩下滑任意時刻的速度,試圖求出小孩的運動軌跡方程,在求解的時候必然會引入時間t,將位置、速度和受力分別表示成時間的函數(shù)．然而在計算時會發(fā)現(xiàn),其實這是一個用初等方法無法求解的曲線運動．

2 巧妙解答過程與點評

圖2

如圖2,在斜面上建立直角坐標(biāo),其中x方向與速度v0同向,垂直于x方向沿傾斜的山坡向下為y方向．其中f1=mgsina為重力沿斜坡向下的分力,f2為小孩所受的摩擦力．由題設(shè)勻速運動條件可得到f1和f2必定大小相等,即f1=f2．

因為小孩受到的摩擦力f2雖大小保持恒定,且f2≡f1,但小孩做曲線運動時f2的方向時刻變化,故其所受到的合外力大小和方向必時刻變化,可知小孩所做的運動不是類平拋運動．

設(shè)某時刻速度方向和x軸的夾角為θ,根據(jù)牛頓第二定律可得

則在速度方向v方向上

(1)

和y方向上

(2)

聯(lián)立(1)、(2)式可得

即dv+dvy=0,可知

d(v+vy)=0,

這說明v+vy=常數(shù)=v0.

由(1)式可以知道:小孩運動合速度v的減小與1-sinθ成正比,在0～90°范圍這是一個單調(diào)減函數(shù),最終會有sinθ=1,合速度不再變化,而且最終合速度v減小到最小值vmin,此時小孩沿y方向的加速度為0,小孩最終的合速度方向?qū)⒀匦泵嫦蛳?這時便有v=vmin=vymax,所以

這種解法十分巧妙,也很簡潔,通過計算速度大小和沿斜面向下的分速度的關(guān)系,發(fā)現(xiàn)二者之和是個定值,從而很方便地導(dǎo)出了末速度的大小．

3 再度深入探究

下面分步驟對這個模型做深入的探究,并求出小孩下滑的軌跡方程．

(1) 根據(jù)牛頓第二定律可得

(3)

其中ρ為曲線軌跡的曲率半徑．

(2) 根據(jù)數(shù)學(xué)的曲率半徑特點可有

(4)

式中s為軌道弧長.

將(4)式代入(3)式可有

(5)

其中

(6)

將(6)式代入(5)式可有

則

(7)

(3) 對(1)式兩邊同乘以dθ,可有

(8)

(4) 對(8)式兩邊積分,并考慮初始條件θ=0時v=v0,可得

解得

(9)

(5) 將(9)式代入(5)式可得

則

(10)

對(10)式兩邊積分就可以得到下滑小孩運動的軌跡方程s(θ)．

(11)

對(11)式兩邊積分就可以得到下滑小孩運動的軌跡的參數(shù)方程x(θ)．

(7) dy=dssinθ=

(12)

對(12)式兩邊積分就可以得到下滑小孩運動軌跡的參數(shù)方程y(θ)．

(8) 再將(9)式代入(7)式,可有

得

(13)

對(13)式兩邊積分就可以得到下滑小孩運動的角位移方程θ(t)．

以上分析可以得到下滑小孩的軌跡及其參數(shù)方程和角位移方程,研究的比較全面深入,只是積分很有難度,需要計算機軟件進行解析解和數(shù)值解的分析,因為筆者的計算物理的能力有限,還需有這方面能力的教師協(xié)助解決,本人不勝感激．