基于多重休假的min(N,V)-策略M/G/1排隊(duì)系統(tǒng)的隊(duì)長(zhǎng)分布

唐應(yīng)輝，吳文青，劉云頗，等

摘要：目的：為了解決隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)的最優(yōu)設(shè)計(jì)和最優(yōu)控制問(wèn)題，人們往往要研究隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)的概率特性。隨著科學(xué)技術(shù)和計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，排隊(duì)論的研究成果層出不窮，應(yīng)用領(lǐng)域不斷擴(kuò)大，已廣泛應(yīng)用于通信工程、交通運(yùn)輸、生產(chǎn)與庫(kù)存管理、計(jì)算機(jī)系統(tǒng)設(shè)計(jì)、計(jì)算機(jī)通信網(wǎng)絡(luò)、軍事作戰(zhàn)、柔性制造系統(tǒng)和系統(tǒng)可靠性等眾多領(lǐng)域。從管理和成本的角度，當(dāng)生產(chǎn)和制造的環(huán)境發(fā)生較大改變時(shí)，系統(tǒng)擁有者想要轉(zhuǎn)換成另一種控制策略，但大多數(shù)情況下，由于成本的原因要拋棄現(xiàn)有的硬件系統(tǒng)設(shè)施是不可能的。因此，一些把服務(wù)員休假與控制策略相結(jié)合的排隊(duì)模型得到了學(xué)者們的極大關(guān)注。本文把服務(wù)員多重休假和N-策略結(jié)合起來(lái)，考慮了一個(gè)在min(N,V )—策略控制下的M/G/1排隊(duì)系統(tǒng)模型，利用全概率分解技術(shù)和拉普拉斯變換工具，研究了刻畫(huà)該系統(tǒng)的有關(guān)排隊(duì)性能指標(biāo)。方法：首先，通過(guò)使用全概率分解方法和應(yīng)用更新過(guò)程理論，并借用拉普拉斯變換工具，研究了在任意初始狀態(tài)條件下系統(tǒng)隊(duì)長(zhǎng)的瞬態(tài)分布。其次，利用系統(tǒng)隊(duì)長(zhǎng)瞬態(tài)分布的拉普拉斯變換和穩(wěn)態(tài)分布的關(guān)系，應(yīng)用羅比達(dá)法則求極限來(lái)獲得隊(duì)長(zhǎng)穩(wěn)態(tài)分布的表達(dá)式，從而可獲得隊(duì)長(zhǎng)穩(wěn)態(tài)分布的概率母函數(shù)和平均穩(wěn)態(tài)隊(duì)長(zhǎng)表達(dá)式。最后，利用Matlab軟件編寫(xiě)數(shù)值計(jì)算程序，通過(guò)數(shù)值計(jì)算實(shí)例分析了系統(tǒng)因?yàn)榛诙嘀匦菁俸?min(N,V )—策略而引起的附加平均隊(duì)長(zhǎng)隨著控制閾值N和休假時(shí)間V的變化情況，并討論了穩(wěn)態(tài)隊(duì)長(zhǎng)分布在系統(tǒng)容量設(shè)計(jì)中的重要價(jià)值。結(jié)果：從刻畫(huà)系統(tǒng)有關(guān)排隊(duì)性能指標(biāo)看，本文獲得了如下方面的結(jié)果：① 研究了該系統(tǒng)隊(duì)長(zhǎng)的瞬態(tài)特性，獲得了系統(tǒng)隊(duì)長(zhǎng)瞬態(tài)分布的拉普拉斯變換表達(dá)式。② 獲得了系統(tǒng)隊(duì)長(zhǎng)穩(wěn)態(tài)分布的遞推表達(dá)式、隊(duì)長(zhǎng)穩(wěn)態(tài)分布的概率母函數(shù)和平均穩(wěn)態(tài)隊(duì)長(zhǎng)的表達(dá)式。③ 獲得了附加隊(duì)長(zhǎng)的穩(wěn)態(tài)分布表達(dá)式。④ 分別在休假時(shí)間V服從負(fù)指數(shù)分布或定長(zhǎng)分布P{V=T}=1，以及當(dāng)N=1或N→∞，P{V=0}=1或P{V=∞}=1情況下，獲得了相應(yīng)的特殊結(jié)果。⑤ 通過(guò)數(shù)值計(jì)算結(jié)果以及對(duì)應(yīng)的圖形看出，當(dāng)休假時(shí)間V的參數(shù)確定時(shí)，隨著控制閥值N取值的不斷增大，即服務(wù)員在進(jìn)入服務(wù)員忙期時(shí)的初始顧客數(shù)不斷增多，系統(tǒng)的附加平均隊(duì)長(zhǎng)是先增大而后趨于平緩，這是因?yàn)樵贜取值增大時(shí)，受 min(N,V)-策略的影響，控制閥值所起的作用越來(lái)越小，當(dāng)N超過(guò)某一值時(shí)，系統(tǒng)的附加平均隊(duì)長(zhǎng)將完全由服務(wù)員的休假?zèng)Q定。另外當(dāng)服務(wù)員的休假時(shí)間越來(lái)越短時(shí)，這使得到達(dá)系統(tǒng)的顧客有較大的可能性得到服務(wù)，此時(shí)系統(tǒng)的附加平均隊(duì)長(zhǎng)呈現(xiàn)出減小的變化趨勢(shì)，這種變化與實(shí)際情況是相一致的。⑥ 在系統(tǒng)容量設(shè)計(jì)的實(shí)際應(yīng)用中，太大的容量會(huì)使系統(tǒng)成本過(guò)高，太小的容量則會(huì)使到達(dá)的顧客（信息）丟失。通過(guò)數(shù)值計(jì)算結(jié)果看到，僅僅依靠平均隊(duì)長(zhǎng)作為參考標(biāo)準(zhǔn)往往會(huì)使系統(tǒng)容量設(shè)計(jì)出現(xiàn)較大偏差。結(jié)論：在一般情況下，通過(guò)概率母函數(shù)表達(dá)式反演求出隊(duì)長(zhǎng)的穩(wěn)態(tài)分布表達(dá)式是相當(dāng)困難的，有時(shí)是不可能的。本文把服務(wù)員多重休假和N-策略結(jié)合起來(lái)，提出了在min(N,V )—策略控制下的M/G/1排隊(duì)系統(tǒng)模型，利用全概率分解技術(shù)和拉普拉斯變換工具，不但研究了該系統(tǒng)隊(duì)長(zhǎng)的瞬態(tài)特性，而且得到了便于計(jì)算穩(wěn)態(tài)隊(duì)長(zhǎng)分布（系統(tǒng)中有個(gè)顧客的穩(wěn)態(tài)概率）的遞推表達(dá)式，在此基礎(chǔ)上，本文深入討論了一些特殊情況，獲得了更好的結(jié)果。從系統(tǒng)容量設(shè)計(jì)的優(yōu)化討論中看到，穩(wěn)態(tài)隊(duì)長(zhǎng)分布可以彌補(bǔ)僅僅依靠系統(tǒng)平均隊(duì)長(zhǎng)進(jìn)行系統(tǒng)容量設(shè)計(jì)所帶來(lái)的偏差。同時(shí)，用數(shù)值計(jì)算實(shí)例討論了附加平均隊(duì)長(zhǎng)隨著控制閥值N和休假時(shí)間 V的變化情況，使得本文的研究有更好的應(yīng)用價(jià)值。

來(lái)源出版物：系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐, 2014, 34(6)： 1533-1546

入選年份：2017