申成博

（陜西 西安 710000）

1 問題背景

斜拉橋又稱斜張橋，由索塔、主梁、斜拉索組成，是將主梁用許多拉索直接拉在橋塔上的一種橋梁，是由承壓的塔、受拉的索和承彎的梁體組合起來的一種結(jié)構(gòu)體系。斜拉索的兩端分別錨固在主梁和斜塔上，將主梁的恒載和車輛荷載傳遞至索塔，再通過索塔傳至地基。主梁在斜拉索的多點(diǎn)支承下，像多跨彈性支撐的連續(xù)梁一樣，使彎矩值得以大大地降低，這不但可以使主梁尺寸大大減小，而且由于結(jié)構(gòu)自重顯著減輕，既節(jié)省了結(jié)構(gòu)材料，又能大幅度地增大橋梁的跨越能力。

斜拉橋在我國大跨徑橋梁中廣泛流行是因?yàn)槠錁蛄嚎缍容^大，橋梁基礎(chǔ)較少、有利于跨越很寬的障礙物，橋梁造型美觀等等。但隨著橋梁跨徑的不斷增大，會出現(xiàn)超高塔、超長索、超柔性的加勁梁結(jié)構(gòu)，因此研究橋梁的穩(wěn)定性便極為重要。為研究影響斜拉橋穩(wěn)定的因素，故對其模型進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，并由此得出相關(guān)的結(jié)論。

2 模型假設(shè)

（1）假設(shè)斜拉橋的橋面是水平。（2）假設(shè)斜拉橋的拉索的最大張角是45°。（3）假設(shè)模型中計(jì)算的拉索的索塔個數(shù)為整數(shù)。（4）斜拉索在索塔上的節(jié)點(diǎn)都為塔頂位置。（5）假設(shè)主跨與次跨的長度相同。（6）假設(shè)拉索之間的間距相同。

3 模型建立與問題分析

通過以上的假設(shè)，我們可以做出如下斜拉橋的模型。下文通過對模型的分析以及相應(yīng)數(shù)據(jù)的分析，結(jié)合橋梁穩(wěn)定性可得出相關(guān)結(jié)論。

3.1 斜拉橋的受力分析與穩(wěn)定性分析

橋梁在我們的生活中有著非常重要的作用，而橋梁建設(shè)中最重要的就是其中的力學(xué)分析過程。一座橋梁要連接兩岸，隨著時代的發(fā)展，橋梁建設(shè)的挑戰(zhàn)也隨之增加，兩岸長度的增加，橋梁質(zhì)量的要求增加，道路寬度以及工程容量的增加。而橋梁建設(shè)的穩(wěn)定性是由力學(xué)分析以及數(shù)學(xué)理論來進(jìn)行理論支撐的，以下將重點(diǎn)結(jié)合斜拉橋模型以及受力原理分析橋梁的受力情況。

3.1.1 斜拉橋的模型分析

根據(jù)橋梁學(xué)的知識知道，斜拉橋一定是一個對稱圖形；通過查閱資料可知，斜拉橋的設(shè)計(jì)一般是等間距設(shè)計(jì)，而且連接在索塔上的部分比較集中，通過分析以及資料中顯示，將拉索與索塔的連接點(diǎn)放在下一個點(diǎn)上，對我們論文的研究不會有太大的影響，因此在保證斜拉橋整體對稱的基礎(chǔ)上，我們假設(shè)斜拉橋所有的拉索均于同一點(diǎn)進(jìn)行連接。如圖1 所示，是簡單的斜拉橋模型示意圖。當(dāng)然在實(shí)際的生活中，斜拉橋可能存在多個索塔或者其他的一些形式，但為了簡單起見，我們對其中的一個索塔進(jìn)行簡單的建模，通過對其進(jìn)行受力分析并結(jié)合相關(guān)的數(shù)學(xué)論文推導(dǎo)得出相關(guān)的結(jié)論。

圖1 斜拉橋模型

經(jīng)過查閱相關(guān)資料了解到，在斜拉橋的建設(shè)中，拉索的最大張角不應(yīng)超過45°。結(jié)合圖1，我們知道拉索AB、AF 是拉索設(shè)計(jì)的第一條拉索。通過查閱資料，在構(gòu)建模型的時候?qū)⒗髦g的距離設(shè)置為固定值為d，在圖1 中A 點(diǎn)的高度設(shè)為h，則我們可以通過以下公式來求得拉索與索塔之間的夾角大?。?/p>

在上式中，θ 表示索塔與拉索之間的夾角，h 表示索塔的高度，d 表示每根拉索在橋面上的距離，n 表示拉索的標(biāo)號，按照靠近索塔的順序?yàn)槊扛鬟M(jìn)行標(biāo)記。

假設(shè)橋的長度為L，則根據(jù)模型的定義可知拉索的個數(shù)應(yīng)該設(shè)置為：

在上式中，用橋的總長度減去2 倍索塔的高度，在前文中我們提到了，必須要保證拉索與索塔之間的夾角大于45°，也就是說減去的2 倍索塔高度是我們不建立拉索的橋的部分長度；又由于我們的橋梁建設(shè)一定是以索塔為中心的對稱圖形，因此在這里我們必須以2 倍的長度進(jìn)行擴(kuò)展拉索，對于不夠的部分要增加一對拉索。因此拉索的根數(shù)一定要達(dá)到公式（2）中N 的值。

3.1.2 斜拉橋的受力分析

圖2 斜拉橋的受力分析圖

由圖1 中對斜拉橋模型的分析可知，斜拉橋整體模型是對稱的，因此我們可以通過分析任意一個拉索的受力得到一對拉索的受力分析結(jié)果。如圖2 是我們的受力分析圖，對于橋梁工程，我們關(guān)注的更多的是我們拉索的受力以及索塔的受力情況。由圖2 分析可知，我們以A 的受力出發(fā)，可以知道拉索對A 點(diǎn)的作用力的方向?yàn)橛葾 指向C，將拉索對點(diǎn)A 施加的力進(jìn)行受力分析，可得：

上式中，F(xiàn) 表示拉索對索橋施加的力的大小，其方向?yàn)橛葾 點(diǎn)指向C 點(diǎn)，F(xiàn)x表示的是拉索對索橋施加力的水平分力，F(xiàn)y表示拉索對索橋施加的方向?yàn)樨Q直向下的力。

結(jié)合斜拉橋的受力分析以及圖1 中的模型，我們可以知道由于拉索是對稱的，因此我們將一對對稱的力放在一起進(jìn)行分析。又由力的合成與分解原理，兩個力在水平上的力大小相等，且方向相反；在豎直方向的力大小相等方向相同，因此合力方向與豎直分力方向相同，即為豎直方向。

3.2 斜拉橋參數(shù)關(guān)系分析

在實(shí)際的橋梁建設(shè)中，我們的拉索總長度往往也是我們需要考慮的一個重要因素，因此在本節(jié)中，我們將結(jié)合3.1 節(jié)中對橋梁的受力分析以及穩(wěn)定性分析，對橋梁建設(shè)中的一些重要參數(shù)進(jìn)行討論。

3.2.1 斜拉橋模型下的數(shù)據(jù)關(guān)系分析（拉索）

我們將結(jié)合模型分析拉索之間的間距d 與橋梁所需拉索總長度的關(guān)系，由模型可知索塔、拉索與我們的橋面可以組成一個直角三角形，由勾股定理我們可以求出所需拉索的長度S：

在上式中，i 表示第幾根拉索，a 表示第一根拉索與索塔的水平距離，通過根號求得每一根拉索的長度，由于橋梁是對稱的，因此求和之后需要乘以2 倍得到最后所需的拉索總長度。

3.2.2 斜拉橋模型的穩(wěn)定性分析

通過分析可知，如果通過不斷增加一個索塔上的拉索的數(shù)量，則拉索對于索塔的壓力將會越來越大，而且如果拉索的長度過長，即拉索與索塔之間的夾角過大，則會導(dǎo)致橋梁失重，因此我們還需要考慮到索塔的數(shù)量K。以下結(jié)合具體數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，并結(jié)合上文受力分析結(jié)果，討論索塔數(shù)量、橋梁長度以及索塔高度對穩(wěn)定性的影響。在下表公式計(jì)算時，為方便計(jì)算，我們假設(shè)每根拉索的受力相同且拉索之間的距離固定為d，在表1計(jì)算中設(shè)；對于a，我們假設(shè)其大小等于3 倍間距d。為表示方便，假設(shè)一米長的橋體的重力大小為G，下文中我們分析橋的長度的變化以及索塔個數(shù)的變化對相關(guān)參數(shù)的影響，可由以下公式得到我們所需的參數(shù)值的表達(dá)式：

表1 變量分析表

分析表1 數(shù)據(jù)，可得到如下結(jié)論。

（1）在其他參數(shù)不變時，通過增加索塔的個數(shù)能夠有效的減短所需的拉索總長度，但在一定程度上由于減少了拉索，拉索所需承擔(dān)的重力會在一定程度上有所上升。

（2）在其他參數(shù)不變時，當(dāng)橋梁長度增加時，所需拉索的總長度會在一定程度上有所上升，但拉索所需的拉力會略微減小。

（3）通過以上分析可知，為了使橋梁更加穩(wěn)定，我們可以通過增加索塔的個數(shù)來降低拉索的拉力大小，但這會涉及到索塔以及拉索的造價成本上升，因此我們需要在效益最大化的同時確保安全。

4 結(jié)語

通過建立簡單的數(shù)學(xué)模型并逐步進(jìn)行分析，提出的問題基本得到解決，具有一定的實(shí)用性。而且通過研究斜拉橋的數(shù)學(xué)模型不僅可以提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的趣味性，還能加深對高中數(shù)學(xué)與物理中有關(guān)運(yùn)動問題的理解。根據(jù)論文中的模型以及相關(guān)的結(jié)論我們可以用于指導(dǎo)相關(guān)人員對橋梁的建設(shè)。由于本文對模型進(jìn)行了很多的簡化，因此所建立的數(shù)學(xué)模型在某些方面有一定的缺陷。