申成博

（陜西 西安 710000）

1 問(wèn)題背景

斜拉橋又稱(chēng)斜張橋，由索塔、主梁、斜拉索組成，是將主梁用許多拉索直接拉在橋塔上的一種橋梁，是由承壓的塔、受拉的索和承彎的梁體組合起來(lái)的一種結(jié)構(gòu)體系。斜拉索的兩端分別錨固在主梁和斜塔上，將主梁的恒載和車(chē)輛荷載傳遞至索塔，再通過(guò)索塔傳至地基。主梁在斜拉索的多點(diǎn)支承下，像多跨彈性支撐的連續(xù)梁一樣，使彎矩值得以大大地降低，這不但可以使主梁尺寸大大減小，而且由于結(jié)構(gòu)自重顯著減輕，既節(jié)省了結(jié)構(gòu)材料，又能大幅度地增大橋梁的跨越能力。

斜拉橋在我國(guó)大跨徑橋梁中廣泛流行是因?yàn)槠錁蛄嚎缍容^大，橋梁基礎(chǔ)較少、有利于跨越很寬的障礙物，橋梁造型美觀等等。但隨著橋梁跨徑的不斷增大，會(huì)出現(xiàn)超高塔、超長(zhǎng)索、超柔性的加勁梁結(jié)構(gòu)，因此研究橋梁的穩(wěn)定性便極為重要。為研究影響斜拉橋穩(wěn)定的因素，故對(duì)其模型進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，并由此得出相關(guān)的結(jié)論。

2 模型假設(shè)

（1）假設(shè)斜拉橋的橋面是水平。（2）假設(shè)斜拉橋的拉索的最大張角是45°。（3）假設(shè)模型中計(jì)算的拉索的索塔個(gè)數(shù)為整數(shù)。（4）斜拉索在索塔上的節(jié)點(diǎn)都為塔頂位置。（5）假設(shè)主跨與次跨的長(zhǎng)度相同。（6）假設(shè)拉索之間的間距相同。

3 模型建立與問(wèn)題分析

通過(guò)以上的假設(shè)，我們可以做出如下斜拉橋的模型。下文通過(guò)對(duì)模型的分析以及相應(yīng)數(shù)據(jù)的分析，結(jié)合橋梁穩(wěn)定性可得出相關(guān)結(jié)論。

3.1 斜拉橋的受力分析與穩(wěn)定性分析

橋梁在我們的生活中有著非常重要的作用，而橋梁建設(shè)中最重要的就是其中的力學(xué)分析過(guò)程。一座橋梁要連接兩岸，隨著時(shí)代的發(fā)展，橋梁建設(shè)的挑戰(zhàn)也隨之增加，兩岸長(zhǎng)度的增加，橋梁質(zhì)量的要求增加，道路寬度以及工程容量的增加。而橋梁建設(shè)的穩(wěn)定性是由力學(xué)分析以及數(shù)學(xué)理論來(lái)進(jìn)行理論支撐的，以下將重點(diǎn)結(jié)合斜拉橋模型以及受力原理分析橋梁的受力情況。

3.1.1 斜拉橋的模型分析

根據(jù)橋梁學(xué)的知識(shí)知道，斜拉橋一定是一個(gè)對(duì)稱(chēng)圖形；通過(guò)查閱資料可知，斜拉橋的設(shè)計(jì)一般是等間距設(shè)計(jì)，而且連接在索塔上的部分比較集中，通過(guò)分析以及資料中顯示，將拉索與索塔的連接點(diǎn)放在下一個(gè)點(diǎn)上，對(duì)我們論文的研究不會(huì)有太大的影響，因此在保證斜拉橋整體對(duì)稱(chēng)的基礎(chǔ)上，我們假設(shè)斜拉橋所有的拉索均于同一點(diǎn)進(jìn)行連接。如圖1 所示，是簡(jiǎn)單的斜拉橋模型示意圖。當(dāng)然在實(shí)際的生活中，斜拉橋可能存在多個(gè)索塔或者其他的一些形式，但為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們對(duì)其中的一個(gè)索塔進(jìn)行簡(jiǎn)單的建模，通過(guò)對(duì)其進(jìn)行受力分析并結(jié)合相關(guān)的數(shù)學(xué)論文推導(dǎo)得出相關(guān)的結(jié)論。

圖1 斜拉橋模型

經(jīng)過(guò)查閱相關(guān)資料了解到，在斜拉橋的建設(shè)中，拉索的最大張角不應(yīng)超過(guò)45°。結(jié)合圖1，我們知道拉索AB、AF 是拉索設(shè)計(jì)的第一條拉索。通過(guò)查閱資料，在構(gòu)建模型的時(shí)候?qū)⒗髦g的距離設(shè)置為固定值為d，在圖1 中A 點(diǎn)的高度設(shè)為h，則我們可以通過(guò)以下公式來(lái)求得拉索與索塔之間的夾角大小：

在上式中，θ 表示索塔與拉索之間的夾角，h 表示索塔的高度，d 表示每根拉索在橋面上的距離，n 表示拉索的標(biāo)號(hào)，按照靠近索塔的順序?yàn)槊扛鬟M(jìn)行標(biāo)記。

假設(shè)橋的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，則根據(jù)模型的定義可知拉索的個(gè)數(shù)應(yīng)該設(shè)置為：

在上式中，用橋的總長(zhǎng)度減去2 倍索塔的高度，在前文中我們提到了，必須要保證拉索與索塔之間的夾角大于45°，也就是說(shuō)減去的2 倍索塔高度是我們不建立拉索的橋的部分長(zhǎng)度；又由于我們的橋梁建設(shè)一定是以索塔為中心的對(duì)稱(chēng)圖形，因此在這里我們必須以2 倍的長(zhǎng)度進(jìn)行擴(kuò)展拉索，對(duì)于不夠的部分要增加一對(duì)拉索。因此拉索的根數(shù)一定要達(dá)到公式（2）中N 的值。

3.1.2 斜拉橋的受力分析

圖2 斜拉橋的受力分析圖

由圖1 中對(duì)斜拉橋模型的分析可知，斜拉橋整體模型是對(duì)稱(chēng)的，因此我們可以通過(guò)分析任意一個(gè)拉索的受力得到一對(duì)拉索的受力分析結(jié)果。如圖2 是我們的受力分析圖，對(duì)于橋梁工程，我們關(guān)注的更多的是我們拉索的受力以及索塔的受力情況。由圖2 分析可知，我們以A 的受力出發(fā)，可以知道拉索對(duì)A 點(diǎn)的作用力的方向?yàn)橛葾 指向C，將拉索對(duì)點(diǎn)A 施加的力進(jìn)行受力分析，可得：

上式中，F(xiàn) 表示拉索對(duì)索橋施加的力的大小，其方向?yàn)橛葾 點(diǎn)指向C 點(diǎn)，F(xiàn)x表示的是拉索對(duì)索橋施加力的水平分力，F(xiàn)y表示拉索對(duì)索橋施加的方向?yàn)樨Q直向下的力。

結(jié)合斜拉橋的受力分析以及圖1 中的模型，我們可以知道由于拉索是對(duì)稱(chēng)的，因此我們將一對(duì)對(duì)稱(chēng)的力放在一起進(jìn)行分析。又由力的合成與分解原理，兩個(gè)力在水平上的力大小相等，且方向相反；在豎直方向的力大小相等方向相同，因此合力方向與豎直分力方向相同，即為豎直方向。

3.2 斜拉橋參數(shù)關(guān)系分析

在實(shí)際的橋梁建設(shè)中，我們的拉索總長(zhǎng)度往往也是我們需要考慮的一個(gè)重要因素，因此在本節(jié)中，我們將結(jié)合3.1 節(jié)中對(duì)橋梁的受力分析以及穩(wěn)定性分析，對(duì)橋梁建設(shè)中的一些重要參數(shù)進(jìn)行討論。

3.2.1 斜拉橋模型下的數(shù)據(jù)關(guān)系分析（拉索）

我們將結(jié)合模型分析拉索之間的間距d 與橋梁所需拉索總長(zhǎng)度的關(guān)系，由模型可知索塔、拉索與我們的橋面可以組成一個(gè)直角三角形，由勾股定理我們可以求出所需拉索的長(zhǎng)度S：

在上式中，i 表示第幾根拉索，a 表示第一根拉索與索塔的水平距離，通過(guò)根號(hào)求得每一根拉索的長(zhǎng)度，由于橋梁是對(duì)稱(chēng)的，因此求和之后需要乘以2 倍得到最后所需的拉索總長(zhǎng)度。

3.2.2 斜拉橋模型的穩(wěn)定性分析

通過(guò)分析可知，如果通過(guò)不斷增加一個(gè)索塔上的拉索的數(shù)量，則拉索對(duì)于索塔的壓力將會(huì)越來(lái)越大，而且如果拉索的長(zhǎng)度過(guò)長(zhǎng)，即拉索與索塔之間的夾角過(guò)大，則會(huì)導(dǎo)致橋梁失重，因此我們還需要考慮到索塔的數(shù)量K。以下結(jié)合具體數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，并結(jié)合上文受力分析結(jié)果，討論索塔數(shù)量、橋梁長(zhǎng)度以及索塔高度對(duì)穩(wěn)定性的影響。在下表公式計(jì)算時(shí)，為方便計(jì)算，我們假設(shè)每根拉索的受力相同且拉索之間的距離固定為d，在表1計(jì)算中設(shè)；對(duì)于a，我們假設(shè)其大小等于3 倍間距d。為表示方便，假設(shè)一米長(zhǎng)的橋體的重力大小為G，下文中我們分析橋的長(zhǎng)度的變化以及索塔個(gè)數(shù)的變化對(duì)相關(guān)參數(shù)的影響，可由以下公式得到我們所需的參數(shù)值的表達(dá)式：

表1 變量分析表

分析表1 數(shù)據(jù)，可得到如下結(jié)論。

（1）在其他參數(shù)不變時(shí)，通過(guò)增加索塔的個(gè)數(shù)能夠有效的減短所需的拉索總長(zhǎng)度，但在一定程度上由于減少了拉索，拉索所需承擔(dān)的重力會(huì)在一定程度上有所上升。

（2）在其他參數(shù)不變時(shí)，當(dāng)橋梁長(zhǎng)度增加時(shí)，所需拉索的總長(zhǎng)度會(huì)在一定程度上有所上升，但拉索所需的拉力會(huì)略微減小。

（3）通過(guò)以上分析可知，為了使橋梁更加穩(wěn)定，我們可以通過(guò)增加索塔的個(gè)數(shù)來(lái)降低拉索的拉力大小，但這會(huì)涉及到索塔以及拉索的造價(jià)成本上升，因此我們需要在效益最大化的同時(shí)確保安全。

4 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)建立簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型并逐步進(jìn)行分析，提出的問(wèn)題基本得到解決，具有一定的實(shí)用性。而且通過(guò)研究斜拉橋的數(shù)學(xué)模型不僅可以提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的趣味性，還能加深對(duì)高中數(shù)學(xué)與物理中有關(guān)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的理解。根據(jù)論文中的模型以及相關(guān)的結(jié)論我們可以用于指導(dǎo)相關(guān)人員對(duì)橋梁的建設(shè)。由于本文對(duì)模型進(jìn)行了很多的簡(jiǎn)化，因此所建立的數(shù)學(xué)模型在某些方面有一定的缺陷。