王 濤， 朱愛東， 陳金兵, 孫中杰

(北京理工大學(xué)自動化學(xué)院， 北京 10081)

引言

高速機器人機械臂目前已廣泛應(yīng)用在電子、輕工、食品和醫(yī)藥等生產(chǎn)行業(yè)中[1-2]。機械臂按其機械結(jié)構(gòu)可以分為并聯(lián)機械臂和串聯(lián)機械臂兩類。串聯(lián)機械臂以串聯(lián)機構(gòu)為其機構(gòu)原形，一般由基座、腰部(或肩部)、大臂、小臂、腕部和手部組成并以串聯(lián)方式連接。并聯(lián)機械臂以并聯(lián)機構(gòu)為其機構(gòu)原形，通常由基座、臂部以及連接件組成[3]。并聯(lián)機械臂的所有驅(qū)動機構(gòu)都可以安裝在基座上或基座附近[4]。并聯(lián)機械臂采用閉環(huán)結(jié)構(gòu)，相對串聯(lián)機械臂而言具有一些獨特的性能，如剛度大、對稱性好、承載能力強等[5-6]。氣動驅(qū)動型并聯(lián)機械臂具有成本低、動作可靠、能源清潔等優(yōu)點。

本研究結(jié)合三自由度并聯(lián)機械手，由其機械結(jié)構(gòu)得到了其運動學(xué)的正解與逆解。接著以二自由度并聯(lián)機械手為例，實驗驗證了協(xié)調(diào)控制算法。

1 三自由度機械臂的結(jié)構(gòu)布局與坐標(biāo)系建立

如圖1a 所示，結(jié)構(gòu)主要包括1基座，2氣缸，3活動底座，4萬向節(jié)，5連接球鉸。3個萬向節(jié)將氣缸與基座連接起來，在基座上形成1個等邊三角形，萬向節(jié)可使氣缸實現(xiàn)旋轉(zhuǎn)與俯仰運動；3個氣缸作為機械臂的驅(qū)動副，協(xié)同工作使活動底座運動；3個連接球鉸在活動底座上形成1個等邊三角形。

圖1 三自由度機械臂

如圖1b所示，建立OXYZ坐標(biāo)系，O位于基座上萬向節(jié)形成的等邊三角形的中心；OXY平面位于基座平面上；Z軸垂直于基座；OY軸垂直于等邊三角形的某邊，設(shè)為A′B′。基座中O點到3個萬向節(jié)距離設(shè)為m、活動底座上中心點到3個頂點的距離設(shè)為n、3個驅(qū)動副原長為L0。

2 三自由度機械臂的運動學(xué)分析

2.1 位置正解

已知機構(gòu)的各個連接關(guān)節(jié)的角度或位置求解出機構(gòu)末端位姿即為運動學(xué)的正解[7]。由三自由度機械臂的布局特點知：

(1)

c(0,-(m-n),0)

S(x,y,z)

式中，m為基座上等邊三角形頂點到其中心的距離；n為活動底座上等邊三角形到其中心的距離。令w=m-n,由距離公式可得：

由式(2)可解出S的坐標(biāo)如下：

(3)

式中，L0為氣缸原長；La,Lb,Lc為3個氣缸的伸長量。

2.2 位置逆解

已知機構(gòu)的末端位姿推導(dǎo)出各個連接關(guān)節(jié)的角度或位置即為運動學(xué)逆解。已知活動端坐標(biāo)S(x,y,z)，求各缸伸長量La,Lb,Lc，由式(2)可得下式：

解之可得下式：

2.3 速度模型

動平臺中心S的運動速度如式(6),則根據(jù)逆解求出三個氣缸的運動速度如式(7):

(6)

(7)

將式(5)代入式(7)得:

(8)

3 三自由度機械臂運動空間分析

3.1 結(jié)構(gòu)約束

1) 萬向節(jié)轉(zhuǎn)角約束

設(shè)β1,β2,β3分別為aO與aS，bO與bS，cO與cS的夾角。由余弦定理可得下式：

(9)

假設(shè)β1,β2,β3的最小夾角分別是β1min,β2min，β3min，最大夾角分別是β1max,β2max，β3max,則機械臂的夾角約束為：

(10)

2) 機械臂的長度約束

設(shè)T為氣缸的行程，則易知機械臂長度約束滿足下式：

(11)

3.2 奇異位置分析

(12)

其中，

當(dāng)J1非奇異時，即可得到雅可比矩陣J的表達式，但其表達式較為復(fù)雜，這里僅給出簡化的表達式，如式(14)所示:

(14)

當(dāng)雅可比矩陣行列式值為0時，并聯(lián)機械臂出現(xiàn)奇異位形。對式(14)而言，當(dāng)矩陣J1不可逆時，機械臂出現(xiàn)正向運動學(xué)奇異。從數(shù)學(xué)上求解方程det(J1)=0并找出所有正向奇異位形點是很困難的，可從機械結(jié)構(gòu)的幾何性質(zhì)上直觀找出所有奇異位形點。

當(dāng)3氣缸共面，即z=0時，會出現(xiàn)奇異構(gòu)型，但從機械角度分析不會出現(xiàn)這種情況。

4 二自由度機械臂協(xié)調(diào)運動控制實驗

以并聯(lián)機械手末端動平臺直線運動為例進行雙氣缸的協(xié)調(diào)運動控制，為了使動平臺受到的2個氣缸的力平衡且保持水平姿態(tài)，需要使2個氣缸的位移時刻滿足運動學(xué)約束關(guān)系，基于此研究了雙氣缸協(xié)調(diào)運動控制算法[8]，實驗裝置如圖2所示。

1.電/氣比例閥 2.直線導(dǎo)軌 3.軸承滑塊 4.氣缸 5.位移傳感器 6.輔助伸縮桿 7.輔助桿連接件 8.動平臺 9.固定彩筆 10.定平臺

本研究使用兩個低摩擦氣缸作為運動器件，并采用流量型電/氣比例伺服閥作為驅(qū)動單元。使用STM32F103作為控制器，PC即作為上位機進行發(fā)送控制指令和顯示相關(guān)信息。氣缸的運動控制過程為首先嵌入式控制器根據(jù)上位機接收的目標(biāo)信號與傳感器信號進行比較并通過控制算法輸出相應(yīng)控制量，控制量經(jīng)過D/A轉(zhuǎn)換和信號放大驅(qū)動電/氣比例伺服閥，使氣缸按照設(shè)定的目標(biāo)任務(wù)運動，通過實時采集氣缸的運動狀態(tài)和實時控制實現(xiàn)氣缸的運動控制。

4.1 兩機械臂協(xié)調(diào)控制算法

首先明確并聯(lián)機構(gòu)的運動目標(biāo)，根據(jù)運動目標(biāo)進行軌跡規(guī)劃確定運動路徑?；诓⒙?lián)機械手的運動學(xué)分析和支鏈間的約束關(guān)系，分別對每個氣缸進行運動學(xué)逆解，得到并聯(lián)機械手動平臺在對應(yīng)運動軌跡上的每個氣缸的期望位移，并在對應(yīng)的位姿下對每個氣缸進行控制，各個氣缸控制器根據(jù)期望位移與實際位移的的誤差來驅(qū)動[9]。

考慮到并聯(lián)雙氣缸運動過程中的相互影響，應(yīng)采用以下協(xié)調(diào)控制方法：通過2個氣缸位移的誤差進行對比，按照一定的比例對2個氣缸的控制量進行補償[10-11]。在雙氣缸的控制器中相互含有對方的信息，實現(xiàn)了2個氣缸控制量之間的通訊，從而使得2個氣缸的位移誤差之差變小，2個氣缸的運動趨于同步，實現(xiàn)2個氣缸的協(xié)調(diào)運動。

SL和SR是左右2個氣缸的期位移一輸入，fL,fR是左右2個位移傳感器檢測的氣缸位移，氣缸控制器的輸入為2個氣缸的位移誤差分別是eL和eR,輸出分別是ωL和ωR;協(xié)調(diào)控制器的輸入為eL和eR,輸出為σL和σR；控制系統(tǒng)的控制變量輸出為τL和τR協(xié)調(diào)控制器兩個氣缸誤差分配式如下：

(15)

(16)

式(9)和式(10)中sgn(eL·eR)是符號參數(shù),其表達式如式(11)。Kc是氣缸運動的協(xié)調(diào)比例系數(shù),是氣缸的協(xié)調(diào)加權(quán)系數(shù)，取值范圍為[0,1]。

(17)

由上可得并聯(lián)機械手中兩個氣缸的協(xié)調(diào)運動控制輸出為:

(X=L,R)

(18)

根據(jù)以上分析過程可得到雙氣缸協(xié)調(diào)控制原理圖，如圖3所示。

4.2 正方形軌跡實驗

為了驗證協(xié)調(diào)控制算法的有效性，我們讓并聯(lián)機械手沿正方形軌跡進行運動，機械手末端動平臺運動速度為120 mm/s，通過運動學(xué)正解得出動平臺中心點的運動軌跡如圖4所示，圖5～圖8為對應(yīng)AB，BC，CD，DA軌跡段實跡軌跡與期望軌跡的偏差。

圖3 并聯(lián)機械手協(xié)調(diào)控制原理圖

圖4 方形期望運動軌跡與實際運動軌跡

圖5 AB段實際軌跡與期望軌跡偏差曲線圖

圖6 BC段實際軌跡與期望軌跡偏差曲線

4.3 圓形軌跡實驗

機械手末端動平臺中心點的運動軌跡如圖9中圓形，機械手末端動平臺運動速度為120 mm/s，通過運動學(xué)正解得出動平臺中心點的運動軌跡如圖9所示，圖10為實跡軌跡與期望軌跡的偏差，即實際軌跡對應(yīng)θ角上點到圓心距離與期望圓半徑的差值。

圖7 CD段實際軌跡與期望軌跡偏差曲線

圖8 DA段實際軌跡與期望軌跡偏差曲線

圖9 圓形期望運動軌跡與實際運動軌跡

圖10 圓形實際軌跡與期望軌跡的偏差

通過對并聯(lián)機械手方形軌跡運動和圓形軌跡運動分析，機械手末端動平臺最大運動位置偏差為4 mm，此運動誤差可能是由機械關(guān)節(jié)連接處存在微小間隙引起。

5 結(jié)論

本研究主要研究了一種新型并聯(lián)機器人的機械結(jié)構(gòu)設(shè)計，并分析了機械結(jié)構(gòu)的運動學(xué)正解、逆解與工作空間。針對并聯(lián)機構(gòu)的約束性，設(shè)計了一種協(xié)調(diào)控制算法，并在二自由度并聯(lián)機械臂進行了畫圓與畫方的實驗。

首先根據(jù)三自由度氣動并聯(lián)機器人的機械結(jié)構(gòu)及運動特征得到了機械臂末端的運動學(xué)正解和逆解，并根據(jù)機械結(jié)構(gòu)的約束，對機械臂的運動空間進行了分析；接著以二自由度并聯(lián)機械手為例，對并聯(lián)機構(gòu)的運動協(xié)調(diào)控制算法進行了探究；最后通過有無協(xié)調(diào)控制算法的運動控制實驗，以及圓形軌跡實驗驗證了本研究協(xié)調(diào)算法的有效性。機械結(jié)構(gòu)的設(shè)計與計算為實現(xiàn)三自由度并聯(lián)機械臂提供了依據(jù)，協(xié)調(diào)控制算法的驗證也為后續(xù)設(shè)計三自由度并聯(lián)機械臂協(xié)調(diào)控制算法打下了基礎(chǔ)。

協(xié)調(diào)控制算法目前只是針對二自由度機械臂的協(xié)調(diào)控制，還沒有設(shè)計針對三自由度并聯(lián)機械臂的控制算法。三自由度并聯(lián)機械臂相比于二自由度并聯(lián)機械臂，末端運動自由度增加、機械臂間約束增多、運動空間增大，這些導(dǎo)致協(xié)調(diào)控制算法會更復(fù)雜，后續(xù)工作還需要針對三自由度并聯(lián)機械臂設(shè)計協(xié)調(diào)控制算法。