余 麗
(宜春學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 應(yīng)用數(shù)學(xué)研究中心,江西 宜春 336000)
集值優(yōu)化問題的研究離不開有效解,近年來對有效解的研究取得了豐富的成果[1-5].另一方面,集值映射的導(dǎo)數(shù)被相繼引出且廣泛應(yīng)用到優(yōu)化問題的最優(yōu)性條件[6-10].Corley[6]在實賦范線性空間中借助切導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)建立了一階Fritz John必要最優(yōu)性條件.最近,不少學(xué)者相繼研究了二階(高階)最優(yōu)性條件.Jahn等[7]引進(jìn)了二階上圖導(dǎo)數(shù)的概念,建立了集值優(yōu)化的二階必要最優(yōu)性條件.然而,在典型的Kuhn-Tucker型最優(yōu)性條件中,目標(biāo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與約束函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不能分開,為此,文獻(xiàn)[10]引進(jìn)了一種新的二階切上圖導(dǎo)數(shù),并借助該導(dǎo)數(shù)建立了集值優(yōu)化問題弱有效元的二階最優(yōu)性條件.
定義1[11]設(shè)E?X,集值映射F:X→Y稱為在E上是近似C-次類凸的,如果clcone(F(E)+C)是凸的.
定義6[4]設(shè)B為C的基,N(0Y)是Y的零點鄰域基,點y∈M?Y稱為M關(guān)于錐C的強(qiáng)有效點,記為y∈GE(M,C),如果?φ∈Y*, ?U,V∈N(0Y),使得φ[clcone(M-y)∩(U-cone(V+B))]有界.
引理4[1]設(shè)Y為局部凸的拓?fù)湎蛄靠臻g,序錐C是點凸錐,且存在有界基B.如果?≠M?Y,則
GE(M,C)=GE(M+C,C)
引理5[14]Bst具有性質(zhì): 1)Bst≠?; 2)若B是C的有界基,則Bst=intC*.
設(shè)F:X→Y,G:X→Z為集值映射,考慮下面集值優(yōu)化問題(VP)
minF(x), s.t.G(x)∩(-D)≠?,x∈X
s*(y)+k*(z)≥0
(1)
?
(2)
?
(3)
(4)
?-intD(?n>N1)
(5)
由文獻(xiàn)[9]中定理2.1可知:
由假設(shè)φ*(x)在Ω上是近似(C×D)-次類凸的,于是clcone(φ*(Ω)+C×D)是凸的.由凸集分離定理知存在(s*,k*)∈Y*×Z*{(0Y*, 0Z*)}使得
(6)
由clcone(φ*(Ω)+C×D)為錐及(s*,k*)在其上有下界,于是
(s*,k*)(clcone(φ*(Ω)+C×D))≥0
(7)
(8)
由(0Y, 0Z)∈C×D及式(7)得(s*,k*)(φ*(Ω))≥0.即
下面證明s*∈Bst∪{0Y*},k*∈D*.當(dāng)s*≠0Y*時,由式(8)得
因此
?intC*,k*∈(intD)*
(9)
由B是有界基及引理5知s*∈Bst,于是由式(9)得k*∈D*,定理得證.
k*(z″)<0
(10)
另一方面,由已知條件和s*=0Y*,結(jié)合定理1可得:
此與式(10)矛盾,故定理成立.
無界.取k>0,δ>0,令
(11)
s*(un-μn(vn+bn))→-∞
(12)
由式(11)~(12)可知存在一正整數(shù)N,使得
(?n≥N)
(13)
特別有tN>0且
(14)
(15)
且
此與式(15)矛盾,故定理得證.