李敏, 趙東霞, 毛莉

(中北大學(xué) 理學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)科部，山西 太原 030051)

小世界網(wǎng)絡(luò)是介于規(guī)則網(wǎng)絡(luò)與隨機網(wǎng)絡(luò)之間的一種網(wǎng)絡(luò)形式,通常在規(guī)則網(wǎng)絡(luò)中引入隨機不相鄰節(jié)點之間的長聯(lián)接獲得.近年來的一些研究結(jié)果表明,在時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中引入一個小世界聯(lián)接能給系統(tǒng)帶來復(fù)雜的動力學(xué)影響,分析小世界聯(lián)接強度對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響具有重要的理論與實際應(yīng)用價值[1-6].文獻(xiàn) [7-8] 表明帶有小世界聯(lián)接的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)更容易被鎮(zhèn)定,文獻(xiàn) [9-10] 表明小世界聯(lián)接是控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性、hopf分叉以及混沌等動力學(xué)行為的一個簡單有效的“開關(guān)”.如果小世界聯(lián)接的數(shù)目增加為兩個甚至更多,那么系統(tǒng)的動力學(xué)行為將表現(xiàn)出更為豐富的性質(zhì),基于此,本文建立帶有兩個小世界聯(lián)接的時滯環(huán)形神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng),采用Lyapunov方法研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性和參數(shù)條件,探究系統(tǒng)的動力學(xué)行為以及小世界聯(lián)接權(quán)值對時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響.

1 模型建立及系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

本文研究如下帶有兩個小世界聯(lián)接的四神經(jīng)元時滯環(huán)形神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)(見圖1):

(1)

其中,xi(t)表示第i個神經(jīng)元在t時刻的響應(yīng),k>0表示神經(jīng)元的增益,f(u)=tanh(u)是神經(jīng)元的激活函數(shù),τ>0表示神經(jīng)元之間信息傳遞的時滯值,bij表示第i個神經(jīng)元與第j個神經(jīng)元之間的聯(lián)接權(quán)值,它所構(gòu)成的方陣B為:

(2)

其中,c1=b31≠0、c2=b24≠0表示小世界聯(lián)接強度.

圖1 具有兩個小世界聯(lián)接的四神經(jīng)元環(huán)狀網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

考慮到雙曲正切函數(shù)的有界性-1

(3)

則有:

(4)

因此,對于充分大的時間T,當(dāng)t≥T>0時,有xi(t)≤Pi.

定理1 如果神經(jīng)元的聯(lián)接權(quán)值bij與增益k滿足如下條件:

Ui=Φi+τMi<0

(5)

那么系統(tǒng)(1)的平凡解是全局漸近穩(wěn)定的,其中

(6)

證明首先構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù):

W=W(x1,x2,x3,x4)=

(7)

則對于x1,x2,x3,x4∈R,W連續(xù)且非負(fù).函數(shù)W對時間的右導(dǎo)數(shù)為:

(-k) [f(x1(t))x1(t)+f(x2(t))x2(t)+f(x3(t))x3(t)+f(x4(t))x4(t)]+

b12f(x1(t))f(x2(t-τ))+b23f(x2(t))f(x3(t-τ))+

b24f(x2(t))f(x4(t-τ))+b31f(x3(t))f(x1(t-τ))+

b34f(x3(t))f(x4(t-τ))+b41f(x4(t))f(x1(t-τ))=

(-k) [f(x1(t))x1(t)+f(x2(t))x2(t)+f(x3(t))x3(t)+f(x4(t))x4(t)]+

b12f(x1(t))[f(x2(t-τ))-f(x2(t))+f(x2(t))]+

b23f(x2(t))[f(x3(t-τ))-f(x3(t))+f(x3(t))]+

b24f(x2(t))[f(x4(t-τ))-f(x4(t))+f(x4(t))]+

b31f(x3(t))[f(x1(t-τ))-f(x1(t))+f(x1(t))]+

b34f(x3(t))[f(x4(t-τ))-f(x4(t))+f(x4(t))]+

b41f(x4(t))[f(x1(t-τ))-f(x1(t))+f(x1(t))]

(8)

f(xi(t))xi(t)≥f2(xi(t)),a2+b2≥2ab

那么(8)式可化為：

(9)

考慮到0≤f′(u)=(tanh(u))′<1,則可對(9)式中的后六項進(jìn)行如下放大：

同理有：

因此有：

(10)

其中,Φi、Qi如(6)式所示，而

(11)

同樣的,再定義如下Lyapunov函數(shù)：

(12)

根據(jù)拉格朗日中值定理以及激活函數(shù)f(u)=tanh(u)本身及其導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)可得：

(13)

D+V(1)≤Φ1f2(x1(t))+Φ2f2(x2(t))+Φ3f2(x3(t))+Φ4f2(x4(t))+

U1f2(x1(t))+U2f2(x2(t))+U3f2(x3(t))+U4f2(x4(t))

(14)

其中,Ui(i=1,2,3,4)如(5)式所示.

綜上可得,當(dāng)U1,U2,U3,U4<0時,D+V<0,那么有V(t)≤V(0).因為x1(t),x2(t),x3(t),x4(t)在[-τ,)上是有界的,所以由(3)式可得在[-τ,)上也是有界的,故得xi(t→)=0.定理得證.

根據(jù)定理1,易得如下與時滯無關(guān)的穩(wěn)定性結(jié)論.

定理2 如果神經(jīng)元的聯(lián)接權(quán)值bij與神經(jīng)元增益k滿足下面的不等式：

(15)

則可定義一個新的時滯值:

(16)

當(dāng)時滯τ滿足0≤τ<τ*時,系統(tǒng)(1)的平凡解是全局漸近穩(wěn)定的.

下面考察兩個小世界聯(lián)接權(quán)值對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響.由(6)式可得：

(17)

顯然有,M1c1=c2=0

Mic1=c2=0

(18)

對于Φi,由(6)式容易看出

-Φic1=c2=0>-Φic1=0或c2=0>-Φi

(19)

綜合(18)和(19)兩式易得：

τ*c1=c2=0>τ*c1=0或c2=0>τ*

(20)

于是可得如下結(jié)論.

定理3 小世界聯(lián)接縮小了時滯τ的全局穩(wěn)定性區(qū)間,且隨著小世界聯(lián)接數(shù)目的增加,時滯τ的全局穩(wěn)定性區(qū)間逐漸變小.

2 數(shù)值仿真

例1

(21)

顯然U1,U2,U3,U4均小于零,那么根據(jù)定理1可得,此系統(tǒng)的平凡解是全局漸近穩(wěn)定的,如圖2所示,其中,初始值分別為x1(0)=1,x2(0)=0.8,x3(0)=0.6,x4(0)=0.5.

圖2 系統(tǒng)(21)平凡解的漸近穩(wěn)定性

此外,計算可得：

而例1中τ=1<τ*,因此根據(jù)定理2,系統(tǒng)(21)的平凡解全局漸近穩(wěn)定.

3 總 結(jié)

采用Lyapunov方法分析了具有兩個小世界聯(lián)接的四神經(jīng)元時滯環(huán)形神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定性,并證明小世界聯(lián)接能夠縮小系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性區(qū)間，該結(jié)果可以推廣到具有n個神經(jīng)元的時滯環(huán)狀網(wǎng)絡(luò)中.