賀小龍，張立民，魯連濤，羅天洪

(1.重慶文理學院 機電工程學院，重慶 402160; 2.西南交通大學 牽引動力國家重點實驗室, 成都 610031)

牽引變壓器是高速列車車下的關鍵設備。因其自身質量大，自帶復雜激勵源，極易與高速列車車體產生耦合振動等特點，其懸掛參數(shù)的設計一直是國內外學者研究的重點。比如Luo等[1]基于車輛的有限元模型研究了車下設備的懸掛位置、頻率和設備的質量對車體模態(tài)的影響，通過傳遞函數(shù)研究了設備的懸掛參數(shù)和車體模態(tài)頻率的匹配關系;Sun等[2]建立了剛柔耦合的車輛-設備耦合系統(tǒng)模型，并基于協(xié)方差的方法分析了車下設備對車輛乘坐舒適性的影響，并研究了設備懸掛參數(shù)和車輛的運行速度對乘坐舒適性的提高的積極作用;Dumitriu[3]在考慮單個設備與車體耦合的情況下研究了車輛系統(tǒng)振動特性；Sun等[4]從理論上研究了車下設備對車體振動傳遞特性的影響，定義了車體的名義垂向一階彎曲模態(tài)頻率，并結合數(shù)值計算、振動傳遞分析與模態(tài)試驗，分析了車下設備懸掛參數(shù)對車體模態(tài)頻率的影響機理，并提出將車下設備設計為動力吸振器可以有效抑制車體在垂向彎曲頻率處的振動思路；同時研究了車下設備的懸掛靜擾度對車輛運行平穩(wěn)性及設備本身的影響，并基于隔振理論對設備懸掛的靜擾度值進行了確定[5-6]。為了降低車體的彈性振動，石懷龍等[7-8]將車體考慮成彈性歐拉梁，基于動力吸振原理對多個車下設備的最優(yōu)懸掛頻率進行了設計，同時研究了不同設備懸掛頻率、聯(lián)接阻尼、質量和安裝位置條件下的車體振動分布規(guī)律；吳會超等[9]建立了車輛設備的剛柔耦合模型，研究了設備剛性吊掛與彈性吊掛對車體振動的影響，確立了車下設備彈性懸掛參數(shù)與車體結構之間的匹配關系。

從以上研究成果可以看出，目前國內外學者對車下設備的懸掛參數(shù)設計有了一定的研究，且形成了初步的設計理論，但是還遠遠不能滿足我國高速動車組的設計的需求。目前對于車下設備懸掛參數(shù)設計主要依據(jù)既有工程經驗和消極隔振理論進行，并未考慮車輛系統(tǒng)具體結構、運營環(huán)境、結構參數(shù)等因素的影響，未形成成熟的設計理論體系、設計規(guī)范和行業(yè)標準。對此，本文在研究了車輛設備耦合振動機理的基礎上，分析了車輛系統(tǒng)濾波效應對車輛振動的影響，并考慮將變壓器懸掛頻率設計為與車輛濾波頻率重合來設計變壓器懸掛頻率，最后利用數(shù)值積分法驗證車體彈性振動的衰減效果。本文的研究結論可以為車下大質量設備的懸掛參數(shù)設計提供思路。

1 車輛設備系統(tǒng)建模

考慮車體的彈性振動對于研究車輛系統(tǒng)振動特性顯得尤為必要[10]。文中對所建立的車輛設備系統(tǒng)模型模態(tài)進行了一定縮減，以減少計算量，模型中考慮了車體帶有阻尼元件和彈性元件的二系懸掛系統(tǒng)。同時車輛的構架及其附屬部件均被忽略，并且將二系懸掛位置考慮成軌道不平順輸入的兩個點。令前、后轉向架的垂向位移輸入分別為Zf、Zr，車輛模型示意圖如圖1所示。

(a)車輛設備耦合系統(tǒng)

(b)車體三階模態(tài)圖1 車輛設備耦合系統(tǒng)以及模態(tài)Fig.1 Vehicle equipment coupling system

其中以車體的沉浮(p1)、點頭(p2)、彎曲(p3)來描述車體的運動，以設備的沉浮(p4)、點頭(p5)來描述設備的運動。模態(tài)坐標可以描述為[11]

pT=[p1p2p3p4p5]

(1)

車輛系統(tǒng)的運動可以描述為以下運動微分方程

(2)

車輛系統(tǒng)質量矩陣表述為

式中：Mc,Jc,Mb,Me,Je分別為車體的質量、點頭轉動慣量、車體彎曲的模態(tài)質量、設備的質量以及設備轉動慣量。定義kzc為單個構架二系懸掛剛度，kb為車輛的抗彎剛度，czc為單個構架二系懸掛阻尼，cb為車輛的結構阻尼，kzc,czc分別為設備懸掛剛度和懸掛阻尼。車輛系統(tǒng)的剛度矩陣、阻尼矩陣分別為

d為車輛定距，Zb1,Zb2分別為車體二系支撐處車體的垂向位移，Zb3為變壓器懸掛處車體的垂向位移。因軌道不平順引起的車體垂向位移分別為zf,zr，此時二系懸掛與車體作用力分別為

(3)

車體上任意一點的垂向振動響應Zk可以由車體的三階模態(tài)疊加而成，且有

Zk=p1+bkp2+Zbkp3

(4)

式中:bk和Zbk分別為二系懸掛位置與車體中部的縱向距離和車體沿縱向任意點垂彎模態(tài)位移。式(4)可以表述為

Zk=Λkp

(5)

式中:Λk為模態(tài)坐標p與車體垂向位移相關聯(lián)矩陣，且有

Λk=[1bkZbk]

(6)

為了快速得到車體在受到軌道不平順激勵時車體的垂向振動響應，采用如下坐標形式

p=Uq

(7)

式中:U為無阻尼系統(tǒng)的模態(tài)矩陣;q為模態(tài)陣型向量，式(7)可以轉換為

qT=[q1q2q3q4q5]

(8)

式(1)中的向量p為無支撐車體模態(tài)向量，式(8)中q為車體彈性支撐時車體模態(tài)向量。將式(7)代入式(2)中，并通過左乘UT，可以將式(2)中的廣義坐標p進行解耦

(9)

經過轉換，車輛系統(tǒng)運動方程可以表達為

(10)

式中:fi=U(i)TF,U(i)T為第i階模態(tài)向量的轉置表達式。車體的第三階模態(tài)為車體的垂向彎曲模態(tài)，因為其低剛度特性，二系懸掛對車輛的垂向彎曲固有頻率和固有陣型影響微乎甚微。有研究結果表明，考不考慮車體二系支撐對研究車體的垂向彎曲模態(tài)的振動影響可以忽略。通過求解式(9)，車體任意點的響應可以表述為

(11)

(12)

因為車輛系統(tǒng)受到的軌道不平順激勵是一個隨機過程[12]，通常采用功率譜密度函數(shù)描述軌道不平順。車體任意一點k垂向響應Zk的功率譜密度Szk(ω)根據(jù)多自由度系統(tǒng)受隨機激勵計算理論得出

(13)

其中，

為廣義力fm(t)和fn(t)激勵譜矩陣，m，n=1，2，3；

為頻率響應函數(shù)的對角矩陣。此時式(13)可以表述為

(14)

式(14)解釋了廣義力fm(t)和fn(t)廣義力激勵頻譜Sfmfn(ω)如何聯(lián)合作用于車體使車體產生響應。其中廣義力互譜Sfmfn(ω)與輪軌前后激勵互譜存在如下關系

(15)

對于車體的第三階垂向彎曲模態(tài)，Sf3f3(ω)可以描述為

(16)

因為前后輪軌激勵存在時間滯后關系，由此可得前后輪軌激勵力的頻譜存在如下關系[13]

(17)

將式(16)代入式(15)可得

(18)

其中二系前端構架車體連接點所受激勵力表述為

SFfFf(ω)=[k2+ω2c2]SW(ω)

(19)

將式(19)代入式(18)可得給定速度下激勵力的互功率譜函數(shù)。

2 濾波效應分析

對于軌道的幾何濾波效應的研究，文獻[14]對其進行了定義：在與懸掛系統(tǒng)共同作用下，會產生車輛或者車輛某階模態(tài)陣型對軌道某些不平順波長激勵沒有響應的現(xiàn)象，這一現(xiàn)象稱為幾何濾波效應。這種現(xiàn)象在本文所研究的車輛設備耦合系統(tǒng)中，就顯示為軌道激勵譜密度出現(xiàn)連續(xù)的谷值。其中車輛的運行速度僅影響激勵譜的幅值，但是不會改變譜的形狀，隨著車輛運行速度的增加，激擾峰值頻率也逐漸改變，如圖2所示。

圖2 激勵譜隨速度變化趨勢圖Fig.2 The trend chart of excitation spectrum with velocity change

由式(18)可知，要使Sf3f3為零，那么可得

1+cos(ωτ0)=0

(20)

由式(20)可求得車體垂向彎曲振動響應取最小值的頻率條件為

(21)

式中:V為車輛運行速度，km/h；d為車輛定距，m；n=0，1，2，。依據(jù)式(21)可求得濾波頻率隨速度變化趨勢如圖3所示。

圖3 濾波頻率隨速度變化趨勢圖Fig.3 The trend chart of filter frequency variation with velocity

由圖4計算結果可知軌道激勵譜和車輛的頻響函數(shù)是影響車輛振動響應的兩個因素，對于給定的軌道不平順，車輛的速度直接關乎軌道不平順激勵函數(shù)；而牽引變壓器懸掛參數(shù)往往直接影響到車輛的頻響函數(shù)。一般高速列車具有特定的設計運營速度，因此牽引變壓器懸掛參數(shù)成為了對車輛振動特性影響的主要因素。

(a) (b)圖4 不同速度下車體垂向彎曲模態(tài)激發(fā)時響應Fig.4 The response of for different speed

圖5計算了變壓器彈性懸掛時車輛速度250 km/h條件下濾波效應對車體彈性振動的影響。圖中濾波頻率出現(xiàn)在2.0 Hz,5.9 Hz,9.8 Hz,13.7 Hz和17.6 Hz附近。其中牽引變壓器懸掛頻率比變化范圍選取為0.5～2.0。由圖可知，車體的兩階垂彎模態(tài)頻率隨著變壓器懸掛頻率比增加逐漸增加，車體的低階垂彎頻率不會超過車體未懸掛變壓器垂彎頻率。同時對于車體的垂彎振動響應譜，車體在5.9～9.8 Hz內振動出現(xiàn)了峰值，仔細研究發(fā)現(xiàn)在該頻段內不存在濾波頻率，并且激勵能量在該頻段內較大，因此分析車體在該頻段出現(xiàn)的峰值為車體受到較大激勵能量導致的強迫振動。尤其注意到其中當變壓器懸掛頻率比取值0.7時車體低階垂彎模態(tài)頻率正好處于激勵峰值，導致車體垂彎產生大幅振動。同時車體振動在9.8～13.7 Hz內出現(xiàn)較大峰值，而車體的低階垂彎模態(tài)頻率正好處于該頻段范圍內，且濾波效應在該頻段內不存在濾波頻率點，分析可知該現(xiàn)象為車體低階垂彎模態(tài)在輪軌激勵作用下引起車體振動。當變壓器懸掛頻率比為0.5時，車體高階垂彎模態(tài)頻率正好處于濾波頻率處，因此車體在高階垂彎頻率處振幅為零。在其余懸掛頻率比條件下，雖然車體高階垂彎模態(tài)頻率與濾波頻率不重合，但是由于此時輪軌激勵能量較小，車體的高階垂彎模態(tài)振幅基本可以忽略不計。

圖5 不同變壓器懸掛頻率比對車體振動響應(V=250 km/h)Fig.5 The response of vehicle vibration (V=250 km/h)

圖6計算了變壓器彈性懸掛車輛速度350 km/h時濾波效應對車體彈性振動的影響。圖中濾波頻率出現(xiàn)在2.7 Hz,8.2 Hz,13.7 Hz和19.1 Hz附近。其中牽引變壓器懸掛頻率比選取為0.5～2.0，與圖5中所述結果類似，車體的兩階垂彎模態(tài)頻率隨著變壓器懸掛頻率比增加逐漸增加，其中車體低階垂彎頻率不會超過車體未懸掛變壓器垂彎頻率。在車體的垂彎振動響應譜中，車體振動在2.7～8.2 Hz出現(xiàn)了峰值，但振幅較小，分析發(fā)現(xiàn)此時雖然激勵能量較大但是車體低階垂彎模態(tài)頻率不處于該頻段范圍，導致車體在該頻段振幅較小。同時車體振動在8.2～13.7 Hz出現(xiàn)較大振動幅值，此頻率范圍正是車體低階垂彎模態(tài)頻率所處頻段，且輪軌激勵在該頻段具有較大能量，所以車體在該頻段具有較大振幅。在13.7 Hz以上頻率，車體振幅較小，之所以會產生這種現(xiàn)象要么因為車體高階垂彎頻率正好與濾波頻率重合，要么因為輪軌激勵能量較小。

圖6 不同變壓器懸掛頻率比對車體振動響應(V=350 km/h)Fig.6 The response of vehicle vibration (V=350 km/h)

綜合圖5、圖6可知：在低頻范圍車體極易因為激勵能量過大引起車體產生強迫振動；兩種運行速度下，車體的低階垂彎模態(tài)與激勵共同作用導致車體產生較大振動幅值；車體的高階垂彎模態(tài)因為濾波效應或者因為激勵能量過低導致車體在高階垂彎模態(tài)頻率時振幅較小。

根據(jù)以上分析，可以做出以下思考：

(1)既然車體的彈性振動一直是車輛振動控制的重要對象，車輛系統(tǒng)的濾波效應又可以對車體的垂向彎曲振動起到衰減作用，那么可以考慮基于該效應來控制車體彈性振動；

(2)當車輛懸掛諸如牽引變壓器等大質量設備后，車體的垂向彎曲模態(tài)將發(fā)生改變。車體的兩階彈性模態(tài)將對車體振動產生影響，因此可以考慮將懸掛變壓器后的車體兩階垂彎模態(tài)頻率設計為濾波頻率或者盡量靠近濾波頻率，使得車輛的彈性振動得到衰減。

3 基于濾波效應的變壓器懸掛頻率設計

綜合以上分析可知，車輛系統(tǒng)對于車體的彈性振動具有濾波效應，尤其對車體的低階垂彎模態(tài)影響明顯。在變壓器懸掛參數(shù)設計中可以利用這一特性，考慮將車體低階垂彎模態(tài)頻率設計為相應速度下濾波頻率，以此來抑制車體彈性振動，其設計思路如圖7所示。

圖7 變壓器懸掛頻率設計思路Fig.7 Design idea of transformer suspension frequency

以車輛設計時速250 km/h為例，設計牽引變壓器懸掛頻率時考慮將車體的低階垂彎模態(tài)頻率設定為9.8 Hz為宜。根據(jù)之前的變壓器懸掛頻率與車體兩階垂彎模態(tài)頻率變化關系，可以選擇出變壓器的懸掛頻率如圖8所示。

圖8 變壓器沉浮設計頻率Fig.8 Bounce frequency of traction transformer

圖9 變壓器懸掛頻率比取0.92垂彎振動響應Fig.9 Vertical bending response when ratio chose as 0.92

由圖8可知，變壓器懸掛頻率比選擇為0.92時，車輛的低階垂彎頻率正好能與9.8 Hz濾波頻率重合，車體垂彎振動響應如圖9所示。由圖9可知，當牽引變壓器懸掛頻率比取值為0.92時，車體垂向彎曲在10 Hz以內受到的強迫振動幅值除了比變壓器懸掛頻率比取值0.5低以外，比其余條件下振幅略高但是這種差異不大；對于垂彎模態(tài)在10 Hz以上頻段振動幅值，變壓器懸掛頻率比取值0.92具有明顯優(yōu)勢。

為了弄清楚變壓器取值0.92時車體彈性模態(tài)振動的改善，圖10計算了時速250 km/h條件下，車體彈性模態(tài)振動特性。圖中比對了基于濾波效應設計變壓器懸掛頻率條件下車體彈性振動及變壓器振動烈度。由圖可知，當牽引變壓器懸掛頻率比設置為0.92時，車體中部振動無論是舒適度指標還是振動加速度有效值，均有一定的提升。其中變壓器懸掛頻率比取值0.7時車體中部彈性振動最小，但是此時牽引變壓器自身振動烈度也最大，并且超過4.5 mm/s。綜上分析可知，將車體低階垂彎模態(tài)頻率設計為與車輛特定運行速度下的濾波頻率重合能顯著降低車輛的彈性振動。

(a)車體中部振動舒適度指標 (b)車體中部振動有效值 (c)變壓器振動烈度圖10 車體彈性模態(tài)振動特性Fig.10 Elastic vibration characteristics of car body

4 結 論

為了對高速列車牽引變壓器懸掛參數(shù)進行設計，本文提出了一種基于幾何濾波效應的變壓器懸掛參數(shù)設計思路。其研究結論如下：

(1)在低頻激勵時車體極易因為激勵能量過大引起車體產生強迫振動；兩種運行速度下，車體的較大振動主要由車體的低階垂彎模態(tài)與輪軌激勵共同作用引起。

(2)車體的高階垂彎模態(tài)要么因為濾波效應或者因為激勵能量過低導致車體在高階垂彎模態(tài)頻率處振幅較小。

(3)對于設計時速250 km/h高速列車為例，基于濾波效應將變壓器懸掛頻率設置為9.8 Hz，可以顯著衰減車體的彈性振動。