劉知房

（杭州第十四中學(xué),浙江杭州，310000）

1 簡(jiǎn)介

自1992年由Allen等人用麥克斯韋方程組理論推導(dǎo)[1]，并在1994年由實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證[2]之后便開(kāi)始在學(xué)術(shù)界得到廣泛的關(guān)注和深度研究。電磁波攜帶能量和動(dòng)量，動(dòng)量可分成線動(dòng)量和角動(dòng)量，角動(dòng)量又可以分成自旋角動(dòng)量和軌道角動(dòng)量[3]。自旋角動(dòng)量與電磁波的極化有關(guān)[4]，而軌道角動(dòng)量表現(xiàn)為波前圍繞電磁波傳播方向所在的軸旋轉(zhuǎn)，也稱為“渦旋電磁波”。攜帶不同軌道角動(dòng)量的電磁波的波前螺旋狀態(tài)不同。電磁波自馬可尼時(shí)代開(kāi)始既已使用振幅作為信息傳輸手段[5]。其中，頻率表示振幅變化的快慢而相位則表示振幅在什么時(shí)間變化，其用振幅作為信息載體的通信手段至今沒(méi)有變化。電磁波的到底是什么，人們至今對(duì)其認(rèn)識(shí)也只停留在馬可尼時(shí)代。然而，軌道角動(dòng)量，作為一種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，給人們提供了一種新的視角去研究和開(kāi)發(fā)電磁波。作為電磁波攜帶的一個(gè)特殊維度，電磁軌道角動(dòng)量有很多潛在的應(yīng)用。在通信方面，電磁波不同軌道角動(dòng)量之間相互正交，通過(guò)復(fù)用不同的軌道角動(dòng)量，并經(jīng)由同一個(gè)口徑發(fā)射或接收，可以極大提高通信容量。在導(dǎo)航方面，攜帶軌道角動(dòng)量的電磁波的中心能量為零，而兩側(cè)存在能量峰值，其輻射圖呈現(xiàn)倒錐狀，且不同軌道角動(dòng)量電磁波的波束角不同，可以將這些特性與角度等參數(shù)建立聯(lián)系，構(gòu)成新的測(cè)速測(cè)角方法。在探測(cè)方面，軌道角動(dòng)量電磁波的波前呈現(xiàn)螺旋狀，其探測(cè)的目標(biāo)反射特性必定具有新的特性，可以加以研究以彌補(bǔ)常規(guī)雷達(dá)的缺點(diǎn)，而且可以利用軌道角動(dòng)量電磁波進(jìn)行雷達(dá)成像[6]。

本文將分別從數(shù)學(xué)建模、理論推導(dǎo)、仿真計(jì)算三個(gè)方面分別介紹兩種產(chǎn)生方式，并利用電磁仿真軟件對(duì)兩種產(chǎn)生方法進(jìn)行仿真計(jì)算，從而加深對(duì)兩種產(chǎn)生方式的理解和運(yùn)用。

2 數(shù)學(xué)原理

具有軌道角動(dòng)量的電磁波場(chǎng)強(qiáng)可以表示為

其中，ρ表示柱面坐標(biāo)的半徑，z表示探測(cè)平面與發(fā)射源的垂直距離，?表示柱面坐標(biāo)的方位角。對(duì)于平面電磁波來(lái)說(shuō)，在柱坐標(biāo)縱軸z相同時(shí)其相位隨方位角變化是恒定值，即 ei?為一個(gè)常數(shù)，不隨矢徑取向變化改變；而具有軌道角動(dòng)量的電磁波，其相位隨方位角而線性變化，此種電磁波即具有軌道角動(dòng)量。

現(xiàn)有的OAM發(fā)射天線主要有兩種產(chǎn)生方法：天線陣列和螺旋相位板。其結(jié)構(gòu)分別如下圖1中（a）和（b）所示。螺旋相位板等的缺陷在于其模式數(shù)由其實(shí)際形狀決定，無(wú)法變化，只能固定接收一種模式數(shù)的電磁波，不方便使用。而陣列天線法，通過(guò)數(shù)字處理來(lái)對(duì)不同天線接收到的信號(hào)進(jìn)行相移處理再經(jīng)過(guò)合成后得到完整的信號(hào)，因此可以自由控制模式數(shù)，較之前的方法明顯較優(yōu)。

圖1 OAM天線設(shè)計(jì)方式

根據(jù)天線理論，天線陣列的輻射場(chǎng)可以采用方向圖乘積法得到，即：天線陣列總的輻射場(chǎng)等于陣列因子與單個(gè)陣子的輻射場(chǎng)的乘積得到。公式表示如下：

其中Etot表示總的電場(chǎng)輻射圖，Ea表示單個(gè)陣子的電場(chǎng)強(qiáng)度輻射圖，表示全項(xiàng)陣子組成的天線陣列產(chǎn)生的輻射圖。該公式只在陣列中所有陣子都相同時(shí)成立。

為了簡(jiǎn)化，在計(jì)算中，采用點(diǎn)源代替真實(shí)天線尺寸參與陣列因子的計(jì)算。下面計(jì)算OAM天線的陣列因子。如圖2所示，假定N個(gè)各向同性的陣子沿著半徑為a的圓環(huán)等間距的分布在xOy平面上，則歸一化方向圖可以表示如下：

其中，Rn表示第n個(gè)陣子到觀測(cè)點(diǎn)的直線距離，λ表示波長(zhǎng)表示傳播常量表示第n個(gè)陣子的激勵(lì)系數(shù)，In和αn分別表示第n個(gè)陣子的幅度和相位，r表示圓環(huán)陣列的中心到觀測(cè)點(diǎn)的直線距離。

圖2 環(huán)形天線陣列結(jié)構(gòu)

通常對(duì)于r≥a，上述的等式可以近似如下：

假定Rn≈r，我們有：

為了產(chǎn)生模式數(shù)為l的OAM電磁波，第n個(gè)陣子的激勵(lì)相位應(yīng)該具有如下關(guān)系：

因此，由式（6）可以推導(dǎo)如下：

式（8）即為第一類貝塞爾函數(shù)，因此可以表示成如下形式[7]：

式（9）即為圓環(huán)陣列產(chǎn)生OAM電磁波的天線陣列因子。

3 仿真計(jì)算

3.1 Matlab仿真

Matlab中主要是完成對(duì)環(huán)形天線陣列產(chǎn)生OAM電磁波的仿真。其環(huán)形陣列模型如第二節(jié)數(shù)學(xué)模型所示。假定，陣子個(gè)數(shù)為40、陣列半徑為6λ、射頻頻點(diǎn)為35GHz、OAM模式數(shù)為1、接收距離為106λ、檢測(cè)平面為60×60點(diǎn)，得到OAM=+1的電磁波相位和幅度分布圖如圖3所示。

由圖3可以看出，OAM電磁波的能量分布中心存在能量空心，相位呈現(xiàn)螺旋狀分布。因此，OAM電磁波的波束角會(huì)隨著傳輸距離的增加而不斷變大。

圖3 OAM電磁波相位分布和幅度分布

基于式（9）的方向圖函數(shù)，可以用Matlab對(duì)OAM參數(shù)進(jìn)行仿真和優(yōu)化，如圖4所示。隨著OAM模式數(shù)的增大，波束發(fā)散角增大；隨著頻率的增大，波束發(fā)散角減小，但是在陣列口徑和天線陣子數(shù)量固定的情況下，旁瓣隨著頻率的增大而增大。

圖4 不同模式和頻率得到的方向圖

3.2 CST仿真

3.2.1 線天線陣仿真

首先，在CST中構(gòu)建半波振子模型，其直徑為0.003λ、單邊長(zhǎng)度為0.5λ、間隔長(zhǎng)度為0.025λ，其模型如圖5所示。在此基礎(chǔ)上，構(gòu)建8陣子環(huán)形天線陣列。仿真頻點(diǎn)為f = 25 GHz，陣列半徑為R = λ。8個(gè)陣子的饋電依次延時(shí)45o。

圖5 半波振子環(huán)形陣列仿真

由圖5可知，線陣列很好的產(chǎn)生了OAM電磁波。但是，由于采用半波振子，旁瓣較大，且由于半波振子產(chǎn)生的是面包圈裝的方向圖，進(jìn)而導(dǎo)致產(chǎn)生的OAM電磁波波束也是方向相反的兩個(gè)波束。

3.2.2 平板天線陣仿真

平板天線陣子建模如圖6所示。基于該平板天線，構(gòu)建環(huán)形天線陣列，陣列口徑為D = λ，陣子的饋電相位依次延遲45o，仿真頻點(diǎn)為2.4 GHz。仿真得到的3D輻射圖如圖6所示。

由圖可知，8平板陣子構(gòu)建的環(huán)形陣列很好的產(chǎn)生了OAM電磁波。并且，由于平板陣子具有很好的定向性，從而產(chǎn)生的OAM波束也具有很好的定向性，旁瓣較小。

圖6 平板天線陣仿真

為了分析陣列口徑對(duì)OAM電磁波的影響，如圖7所示仿真了天線口徑D = 4λ時(shí)的陣列3D輻射圖。隨著陣列口徑則增大，波束主瓣的張開(kāi)角度減小，但是旁瓣增多。

圖7 8陣子平板天線3D輻射圖，陣列半徑為D = 4λ

4 討論與總結(jié)

以上仿真中，平板天線陣的饋電方式采用的是獨(dú)立饋電，即：每個(gè)陣子單獨(dú)饋電，各個(gè)饋電相位依次設(shè)定為延時(shí)45o。

3.2.3 螺旋相位板仿真

本節(jié)將仿真螺旋相位板產(chǎn)生OAM電磁波的方法。制作螺旋相位板的材料為高密度聚乙烯（HDPE，硬塑料），其中一個(gè)面是平面，另一個(gè)面呈螺旋狀，其螺旋高度隨方位角變化的計(jì)算公式為[8]：

根據(jù)（10）式可以得到最大的螺旋高度差為：

電磁波軌道角動(dòng)量提供了除幅度、頻率、相位、極化之外的額外維度。具有不同OAM模式的電磁波可以復(fù)用傳輸，提高傳輸速率和頻譜效率。通過(guò)天線陣產(chǎn)生OAM電磁波，操作方法簡(jiǎn)單，產(chǎn)生模式靈活可變。然而，由于OAM電磁波具有環(huán)形波束的特點(diǎn)，波束中心能量為零，所以現(xiàn)有可用的傳輸方式多為全空域接收方法，即：接收端將整個(gè)環(huán)形波束全部接收，通過(guò)與發(fā)射端相反的OAM模式的相位進(jìn)行補(bǔ)償恢復(fù)發(fā)射信號(hào)。這種傳輸方式會(huì)導(dǎo)致接收天線陣尺寸隨著傳輸距離而增大，無(wú)法實(shí)現(xiàn)自由空間長(zhǎng)距離傳輸。因此，目前OAM電磁波傳輸多應(yīng)用于光纖通信，這是因?yàn)楣饫w對(duì)光具有全反射特性，可以束縛波束的發(fā)散。若能實(shí)現(xiàn)OAM電磁波在自由空間的長(zhǎng)距離傳輸，特別是OAM電磁波的復(fù)用傳輸，則將極大提高頻譜效率。

其中，φ為方位角（其變化范圍為：0～2π），n表示螺旋相位板材料的折射率，λ為電磁波的波長(zhǎng)。

根據(jù)上述計(jì)算公式在CST仿真軟件中構(gòu)建螺旋相位板模型如圖8所示。同時(shí)為了仿真螺旋相位板的性能，建立了如圖8所示的波紋喇叭天線。喇叭天線口徑處放置螺旋相位板結(jié)構(gòu)如圖8所示。采用螺旋線相位板產(chǎn)生的OAM電磁波3D輻射圖如圖8所示。由圖可見(jiàn)，產(chǎn)生的波束并不對(duì)稱，這是由于采用CST進(jìn)行電磁仿真時(shí)涉及到很多計(jì)算參數(shù)的調(diào)節(jié)以及網(wǎng)格計(jì)算的設(shè)置，特別是對(duì)螺旋相位板中間精細(xì)尺寸的仿真計(jì)算，所以仿真時(shí)，對(duì)于稀薄尺寸的地方應(yīng)該采用較密集的網(wǎng)格提高精度，對(duì)于尺寸較大且比較規(guī)則的地方應(yīng)該采用稀疏網(wǎng)格以減少計(jì)算量，具體設(shè)置還需根據(jù)仿真結(jié)果反復(fù)調(diào)節(jié)。

圖8 螺旋相位板方式產(chǎn)生OAM電磁波