于文靜，余 潔，徐凌宇

(上海大學(xué) 計(jì)算機(jī)工程與科學(xué)學(xué)院，上海 200444)

0 引 言

股票時(shí)間序列是非線(xiàn)性非平穩(wěn)的時(shí)間序列，由于其隨機(jī)因素多，波動(dòng)變化劇烈等特點(diǎn)備受人們的關(guān)注[1]。研究股票時(shí)間序列的復(fù)雜性可以更好地幫助人們了解金融市場(chǎng)的運(yùn)行機(jī)制，并防范風(fēng)險(xiǎn)。樣本熵(sample entropy，SampEn)[2]是一種很流行的度量時(shí)間序列的復(fù)雜性方法，由Richman和Moorman于2000年提出，是對(duì)近似熵(approximate entropy，ApEn)[3]的一種改進(jìn)。在過(guò)去的幾十年里，樣本熵被成功應(yīng)用在降雨時(shí)間序列、腦電信號(hào)、振動(dòng)信號(hào)[4-6]等方面。

然而，在區(qū)分健康信號(hào)和患病信號(hào)時(shí)，以及衡量替代數(shù)據(jù)和真實(shí)數(shù)據(jù)之間的復(fù)雜度大小時(shí)，樣本熵得到的結(jié)果和人們認(rèn)為的復(fù)雜度是截然相反的。Costa[7]認(rèn)為產(chǎn)生這個(gè)問(wèn)題的原因可能是沒(méi)有考慮生理信號(hào)的多重尺度，因此提出了多尺度熵。比較兩條時(shí)間序列的復(fù)雜度時(shí)，需要比較兩個(gè)序列在各個(gè)尺度上的樣本熵大小，最后綜合給出兩條序列的復(fù)雜度大小。隨后，提出了多種改進(jìn)的多尺度樣本熵[8-11]并廣泛應(yīng)用于各領(lǐng)域。但是，多尺度的過(guò)程實(shí)際上破壞了原有序列的結(jié)構(gòu)，得到的多個(gè)結(jié)果在比較復(fù)雜度時(shí)難免會(huì)產(chǎn)生誤解。

為了解決樣本熵的熵值大小和序列的真實(shí)復(fù)雜度無(wú)關(guān)的問(wèn)題，考慮從樣本熵度量時(shí)間序列復(fù)雜性的原理入手。通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)循環(huán)序列的樣本熵都是0，也就是說(shuō)對(duì)于規(guī)則性序列，樣本熵的值是最小的。但是對(duì)于不同循環(huán)序列的循環(huán)結(jié)構(gòu)的構(gòu)成也就是循環(huán)體結(jié)構(gòu)中向量組成的復(fù)雜度都是不一樣的，樣本熵卻給這些規(guī)則的但循環(huán)體結(jié)構(gòu)完全不同的序列以最小的且相同的復(fù)雜度。另外，樣本熵在計(jì)算時(shí)間序列中向量的相似性時(shí)，沒(méi)有考慮這些向量在時(shí)間序列中的時(shí)間屬性，所以只要兩個(gè)向量的模式是相似的，則兩個(gè)向量就是相似的，沒(méi)有考慮這兩個(gè)向量在時(shí)間序列中的分布情況。因此，從這兩個(gè)角度出發(fā)，文中在樣本熵的基礎(chǔ)上提出了二維熵。

1 二維熵方法

二維熵參數(shù)用N，m，r表示。其中，N為序列長(zhǎng)度，m為維數(shù)，即重構(gòu)向量時(shí)向量的長(zhǎng)度，r為相似容限。具體算法如下：

設(shè)原始時(shí)間序列u(i)為由N個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的序列，根據(jù)預(yù)先設(shè)定的嵌入維數(shù)m將原始時(shí)間序列重構(gòu)成一組m維向量，每個(gè)向量代表從第i個(gè)點(diǎn)開(kāi)始連續(xù)的m個(gè)u的值：

2,…,N-m+1

(1)

(2)

(3)

(4)

然后計(jì)算每個(gè)向量和其他向量相似可能性的平均概率的和，并除以序列中m維向量的總數(shù)，得到m維向量的自相似的概率，記為Bm(r)。

(5)

將維數(shù)m增加1，重復(fù)上述步驟，得到Bm+1(r)。

二維熵在計(jì)算時(shí)間序列的復(fù)雜度時(shí)不僅考慮新信息的產(chǎn)生率還考慮向量自相似程度，故二維熵的計(jì)算模型如下：

(6)

(7)

根據(jù)Pincus[12]建議，二維熵與互二維熵在計(jì)算時(shí)m設(shè)為2，r為0.2×SD，SD為時(shí)間序列的標(biāo)準(zhǔn)差。

2 二維熵的有效性驗(yàn)證

這一節(jié)用Logistic映射對(duì)模型進(jìn)行驗(yàn)證。Logistic映射是一個(gè)著名的例子[13-14]，在數(shù)學(xué)上表示為：

xi+1=axi(1-xi)

(8)

其中，xi是0與1之間的一個(gè)實(shí)數(shù)，控制參數(shù)a是一個(gè)正的參數(shù)。

在模擬實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，選取參數(shù)a∈[3.5, 4.0]，序列的長(zhǎng)度設(shè)置為1 000，以生成不同的序列。當(dāng)a=3.5時(shí)，產(chǎn)生周期性序列，當(dāng)a∈[3.6, 4.0]時(shí)，序列的復(fù)雜度隨著a值的增大而增大。

圖1是a∈[3.5, 4.0]時(shí)產(chǎn)生的不同序列在r從0.1以0.01的步長(zhǎng)增大到0.25時(shí)的二維熵曲線(xiàn)圖。從圖中可以看出，二維熵熵值的大小和參數(shù)a所代表的序列的復(fù)雜度是一致的，同時(shí)在r變化時(shí)，二維熵能夠保持一致性。

圖1 不同復(fù)雜度的Logistic序列的熵值曲線(xiàn)

(a)二維熵

(b)樣本熵

圖2是當(dāng)a=3.5時(shí)，產(chǎn)生長(zhǎng)度從100以步長(zhǎng)100增長(zhǎng)到2 000時(shí)的Logistic序列的樣本熵和二維熵曲線(xiàn)。當(dāng)a=3.5時(shí)，Logistic產(chǎn)生的序列具有周期性。從圖2(a)可以看出，隨著序列長(zhǎng)度的增加，二維熵的值先增加后保持平穩(wěn)。而圖2(b)樣本熵的值在不同長(zhǎng)度下，熵值都為0。

這是因?yàn)闃颖眷卦诙攘繒r(shí)間序列的復(fù)雜度時(shí)，對(duì)于周期性或規(guī)則性序列，樣本熵的值就會(huì)為0，無(wú)法根據(jù)不同周期序列的結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性判斷序列的復(fù)雜性。而二維熵則會(huì)根據(jù)不同周期序列的結(jié)構(gòu)復(fù)雜性給出不同的二維熵值大小。當(dāng)a=3.5時(shí)產(chǎn)生的不同長(zhǎng)度的Logistic序列之間的差異只是長(zhǎng)度，循環(huán)結(jié)構(gòu)體是一樣的。只是當(dāng)時(shí)間長(zhǎng)度小時(shí)，得到的結(jié)果會(huì)存在一點(diǎn)誤差，當(dāng)序列的長(zhǎng)度足夠長(zhǎng)時(shí)，誤差造成的影響就可以忽略不計(jì)。

這兩個(gè)實(shí)驗(yàn)證實(shí)了二維熵在衡量時(shí)間序列復(fù)雜度上的有效性，并且它優(yōu)于樣本熵，且得到的結(jié)果和真實(shí)復(fù)雜性是一致的。

3 實(shí)證研究

接下來(lái)用二維熵以及互二維熵研究股票市場(chǎng)在金融危機(jī)前后時(shí)間內(nèi)的復(fù)雜性和不同市場(chǎng)之間的異步性。利用美國(guó)道瓊斯工業(yè)平均指數(shù)(DJI)、香港恒生指數(shù)(HSI)、上證綜合指數(shù)(SCI)和深圳成分指數(shù)(SZCI)[15]從2006年1月1日到2010年12月31日的收盤(pán)價(jià)時(shí)間序列進(jìn)行實(shí)證研究。這些數(shù)據(jù)來(lái)自雅虎財(cái)經(jīng)：https://hk.finance.yahoo.com/。這四條股指在這段時(shí)間的收盤(pán)價(jià)序列如圖3所示?？梢钥闯觯鹑谖C(jī)發(fā)生后一段時(shí)間(400～800天)，這四條股指的收盤(pán)價(jià)的價(jià)格都大幅下降。

首先研究這4條股指在不同時(shí)間段的復(fù)雜性大小，每?jī)砂偬煲欢?，?jì)算這四只股指在不同段的二維熵的大小曲線(xiàn)，如圖4所示。第一段0～200可以看成是金融危機(jī)前期正常股價(jià)波動(dòng)期；第二段201～400為金融危機(jī)前股價(jià)上升劇烈期；第三段400～600為金融危機(jī)發(fā)生期；第四段600～800為市場(chǎng)調(diào)節(jié)期；第五段800～1 200為市場(chǎng)正常期。

從圖4可以看出，美國(guó)道瓊斯工業(yè)平均指數(shù)和香港恒生指數(shù)兩個(gè)股指以及上證綜合指數(shù)和深圳成分指數(shù)兩個(gè)股指之間在不同時(shí)間段的復(fù)雜度趨勢(shì)是一致的。同時(shí)可以看出，當(dāng)收盤(pán)價(jià)價(jià)格在一開(kāi)始波動(dòng)上升期，也就是在第二段時(shí)間內(nèi)時(shí)，這四只股指的二維熵的大小都是相對(duì)其他時(shí)間來(lái)說(shuō)比較小的。金融危機(jī)后第三段時(shí)間，這段時(shí)期是這四只股指價(jià)格波動(dòng)最大的時(shí)期，這四只股指的二維熵的值也是相對(duì)比較大的。第四段時(shí)期，美股道瓊斯工業(yè)平均指數(shù)和香港恒生指數(shù)的二維熵值降到最小值，而中國(guó)的上證綜合指數(shù)和深圳成分指數(shù)的二維熵增加到一個(gè)相對(duì)高的值，因?yàn)橹袊?guó)政府對(duì)市場(chǎng)具有一定的調(diào)控作用，導(dǎo)致復(fù)雜度相對(duì)來(lái)說(shuō)依然很大。隨后市場(chǎng)開(kāi)始恢復(fù)，直到第六段時(shí)間，各個(gè)股指的二維熵復(fù)雜性相對(duì)大小恢復(fù)到第一段時(shí)間段的大小，也就意味著市場(chǎng)趨于正常。

圖3 DJI、HIS、SCI和SZCI從2006到2010年的日收盤(pán)序列

圖4 DJI、HIS、SCI、SZCI在不同時(shí)間段的二維熵曲線(xiàn)

最后用互二維熵來(lái)衡量這四只股指的異步性，如圖5所示。可以看出，每只股指和自身的互二維熵值是最小的，也就是說(shuō)股指本身的價(jià)格趨勢(shì)和自己的異步性是最小的。除此之外DJI和HSI的異步性，HSI和SZCI的異步性以及SCI和SZCI之間的異步性也是相對(duì)來(lái)說(shuō)比較小的?？偟膩?lái)說(shuō)，中國(guó)市場(chǎng)的兩只股指的異步性相對(duì)于其他股指的異步性要小，美股的異步性和港股的異步性要比中國(guó)市場(chǎng)的股指的異步性小，這是由于不同的市場(chǎng)環(huán)境造就的結(jié)果。

圖5 DJI、HIS、SCI、SZCI的互二維熵曲線(xiàn)

4 結(jié)束語(yǔ)

在樣本熵的基礎(chǔ)上提出了一種新的度量時(shí)間序列復(fù)雜度的方法，二維熵。該方法在度量時(shí)間序列復(fù)雜度時(shí)考慮了序列結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，所以對(duì)于循環(huán)規(guī)則序列二維熵能夠根據(jù)它們循環(huán)體結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性判斷序列的復(fù)雜性，并在二維熵的基礎(chǔ)上提出了互二維熵來(lái)度量時(shí)間序列的異步性。接著用Logistic映射產(chǎn)生的不同復(fù)雜度的序列來(lái)證明二維熵的有效性。最后用這兩種熵測(cè)量的方法來(lái)度量DJI、HIS、SCI、SZCI四只股指在金融危機(jī)發(fā)生前后股指的復(fù)雜性以及這幾個(gè)股指之間的關(guān)系。