白顯中 李 浩

(華南理工大學(xué)土木與交通學(xué)院，廣東 廣州 510640)

1 概述

結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化是指在一定的約束條件下，改變結(jié)構(gòu)的布局，從而使結(jié)構(gòu)某種性能能夠達到最優(yōu)。目前結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化方面的研究大部分是以靜力荷載為主，在動力荷載方面的研究相對較少。實際生活中，結(jié)構(gòu)大部分都受風(fēng)荷載、地震荷載等隨機動力荷載的影響，所以研究隨機動力荷載下結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化設(shè)計具有現(xiàn)實意義。

近年來，蘇成、徐瑞[1]通過時域的角度，針對于非平穩(wěn)的隨機荷載下結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)提出了時域顯示法表達式，這種方法針對大型的復(fù)雜結(jié)構(gòu)在隨機荷載下求解結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的過程中有較好的計算效率。洪晨[2]在上述研究的基礎(chǔ)上結(jié)合振型分解法提出了隨機荷載下結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)，大大降低了計算效率，并采用振型加速度法對于高階頻率進行修正，保證了精確性。陳太聰、蘇成等[3]在時域顯示的基礎(chǔ)上，提出了隨機動力響應(yīng)靈敏度高效的時域顯示表達式。

因此，本文以結(jié)構(gòu)位移方差響應(yīng)為約束，總體積最小為目標建立拓撲優(yōu)化模型，結(jié)合全局移動漸近線收斂法(GCMMA)[4]求解平面框架的結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化。

2 結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)及靈敏度分析

2.1 結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的時域顯示表達式

n維自由度的連續(xù)體結(jié)構(gòu)在隨機動力下的方程式如下：

(1)

通過文獻[1]可知，第i時刻結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)的時域顯示表達式為：

Y(ti)=BiRi

(2)

式中:

(3)

其中，[Aa,iAa,i-1…Aa,1]為只與結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)的系數(shù)矩陣。

考慮隨機荷載的過程中，往往需要從某些關(guān)鍵自由度上進行二階矩的分析。某個自由度在第i時刻的結(jié)構(gòu)位移方差響應(yīng)的表達式為：

cov(yi,yi)=ψBicov(Ri,Ri)(ψBi)T

(4)

其中，ψ為由0和1組成的定位向量。

2.2 結(jié)構(gòu)動力靈敏度的時域顯示表達式

由上節(jié)可知，通過時域的角度來解決結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)，同理可得，結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的靈敏度時域顯示表達式。假設(shè)θ是結(jié)構(gòu)優(yōu)化的設(shè)計變量，把式(1)兩端同時對θ求偏導(dǎo)，整理后可以得到表達式：

(5)

式(5)與式(1)相對比，只是右端的荷載項不同，式(5)可以類比為動力方程，同理可知，第i時刻結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)靈敏度的時域顯示表達式為：

(6)

結(jié)合結(jié)構(gòu)位移方差響應(yīng)在二階矩的分析，同理可得，在時間周期T內(nèi)關(guān)鍵自由度位移方差最大值的靈敏度表達式如下：

(7)

3 拓撲優(yōu)化模型

本文的拓撲優(yōu)化模型是以結(jié)構(gòu)頂部中點水平方向的位移方差響應(yīng)為約束，結(jié)構(gòu)所需的總體積最小為目標，其表達式如下：

(8)

find:0

4 數(shù)值算例

(9)

其中，ωg為過濾頻率；ζg為過濾阻尼比，取0.64；S0為譜強度因子，取0.001 9 cm2/s3。

本文主要研究不同ωg參數(shù)下隨機動力荷載對平面框架結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化設(shè)計的影響，ωg分別取2π rad/s,5π rad/s,8π rad/s所得的拓撲優(yōu)化結(jié)果如圖2所示。

5 結(jié)語

本文采用了以結(jié)構(gòu)位移方差響應(yīng)為約束，總體積最小為目標的拓撲優(yōu)化模型，采用時域顯示表達式來表現(xiàn)動力下結(jié)構(gòu)的響應(yīng)及其靈敏度，并結(jié)合了全局移動漸近線收斂法(GCMMA)求解平面框架的結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化，通過改變隨機荷載參數(shù)中的過濾頻率ωg對平面框架結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化的影響。為了直觀表達，以結(jié)構(gòu)體積最小為目標。由圖2可知，對于不同的過濾頻率ωg所得到的拓撲優(yōu)化結(jié)果也不相同。結(jié)構(gòu)及其他參數(shù)一定時，過濾頻率ωg越小優(yōu)化結(jié)果所需材料越少，即對于結(jié)構(gòu)的影響也越小。而且可以發(fā)現(xiàn)三層框架結(jié)構(gòu)下，底層所需的材料比頂層所需的材料要多。經(jīng)過拓撲優(yōu)化后的結(jié)果也比較合理，對于不同外荷載下結(jié)構(gòu)的材料也達到了節(jié)省，對于今后實際工程中所需的優(yōu)化設(shè)計有了一個實際的參考意義。