王永健，馮寶林，殷 磊

(1.中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)，安徽 合肥 230026； 2.中國科學(xué)院合肥物質(zhì)科學(xué)研究院，安徽 合肥 230031)

0 引 言

在機(jī)器人的運(yùn)動過程中，當(dāng)障礙物的尺寸顯著大于機(jī)器人的自身尺寸時，目前地面移動機(jī)器人的諸多運(yùn)動形式會由于地形障礙而失效。而跳躍機(jī)器人得益于其自身的運(yùn)動特點(diǎn)，能夠輕松越過數(shù)倍于自身尺寸的障礙物，具有超強(qiáng)的越障能力，是解決上述問題的有效方法，在星際探測、軍事偵察及災(zāi)難搜索等領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景[1-2]，同時由于其運(yùn)動靈活，移動速度快等特點(diǎn)，跳躍機(jī)器人正逐漸成為機(jī)器人領(lǐng)域新的研究熱點(diǎn)。

國內(nèi)外的學(xué)者對于跳躍機(jī)器人已經(jīng)做了大量的研究。1984年MIT的研究人員設(shè)計(jì)出了一種單腿跳躍機(jī)器人[3]，該機(jī)器人類似一個帶彈簧的倒立擺，此后的單腿跳躍機(jī)器人大多采用與此類似的結(jié)構(gòu)。瑞士洛桑聯(lián)邦理工大學(xué)開發(fā)的蚱蜢仿生跳躍機(jī)器人采用并聯(lián)彈性驅(qū)動設(shè)計(jì)，該機(jī)器人的垂直跳躍高達(dá)1.3 m，每4 s可完成一次跳躍[4]；加州大學(xué)伯克利分校的 Haldane D等人利用平面八桿機(jī)構(gòu)模仿夜猴腿部的變機(jī)械增益機(jī)構(gòu)，研制出平均每隔0.58 s就可以進(jìn)行一次高達(dá) 1 m跳躍的Salto 機(jī)器人[5-6]。哈爾濱工業(yè)大學(xué)的王猛設(shè)計(jì)了仿青蛙跳躍機(jī)器人，其后肢采用五桿機(jī)構(gòu)作為腿部主體，大腿位置的機(jī)構(gòu)中并聯(lián)直線彈簧，該機(jī)構(gòu)與青蛙跳躍有相似的力學(xué)規(guī)律[7]。西北工業(yè)大學(xué)的葛文杰等人設(shè)計(jì)了一種基于齒輪—六桿變胞機(jī)構(gòu)的仿袋鼠跳躍機(jī)器人，該機(jī)器人的腿部并聯(lián)有直線彈簧。通過改變齒輪-六桿變胞機(jī)構(gòu)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，該機(jī)器人具有儲能、能量鎖定與釋放、改變儲能大小的功能，因此具有跳躍軌跡的可控性[8]。

筆者以我國常見的灰松鼠[9]為研究對象，對其生物結(jié)構(gòu)和運(yùn)動機(jī)理進(jìn)行分析并建立其跳躍運(yùn)動模型，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)分析。最后模仿灰松鼠的腿部結(jié)構(gòu)，仿生設(shè)計(jì)出一種柔性跳躍機(jī)構(gòu)，并對其進(jìn)行仿真分析。

1 松鼠跳躍機(jī)理及實(shí)驗(yàn)觀測

選擇健康活躍的成年灰松鼠進(jìn)行生物特性實(shí)驗(yàn)，解剖并分析其后腿的結(jié)構(gòu)特征和生理特征，包括骨骼結(jié)構(gòu)、肌肉肌腱的分布、關(guān)節(jié)驅(qū)動等。通過高速攝像系統(tǒng)拍攝并記錄灰松鼠起跳過程中各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角的變化情況，對其起跳階段的腿部運(yùn)動學(xué)特性進(jìn)行分析，解析其運(yùn)動學(xué)特性和肌肉骨骼等的關(guān)聯(lián)，為仿生機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)提供生物學(xué)支撐。

1.1 腿部結(jié)構(gòu)和運(yùn)動機(jī)理

和大多數(shù)跳躍動物類似，松鼠主要依靠其后腿快速蹬地提供跳躍的主要動力，從而獲得所需的起跳速度。松鼠后腿主要包括大腿，小腿和柔性腳等部分，其中，大腿包括大腿骨和附著其上的股肌，小腿包括脛腓骨和與其近似平行的雙關(guān)節(jié)腓腸肌，柔性腳包括跗骨和多節(jié)趾骨。各段骨骼之間通過關(guān)節(jié)連接，肌肉通過肌腱拉動骨骼繞關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動。松鼠后腿的結(jié)構(gòu)如圖1所示。

灰松鼠的跳躍能量主要由股肌收縮提供，股肌及其彈性肌腱組織共同構(gòu)成了串聯(lián)彈性驅(qū)動器，牽引脛腓骨繞膝關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)。灰松鼠腿部的髖關(guān)節(jié)、膝關(guān)節(jié)、踝關(guān)節(jié)及趾關(guān)節(jié)各有一個轉(zhuǎn)動自由度，在起跳過程中，灰松鼠的雙關(guān)節(jié)腓腸肌在跳躍過程中只做等長收縮，不能克服阻力做機(jī)械功，可視為彈性連桿。 考慮松鼠的跳躍運(yùn)動基本上是在豎直平面內(nèi)完成，且在起跳階段，兩只后腿同步協(xié)同運(yùn)動，趾尖始終與地面接觸，且腳趾繞趾尖轉(zhuǎn)動，所以將松鼠的跳躍模型簡化為單足平面運(yùn)動，根據(jù)松鼠腿部各部分的結(jié)構(gòu)和運(yùn)動特征，抽象并建立松鼠跳躍的生物運(yùn)動模型，如圖2所示。

圖1 松鼠后腿的生物結(jié)構(gòu)模型 圖2 松鼠后腿的生物運(yùn)動簡化模型

1.2 關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角測量和生物參數(shù)提取

搭建松鼠跳躍運(yùn)動特征提取平臺，包括標(biāo)尺、光源、高速相機(jī)和圖像分析計(jì)算機(jī)等。利用高速相機(jī)以200幀/秒的頻率對松鼠起跳階段腿部運(yùn)動進(jìn)行拍攝，得到時間間隔5 ms的松鼠起跳階段腿部運(yùn)動圖片，如圖3所示。

圖3 松鼠起跳階段腿部運(yùn)動圖片(部分)

測量圖片中各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角，得到關(guān)節(jié)角度的離散值，通過多項(xiàng)式曲線擬合得到各關(guān)節(jié)角度的變化曲線，如圖4所示。可以看出，在跳躍起始的0～30 ms時間內(nèi)，膝關(guān)節(jié)角度幾乎不變，腳趾與地面的夾角也保持為零，即腳趾與地面保持貼合，踝關(guān)節(jié)和趾關(guān)節(jié)的角度變化范圍均在60°左右，此階段肢體位移變化較小，主要為肌肉儲存能量和調(diào)整起跳姿態(tài)做準(zhǔn)備；30～80 ms時間內(nèi)，股肌迅速收縮，雙關(guān)節(jié)腓腸肌內(nèi)存儲的能量也迅速釋放，各關(guān)節(jié)迅速協(xié)調(diào)展開，使整個身體在較短時間內(nèi)獲得最大的起跳速度。

圖4 關(guān)節(jié)角度的變化曲線

為進(jìn)一步對松鼠跳躍模型進(jìn)行運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)分析，定量地研究松鼠腿部運(yùn)動的各項(xiàng)物理參數(shù)，通過生物解剖提取松鼠腿部的結(jié)構(gòu)參數(shù)，包括各肢體的長度和質(zhì)量，如表1所示。

表1 松鼠后腿的結(jié)構(gòu)參數(shù)

2 跳躍機(jī)構(gòu)建模與分析仿真

對松鼠后腿的機(jī)構(gòu)運(yùn)動模型進(jìn)行運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)分析，獲得其位移、速度、關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩等物理參數(shù)的變化情況，并與實(shí)際生物跳躍模型進(jìn)行對比，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷恼_性。

2.1 運(yùn)動學(xué)建模與分析

根據(jù)松鼠跳躍視頻可知，松鼠的跳躍軌跡在豎直平面內(nèi)，因此，松鼠后腿的各個關(guān)節(jié)均可簡化為自由度為1的轉(zhuǎn)動副。仿松鼠跳躍腿部機(jī)構(gòu)運(yùn)動模型如圖5所示，其中，剛性連桿1～4分別為趾骨1、跗骨2、脛腓骨3及大腿骨4。連桿1繞固定點(diǎn)O轉(zhuǎn)動，連桿1和連桿2之間繞趾關(guān)節(jié)A轉(zhuǎn)動，連桿2和連桿3之間繞踝關(guān)節(jié)B轉(zhuǎn)動，連桿3和連桿4之間繞膝關(guān)節(jié)C轉(zhuǎn)動，D點(diǎn)為髖關(guān)節(jié)。

D-H矩陣法是分析機(jī)器人運(yùn)動常用的一種方法，通過在機(jī)器人的每個構(gòu)件上建立一個固定坐標(biāo)系，用齊次變換矩陣來描述相鄰兩個構(gòu)件之間的位置關(guān)系，再通過各變換矩陣依次相乘得到機(jī)器人的總變換矩陣，從而推導(dǎo)出末端執(zhí)行機(jī)構(gòu)相對于基坐標(biāo)系的位姿，進(jìn)而建立機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)方程?；谒墒笸炔康臋C(jī)構(gòu)運(yùn)動模型，建立跳躍機(jī)構(gòu)的D-H矩陣參考系，如圖5所示。

圖5 松鼠跳躍腿部機(jī)構(gòu)運(yùn)動模型

由圖5中各桿件之間的相對坐標(biāo)系位置關(guān)系可求得，仿松鼠跳躍機(jī)構(gòu)相鄰桿件的坐標(biāo)變換矩陣為：

(1)

(2)

(3)

(4)

跳躍機(jī)構(gòu)的總變換矩陣為：

(5)

其中：(px,py)表示髖關(guān)節(jié)的位置坐標(biāo)，

px=-l4cos(θ1+θ2-θ3+θ4)+l3cos(θ1+θ2-θ3) -l2cos(θ1+θ2)-l1cos(θ1)

py=l4sin(θ1+θ2-θ3+θ4)-l3sin(θ1+θ2-

θ3)+l2sin(θ1+θ2)+l1sin(θ1)

(6)

將表1中的生物結(jié)構(gòu)參數(shù)和圖4中起跳階段關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角數(shù)據(jù)代入求得的機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)表達(dá)式，通過MATLAB編程軟件得到松鼠起跳階段腿部各肢體的運(yùn)動軌跡和髖關(guān)節(jié)的位移變化曲線，如圖6和圖7所示。與松鼠跳躍錄像中的腿部軌跡對比，二者基本相符，證明了運(yùn)動學(xué)分析的正確性。

圖6 腿部運(yùn)動軌跡 圖7 髖關(guān)節(jié)位移曲線

跳躍機(jī)器人的性能與其起跳速度及跳躍高度密切相關(guān)，因此分析跳躍機(jī)構(gòu)的微分運(yùn)動是進(jìn)行運(yùn)動學(xué)分析不可或缺的一項(xiàng)。研究機(jī)器人的微分運(yùn)動最常用的方法是“雅可比矩陣法”，雅可比矩陣表示機(jī)構(gòu)部件隨時間變化的幾何關(guān)系，它可以將各個關(guān)節(jié)的微分運(yùn)動或者速度轉(zhuǎn)化為末端執(zhí)行機(jī)構(gòu)的微分運(yùn)動或速度，即

[D]=[J][Dθ]

(7)

其中：[D]為所求機(jī)構(gòu)或標(biāo)記點(diǎn)的微分運(yùn)動矩陣；[J]為雅可比矩陣；[Dθ]為關(guān)節(jié)的微分運(yùn)動矩陣。

對于仿松鼠跳躍機(jī)構(gòu)，我們以髖關(guān)節(jié)處為研究對象，通過雅可比矩陣求解髖關(guān)節(jié)相對于趾尖的速度，即：

(8)

其中：雅可比矩陣[J]可以由坐標(biāo)變換矩陣求得[10]，對圖4 中通過多項(xiàng)式擬合得到的關(guān)節(jié)角度曲線方程微分，可以得到關(guān)節(jié)的微分運(yùn)動矩陣[Dθ]。通過數(shù)值運(yùn)算得到起跳階段髖關(guān)節(jié)的速度變化曲線，如圖8所示。

圖8 起跳階段髖關(guān)節(jié)速度曲線

從圖8可以看出，整個起跳過程可分為三個階段：在起跳初期(0～20 ms)，髖關(guān)節(jié)速度變化并不明顯，此階段主要為肌肉蓄能及調(diào)整跳躍姿態(tài)做準(zhǔn)備；在起跳中期(20～65 ms),在股肌迅速收縮的驅(qū)動下，各關(guān)節(jié)迅速展開，髖關(guān)節(jié)速度快速增加，獲得足夠大的起跳速度；在起跳末期(65～80 ms)，由于股肌和雙關(guān)節(jié)腓腸肌內(nèi)儲存的能量逐漸釋放，柔性腳趾與地面的接觸面積減小，地面對腿部的反作用力迅速減小，身體不再加速運(yùn)動，而是以穩(wěn)定的起跳速度離開地面，同時調(diào)整起跳姿態(tài)。

2.2 動力學(xué)分析與仿真

采用拉格朗日函數(shù)法建立仿松鼠跳躍機(jī)構(gòu)的動力學(xué)方程，并進(jìn)行動力學(xué)分析與仿真。對于多自由度機(jī)器人的動力學(xué)方程求解，首先計(jì)算連桿和關(guān)節(jié)的動能和勢能來定義拉格朗日函數(shù)，然后對各關(guān)節(jié)變量求導(dǎo)得到關(guān)節(jié)的驅(qū)動力矩。一般多軸機(jī)器人最終的動力學(xué)方程可歸納[10]為：

(9)

通過編程計(jì)算可以得到起跳階段松鼠后腿各關(guān)節(jié)的驅(qū)動力矩的離散值，經(jīng)曲線擬合得到驅(qū)動力矩的變化曲線，如圖9所示。

圖9 跳躍運(yùn)動模型關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩

從圖中可以看出，在起跳的初期階段，膝關(guān)節(jié)的驅(qū)動力矩約為踝關(guān)節(jié)和趾關(guān)節(jié)的2～3倍，表明股肌收縮帶動脛腓骨繞膝關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動，為跳躍運(yùn)動提供了大部分動力；隨著股肌中能量的釋放，膝關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩逐漸減小，此時松鼠主要依靠踝關(guān)節(jié)和趾關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動帶動柔性長腳蹬離地面，達(dá)到所需的起跳速度。

根據(jù)松鼠腿部的骨骼模型，建立如圖10的機(jī)構(gòu)模型，根據(jù)松鼠腿部各部分的生物參數(shù)設(shè)置剛性桿件的屬性，將以上動力學(xué)數(shù)值分析結(jié)果施加在模型的轉(zhuǎn)動鉸鏈上，在Adams軟件中進(jìn)行仿真分析。由分析結(jié)果可以看出，機(jī)構(gòu)的運(yùn)動情況與松鼠的跳躍視頻基本符合，驗(yàn)證了以上運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)分析的正確性，為后續(xù)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)提供參考依據(jù)。

圖10 虛擬樣機(jī)仿真結(jié)果

3 仿生跳躍機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)與仿真

基于松鼠腿部的生理結(jié)構(gòu)體征，從仿生設(shè)計(jì)的角度出發(fā)，用剛性連桿模擬松鼠腿部的骨骼結(jié)構(gòu)，各段連桿通過轉(zhuǎn)動鉸鏈連接；用拉簧模擬雙關(guān)節(jié)腓腸肌，以實(shí)現(xiàn)其儲能和彈性連桿的作用；松鼠的柔性長腳在起跳過程中主要起緩沖及延長離地時間的作用，幫助松鼠以最大速度起跳，可以采用在趾關(guān)節(jié)處設(shè)置扭簧來近似模擬松鼠的柔性長腳，以延長跳躍機(jī)構(gòu)的起跳時間，防止其提前起跳。驅(qū)動器設(shè)置在膝關(guān)節(jié)處，通過小腿相對大腿繞膝關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)跳躍。仿生設(shè)計(jì)的跳躍機(jī)構(gòu)如圖11所示。

圖11 仿松鼠跳躍機(jī)器人模型

將三維模型導(dǎo)入虛擬樣機(jī)仿真軟件Adams中，各關(guān)節(jié)均設(shè)置為單自由度轉(zhuǎn)動鉸鏈，定義跳躍機(jī)構(gòu)與底板剛性接觸，設(shè)置拉簧的彈性系數(shù)k1=5 N/mm，扭簧的彈性系數(shù)k2=1.5 N·mm/(°)，在膝關(guān)節(jié)處施加扭矩τ=300 N·mm，得到仿真結(jié)果如圖12所示。

圖12 仿松鼠跳躍機(jī)構(gòu)虛擬樣機(jī)仿真

對仿真結(jié)果進(jìn)行分析，得到髖關(guān)節(jié)處的速度曲線，如圖13所示，與圖8中松鼠跳躍的速度分析結(jié)果進(jìn)行對比，兩者的變化趨勢基本相同，驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)模型的可行性及仿生設(shè)計(jì)的合理性。

圖13 仿松鼠跳躍機(jī)構(gòu)運(yùn)動速度曲線

圖14顯示的是仿松鼠跳躍機(jī)構(gòu)離地后的運(yùn)動軌跡，從圖中可以看出，跳躍機(jī)構(gòu)離地后的運(yùn)動軌跡近似為拋物線，最大跳躍高度約40 cm，證明了該跳躍機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)的可行性。

圖14 仿松鼠機(jī)器人跳躍運(yùn)動軌跡

4 結(jié) 論

通過對松鼠后腿的生理結(jié)構(gòu)和運(yùn)動機(jī)理進(jìn)行分析，以松鼠腿部骨骼為基礎(chǔ)建立生物運(yùn)動模型。通過運(yùn)動學(xué)分析，得到起跳階段腿部運(yùn)動軌跡和髖關(guān)節(jié)速度曲線；對模型進(jìn)行動力學(xué)分析，得到各關(guān)節(jié)的驅(qū)動力矩，并在虛擬樣機(jī)中進(jìn)行仿真，為控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)提供依據(jù)。考慮松鼠后腿彈性肌肉和柔性腳在起跳過程中的作用，仿生設(shè)計(jì)一種柔性跳躍機(jī)構(gòu)，通過虛擬樣機(jī)仿真分析，證明該機(jī)構(gòu)能有效模擬松鼠的跳躍特性，為進(jìn)一步研究松鼠腿部變機(jī)械增益機(jī)構(gòu)，提高跳躍運(yùn)動效率奠定基礎(chǔ)。