李 杰, 賈 露

(四川西南航空職業(yè)學(xué)院，四川 成都 610400)

0 引 言

為了滿足技術(shù)發(fā)展的需求，數(shù)學(xué)運(yùn)算機(jī)構(gòu)得到廣泛的應(yīng)用，如：仿圖器、變換器、加法機(jī)構(gòu)、乘法機(jī)構(gòu)等。筆者所研究的積分儀機(jī)構(gòu)也不例外，目的是解決平面內(nèi)曲線的積分問題。本積分儀器[5]巧妙的將連桿、圓盤、滾子、滾輪四者合起來。當(dāng)已知一條曲線在坐標(biāo)系里面的運(yùn)動(dòng)軌跡時(shí)(并不能確定軌跡方程)，要想確定該曲線的積分?jǐn)?shù)值，則可利用本儀器，通過圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)和連桿移動(dòng)的相互之間的耦合，計(jì)算出結(jié)果。該機(jī)構(gòu)具有結(jié)構(gòu)簡單，測量精準(zhǔn)度高，使用方便等特點(diǎn)。

1 積分儀器的結(jié)構(gòu)分析

如圖1所示,整個(gè)機(jī)構(gòu)由連桿、滑塊、導(dǎo)桿、圓盤、滾子和滾輪等組成[1-3]。

圖1 積分儀器結(jié)構(gòu)圖

要求圓盤、滾子和滾輪之間運(yùn)動(dòng)傳遞無滑動(dòng)。根據(jù)平面機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算公式，很容易計(jì)算出該機(jī)構(gòu)的自由度F=2。要得到準(zhǔn)確的輸出，則需連桿尖端沿著曲線的軌跡運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，圓盤做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，此二者相互耦合。最終，滾輪計(jì)算出結(jié)果。

2 積分儀器的原理分析

積分儀的簡圖如圖2所示[3]。設(shè)：圓盤的角速度為ω2，滾子的中心到圓盤軸線的距離為h，滾輪的半徑為R。則圓盤與滾子和滾子與滾輪在接觸點(diǎn)位置的速度大小相等。

圖2 積分儀原理簡圖

滾輪5的角速度ω5為：

(1)

設(shè)：θ5初為滾輪的初始角度；θ5終為滾輪的最終角度；θ2初為圓盤的初始角度；θ2終為圓盤的最終角度。

根據(jù)角度與角速度的關(guān)系得[6]：

當(dāng)距離h與轉(zhuǎn)角θ2無關(guān)時(shí)，利用公式(1)得：

(2)

當(dāng)距離h與轉(zhuǎn)角θ2有關(guān)時(shí)，則：h=h(θ2)，根據(jù)積分原理和公式(1)得：

(3)

積分儀是利用距離h與轉(zhuǎn)角θ2有關(guān)之間的耦合進(jìn)行計(jì)算。如圖3[4]，首先對(duì)曲線建立坐標(biāo)系，橫坐標(biāo)表示角度θ2，縱坐標(biāo)表示垂直方向上的距離h。

圖3 積分儀原理圖

設(shè)曲線的方程為f(θ2)，則h和θ2的關(guān)系式：

h=f(θ2)

(5)

當(dāng)轉(zhuǎn)角為θ21時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值：

h1=f(θ21)

(6)

當(dāng)轉(zhuǎn)角為θ22時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值：

h2=f(θ22)

(7)

根據(jù)公式(3)得：

(8)

通過讀取滾輪的讀數(shù)θ5初和θ5終，就可計(jì)算出曲線的積分?jǐn)?shù)值。

設(shè)：曲線f(θ)的積分為F(θ)，根據(jù)公式(8)得：

(9)

當(dāng)軌跡運(yùn)動(dòng)到θ軸線得下方時(shí)，滾子正好在圓盤軸線得下方，滾子的旋轉(zhuǎn)方向與滾子在圓盤軸線上方相反。

3 應(yīng)用及結(jié)論

(1) 所研究的積分儀原理具有操作簡單，實(shí)用性強(qiáng)等特點(diǎn)，為后續(xù)的研究工作打下基礎(chǔ)，為儀器的實(shí)際運(yùn)用做了理論的鋪墊。

(2) 儀器求積分的問題，可利用到求解傅里葉級(jí)數(shù)中a0系數(shù)的求解。

已知一個(gè)以2π為周期的函數(shù)的軌跡(方程未知)。利用本儀器和傅里葉級(jí)數(shù)a0系數(shù)求解方程便可求得系數(shù)a0：

后續(xù)工作是再同乘法機(jī)構(gòu)和三角函數(shù)機(jī)構(gòu)相結(jié)合，求解出傅里葉級(jí)數(shù)中的an和bn兩種系數(shù)，最終求解出傅里葉級(jí)數(shù)方程。