陳佳璇

[摘要]學(xué)生的錯(cuò)例折射的是教與學(xué)的問題。基于內(nèi)容分析法的視角研究錯(cuò)例，捕捉學(xué)生的認(rèn)知困難，有助于調(diào)整教師的教學(xué)方法。依托典型錯(cuò)例類型及其主要成因，提出教學(xué)的五個(gè)改進(jìn)策略，使教學(xué)活動(dòng)更具有效性。

[關(guān)鍵詞]筆算乘法;錯(cuò)例研究;內(nèi)容分析法

[中圖分類號(hào)]

G623.5

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

[文章編號(hào)] 1007-9068（ 2019）35-0055-02

聯(lián)合國(guó)教科文組織第十九次國(guó)民教育國(guó)際會(huì)議資料中指出：“應(yīng)當(dāng)研究學(xué)生所犯的錯(cuò)誤，并把錯(cuò)誤看成是認(rèn)識(shí)過程和認(rèn)識(shí)學(xué)生數(shù)學(xué)思維規(guī)律的手段?！痹谌绱烁叨说慕逃龂?guó)際會(huì)議中提到了學(xué)生的錯(cuò)誤，錯(cuò)例研究的價(jià)值可見一斑。學(xué)生的每一個(gè)錯(cuò)誤都是一次生動(dòng)的提醒，錯(cuò)例折射的是教與學(xué)的問題。教師只有研究錯(cuò)例，了解學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)，才能及時(shí)調(diào)整教學(xué)手段和策略，彌補(bǔ)學(xué)生的認(rèn)知缺陷。因此，典型錯(cuò)例的研究及對(duì)策探討顯得格外重要。

一、研究設(shè)計(jì)

1.研究對(duì)象

主要研究對(duì)象是廣州市海珠區(qū)寶玉直實(shí)驗(yàn)小學(xué)四年級(jí)學(xué)生關(guān)于三位數(shù)乘兩位數(shù)筆算的典型錯(cuò)例。典型錯(cuò)例的“收集卡”（共407份）發(fā)放于學(xué)生上完三位數(shù)乘兩位數(shù)筆算的新授課和練習(xí)課之后。

2.研究方法

采用內(nèi)容分析法，對(duì)407份三位數(shù)乘兩位數(shù)筆算的典型錯(cuò)例的信息內(nèi)容加以歸類、整理、統(tǒng)計(jì)，并進(jìn)行深層次分析，以期歸納出學(xué)生關(guān)于三位數(shù)乘兩位數(shù)筆算的典型錯(cuò)例類型與成因，并據(jù)此提出相應(yīng)的對(duì)策和建議。

3.分析維度

（1）分析繁多的筆算錯(cuò)例存在哪些共性，提煉出筆算錯(cuò)誤的典型類型;（2）對(duì)于不同的錯(cuò)誤類型，探究筆算錯(cuò)誤的主要原因;（3）圍繞筆算錯(cuò)誤的成因?qū)ふ铱尚行暂^強(qiáng)的對(duì)策和建議。

二、研究結(jié)果與討論

1.研究?jī)?nèi)容分析

三位數(shù)乘兩位數(shù)筆算的基本步驟如下：第一步，先用第二個(gè)因數(shù)的個(gè)位乘第一個(gè)因數(shù)，積的末尾對(duì)齊個(gè)位;第二步，用第二個(gè)因數(shù)的十位乘第一個(gè)因數(shù)，積的末尾對(duì)齊十位;第三步，把兩次所得的積相加。另外，因數(shù)末尾有0的豎式有簡(jiǎn)便寫法。

通過對(duì)407份三位數(shù)乘兩位數(shù)筆算的典型錯(cuò)例按出錯(cuò)步驟進(jìn)行整理分類后發(fā)現(xiàn)，筆算第一步出錯(cuò)的占比例較小，為20.88%，第二、三步出錯(cuò)占的比例較大，共計(jì)79.12%。

學(xué)生有著不同的知識(shí)背景和思考角度，他們的差異是客觀存在的。對(duì)同一個(gè)計(jì)算問題，學(xué)生由于認(rèn)知水平和認(rèn)知風(fēng)格的不同，常常會(huì)得出不同的計(jì)算方法以及各異的計(jì)算錯(cuò)誤。然而個(gè)性中存在著共性，錯(cuò)誤主要集中存在于以下幾個(gè)類型。

2.錯(cuò)誤原因分析

從計(jì)算的要求來說，三位數(shù)乘兩位數(shù)在小學(xué)階段是最高難度的乘法運(yùn)算了，學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤也是正常。

分析樣本時(shí)按出錯(cuò)步驟進(jìn)行分類：筆算第一步出錯(cuò)較少，第二、三步出錯(cuò)較多。主要原因是大腦的記憶存儲(chǔ)空間有限，剛開始計(jì)算時(shí)狀態(tài)與思維較為清晰，而隨著筆算的深入進(jìn)行，大腦存儲(chǔ)空間受限，對(duì)存儲(chǔ)知識(shí)的調(diào)動(dòng)卡殼或不流暢。因此在解答結(jié)構(gòu)步驟較簡(jiǎn)單的題時(shí)，正確率比較高，而解答結(jié)構(gòu)步驟較復(fù)雜的題時(shí)容易出錯(cuò)，且更容易出錯(cuò)在解答程序的后半段。這正說明了為什么低年級(jí)學(xué)生計(jì)算的正確率高，而中高年級(jí)學(xué)生計(jì)算的正確率不如低年級(jí)的原因之一。

仔細(xì)分析三位數(shù)乘兩位數(shù)筆算典型錯(cuò)例的具體類型，造成上述錯(cuò)誤的原因主要有以下三個(gè)：

（1）“乘法口訣”與“忽略進(jìn)位”的錯(cuò)誤原因?qū)儆谂f知記憶混亂。在多步計(jì)算時(shí)，中間得數(shù)或者進(jìn)位數(shù)字需要進(jìn)行短時(shí)記憶，而小學(xué)生由于急躁、搶時(shí)間、怕麻煩，使得儲(chǔ)存的信息部分消失或暫時(shí)中斷，造成“記憶性錯(cuò)漏”。

（2）“將兩次乘積相乘”和“積的對(duì)位”錯(cuò)誤的原因?qū)儆谥R(shí)負(fù)遷移。在筆算第一步和第二步時(shí)，學(xué)生熟練地將第二個(gè)因數(shù)的個(gè)位和十位上的數(shù)分別與第一個(gè)因數(shù)相乘，因此也會(huì)形成思維定式，將兩次所得的積相乘。同樣的，在之前筆算加減法的學(xué)習(xí)中，學(xué)生習(xí)慣于在書寫豎式時(shí)“相同數(shù)位要對(duì)齊”，因此容易將第二次乘積的末尾對(duì)齊個(gè)位，以迎合感官上的“對(duì)齊”，導(dǎo)致積的對(duì)位錯(cuò)誤。這種錯(cuò)誤實(shí)質(zhì)上并非概念不清，而是學(xué)生思維定式過強(qiáng)造成的知識(shí)負(fù)遷移。

（3）沒寫“0”占位和積的末尾“0”的個(gè)數(shù)出錯(cuò)的原因?qū)儆谛畔⒏蓴_。在小學(xué)生的自然數(shù)觀念當(dāng)中，“0”代表什么都沒有。在這樣的強(qiáng)信息干擾下，學(xué)生容易產(chǎn)生思維錯(cuò)覺：什么都沒有，即什么也不用寫，或可忽略“0”的個(gè)數(shù)。這正是算理不清晰的表現(xiàn)。對(duì)320x50的算理分析如下，320表示32個(gè)十，50表示5個(gè)十，因此所得的積表示160個(gè)百，所以積的末尾要添2個(gè)“0”。算理若清，則能減少?gòu)?qiáng)信息的干擾。

三、建議與思考

筆者圍繞筆算乘法的典型錯(cuò)例及成因，結(jié)合長(zhǎng)期的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)探析可行性對(duì)策。

1.鋪墊溫舊知

（1）乘法口訣的復(fù)習(xí)：在每堂數(shù)學(xué)課的預(yù)備鈴敲響之后，由班干部組織背誦乘法口訣，重點(diǎn)復(fù)習(xí)6、7、8、9的口訣，并形式多樣化地開展：順著背、倒著背、跳著背，以及開火車、小老師出題搶答等，訓(xùn)練學(xué)生的反應(yīng)能力及熟練程度。在布置作業(yè)時(shí)，可要求學(xué)生在作業(yè)版面的頁(yè)眉、頁(yè)腳處默寫口訣，每天默寫一句。

（2）進(jìn)位加的復(fù)習(xí)。“9加幾”的和，個(gè)位上的數(shù)會(huì)比幾少1，如9+5=14，個(gè)位上的4比5少1，因?yàn)?可以分成1和4，1+9湊整成10，10+4=14。以此類推，學(xué)生就能熟練掌握8、7、6加幾的進(jìn)位加的快速計(jì)算方法。

2.方法巧遷移

在學(xué)習(xí)本單元之前，學(xué)生已掌握了三位數(shù)乘一位數(shù)和兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算。因此，可以利用舊知遷移，讓學(xué)生自主探究三位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算，從而歸納三位數(shù)乘兩位數(shù)的一般方法。充分發(fā)揮學(xué)生原有經(jīng)驗(yàn)的作用，學(xué)生自然對(duì)算理和算法的理解就不會(huì)感到困難。

3.新知妙傳授

向課堂40分鐘要質(zhì)量。例如，在“三位數(shù)乘兩位數(shù)”的筆算乘法的第一課時(shí)中，結(jié)合線段圖（如圖1）引導(dǎo)學(xué)生理解：先用2小時(shí)乘每小時(shí)走145千米，計(jì)算出2小時(shí)的路程;再用10小時(shí)乘每小時(shí)走145千米，計(jì)算出10小時(shí)的路程;最后再把兩部分相加求得12小時(shí)走的路程。進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生思考和理解乘法豎式的計(jì)算及書寫過程，并用朗朗上口的說理活動(dòng)將乘法思路清晰化、外顯化：145x12，先算個(gè)位2x145=290，積的末尾對(duì)齊個(gè)位;再算十位lx145=145，積的末尾對(duì)齊十位;最后把兩次所得的積相加，得145x12=1740。

4.計(jì)算常鞏固

計(jì)算的鞏固練習(xí)要抓住學(xué)生的典型錯(cuò)誤，在糾錯(cuò)中提高學(xué)生的計(jì)算能力。例如，在尊重學(xué)生個(gè)性差異的基礎(chǔ)上，創(chuàng)設(shè)學(xué)生合作交流的平臺(tái)，促其實(shí)現(xiàn)自我優(yōu)化;開展形式多樣的計(jì)算鞏固練習(xí)，如每天早練或微信簽到說理、每周計(jì)算小測(cè)、每單元數(shù)學(xué)小達(dá)人競(jìng)賽、數(shù)學(xué)小講師活動(dòng)等。

在信息化時(shí)代背景下，在班級(jí)微信群開展“微信簽到”交互式的計(jì)算說理活動(dòng)，打造“互聯(lián)網(wǎng)+課堂”的新模式。該活動(dòng)主要記錄學(xué)生作業(yè)中的筆算說理過程。由于語(yǔ)音能長(zhǎng)時(shí)間保存，方便學(xué)生反復(fù)聆聽、學(xué)習(xí)同學(xué)的優(yōu)秀案例，因此能促進(jìn)學(xué)生之間積極、主動(dòng)、個(gè)性化地學(xué)習(xí)，既規(guī)范了學(xué)生數(shù)學(xué)口頭作業(yè)，還為家長(zhǎng)提供了評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)口頭作業(yè)的標(biāo)準(zhǔn)，家長(zhǎng)有“理”可依，家校合作變得更為高效。同時(shí)，教師也能通過導(dǎo)出功能方便快捷地檢測(cè)學(xué)生作業(yè)的完成度。

5.知識(shí)懂應(yīng)用

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基于生活，又高于生活。創(chuàng)設(shè)生活情境導(dǎo)人問題，讓學(xué)生學(xué)習(xí)了筆算方法后解決實(shí)際生活問題，有助于調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性。

如圖2，給出數(shù)學(xué)信息后，由學(xué)生自主提出問題，訓(xùn)練學(xué)生提出問題和解決問題的能力。在求解每一種蔬菜賣出的總價(jià)時(shí)，列出的三位數(shù)乘兩位數(shù)的算式覆蓋面較廣，普通類型、中間有0的類型和因數(shù)末尾有0的類型均能體現(xiàn)。

“錯(cuò)誤人皆有之，作為教師不利用是不可原諒的?！庇?guó)心理學(xué)家貝恩布里如是說?；趦?nèi)容分析法的錯(cuò)例分析能準(zhǔn)確捕捉學(xué)生的認(rèn)知困難，有助于教師反思教學(xué)行為，調(diào)整教學(xué)方法，從而使教學(xué)活動(dòng)更具針對(duì)性和有效性。

（責(zé)編羅艷）