彭 超，溫昶煊，高 揚(yáng)

(1. 中國科學(xué)院空間應(yīng)用工程與技術(shù)中心，北京 100094； 2. 中科院太空應(yīng)用重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100094； 3. 中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100094)

1 引言

地月系統(tǒng)是一個(gè)典型的圓形限制性三體系統(tǒng)，圓形限制性三體問題目前還沒有像開普勒軌道那樣的解析解，研究主要依賴于數(shù)值方法。基于動(dòng)力系統(tǒng)理論的圓形限制性三體問題的平衡點(diǎn)與周期軌道是最早被關(guān)注的問題[1-3]。平衡點(diǎn)即為拉格朗日點(diǎn)，即圓形限制性三體問題中的L1-L5點(diǎn)，已牽引出一系列拉格朗日點(diǎn)空間任務(wù)[4-6]；與此同時(shí)，地月系統(tǒng)圓形限制性三體問題中周期軌道的分析與應(yīng)用研究也早已開展[7-8]，其中軌道周期與月球公轉(zhuǎn)周期接近簡單整數(shù)比的周期軌道被稱為相對(duì)月球的共振軌道[9]。

共振軌道(或軌道共振)的概念最早源于天體力學(xué)研究[10]。它在自然界普遍存在，在行星系中的衛(wèi)星軌道、恒星系中的行星軌道均能夠找到相應(yīng)現(xiàn)象[9]。木衛(wèi)1、木衛(wèi)2與木衛(wèi)3圍繞木星的公轉(zhuǎn)軌道周期呈現(xiàn) 4∶2∶1的比例關(guān)系，該現(xiàn)象稱為拉普拉斯共振(Laplace Resonance)[11]；土星、天王星、海王星等其它類木星行星系中的衛(wèi)星軌道同樣存在類似的軌道共振現(xiàn)象[9-11]；在太陽系中，分布在太陽-木星組成的三體系統(tǒng)拉格朗日點(diǎn)L4、L5附近的特洛伊帶小行星與木星呈現(xiàn)穩(wěn)定的1∶1軌道共振現(xiàn)象，并處于長期穩(wěn)定運(yùn)行狀態(tài)[12]；主帶小行星軌道(半長軸分布在2AU-3AU)空間分布的柯克伍德縫隙(Kirkwood Gap)也源于共振軌道原理，由于與木星呈現(xiàn)3∶1、5∶2、7∶3比例關(guān)系的共振軌道的不穩(wěn)定性，可以清晰地發(fā)現(xiàn)主帶小行星半長軸在2.5AU、2.82AU、2.95AU(分別對(duì)應(yīng)3∶1、5∶2、7∶3共振比)處不再出現(xiàn)[13]。

基于天體共振軌道的基本原理，學(xué)者們?cè)O(shè)計(jì)了航天器共振軌道，并已經(jīng)廣泛運(yùn)用到多次引力輔助任務(wù)設(shè)計(jì)中，還在最近的任務(wù)中充當(dāng)了長期穩(wěn)定的軌道。比如在NASA的外層行星計(jì)劃中(Outer Planets Program)，木衛(wèi)二軌道飛行器在最后階段利用共振軌道連續(xù)兩次飛躍木衛(wèi)二，最后進(jìn)入木衛(wèi)二軌道[14-16]。發(fā)射于2008年的IBEX(Interstellar Boundary Explorer)航天器進(jìn)入地球高軌，但歸因于月球引力攝動(dòng)的影響，任務(wù)軌道無法長周期預(yù)報(bào)；2011年，IBEX航天器轉(zhuǎn)移到一條與月球公轉(zhuǎn)周期成3∶1的穩(wěn)定共振軌道上，現(xiàn)在這顆衛(wèi)星消耗更少的燃料就能維持在穩(wěn)定軌道，使它的工作年限增加到40多年[17-18]。IBEX航天器軌道的成功啟發(fā)人們將共振軌道用作其他方面的空間任務(wù)。NASA于2013年宣布的太陽系外行星觀測(cè)任務(wù)(Transiting Exoplanet Survey Satellite，于2018年4月發(fā)射)中，觀測(cè)衛(wèi)星直接進(jìn)入到長期穩(wěn)定的月球共振軌道以便長期觀測(cè)行星[19]。由此可見，共振軌道有著巨大的應(yīng)用潛力，深刻理解共振軌道的動(dòng)力學(xué)特征對(duì)空間任務(wù)設(shè)計(jì)有著重要意義。

在地月旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下，共振軌道包含環(huán)繞月球與環(huán)繞地球的兩類。本文首先關(guān)注地月空間遠(yuǎn)距逆向軌道(Distant Retrograde Orbit，DRO)，它屬于環(huán)繞月球的共振軌道。在地月旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下，DRO逆行環(huán)繞月球做周期運(yùn)動(dòng)。NASA的小行星重定向任務(wù)曾計(jì)劃將一顆近地小行星捕獲到DRO[20-21]。由于DRO可長期保持穩(wěn)定，放置在DRO的近地小行星能在該軌道維持?jǐn)?shù)百年之久[21-22]，并且小行星能從深空低能量捕獲進(jìn)入DRO[23]。日地系統(tǒng)DRO相關(guān)研究出現(xiàn)更早，Ocampo與Rosborough提出利用日地系統(tǒng)DRO部署天基望遠(yuǎn)鏡的應(yīng)用設(shè)想[24]，Demeyer與Gurl[25]以及Scott與Spencer[26]分別為此研究了轉(zhuǎn)移到日地系DRO的軌道設(shè)計(jì)方法。徐明與徐世杰提出了地月系DRO作為中繼通信的設(shè)想，并研究了轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計(jì)方法[27]。Conte等對(duì)于地火轉(zhuǎn)移采用DRO作為中轉(zhuǎn)站開展了研究[28]。本文同時(shí)關(guān)注另一類環(huán)繞地球的大偏心率共振軌道族(Highly Eccentric Orbit，HEO，3∶1與2∶1共振)。與載人登月所利用的自由往返軌道類似(接近5∶2共振)[29]，HEO同樣可形成自由往返軌道，并可實(shí)現(xiàn)地球高軌與月球附近的自由往返，且HEO(2∶1)可形成拱線進(jìn)動(dòng)的太陽同步狀態(tài)，有利于對(duì)地球磁層與太陽風(fēng)相互作用的觀測(cè)。與DRO相比，HEO(3∶1)與(2∶1)一般都不穩(wěn)定，需要進(jìn)行軌道維持[30]。梁等計(jì)算了地月空間的多邊形周期軌道(Polygonal-Like Periodic Orbit，PLPO，包含HEO(3∶1))，并提出采用霍曼轉(zhuǎn)移實(shí)現(xiàn)入軌的方案[36]。

本文針對(duì)共振軌道的動(dòng)力學(xué)特征，分別從地球與月球附近延拓求解相應(yīng)的周期軌道，并分析地月系統(tǒng)圓形限制性三體模型下月球公轉(zhuǎn)軌道面內(nèi)DRO與HEO兩類共振軌道族及其穩(wěn)定性。從遠(yuǎn)離月球或地球的二體模型中開普勒共振軌道(月球公轉(zhuǎn)周期與軌道周期符合1∶1、2∶1與3∶1的比例關(guān)系)得到圓形限制性三體模型中的兩類周期軌道初值，然后通過延拓“近地點(diǎn)距”得到可接近月球或地球的圓形限制性三體周期軌道族。同時(shí)描述DRO的非開普勒特征與共振特性，澄清不同模型共振軌道的概念，利用軌道周期的變化描述相同共振比對(duì)應(yīng)不同共振軌道的現(xiàn)象，并利用動(dòng)力系統(tǒng)理論對(duì)這兩類周期軌道進(jìn)行穩(wěn)定性分析，基于HEO(2∶1)描述拱線進(jìn)動(dòng)太陽同步軌道概念，并以HEO(3∶1)共振軌道為例估算長期維持所需的速度增量。

2 基本分析模型

圓形限制性三體問題是本文分析共振軌道的基本模型。它是N體問題的一個(gè)特例，假設(shè)慣性空間中只有m1、m2、m3，并且m3的質(zhì)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于m1和m2，m1和m2的運(yùn)動(dòng)不受m3的影響。因此，m1和m2滿足二體問題的結(jié)論，即m1和m2圍繞它們共同的質(zhì)心做圓周運(yùn)動(dòng)，m1和m2的共同質(zhì)心在慣性空間中靜止和勻速直線運(yùn)動(dòng)[4]。如果我們將m3看作人造航天器，m1和m2是兩個(gè)天體，例如地球和月球，就得到了地月系統(tǒng)圓形限制性三體問題。該問題可以在如圖1所示的慣性空間中的一個(gè)旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中研究，坐標(biāo)系的原點(diǎn)位于兩個(gè)天體的共同質(zhì)心，m1和m2圍繞它們共同的質(zhì)心做圓周運(yùn)動(dòng)，其中m1是較大的天體，m2是較小的天體，m3是航天器S/C。

圖1 圓形限制性三體問題示意圖Fig.1 The circular restricted three-body problem

圖1中，較大天體m1到質(zhì)心(坐標(biāo)原點(diǎn))的距離為D1，較小天體m2到質(zhì)心的距離為D2，m1到S/C的距離為r1，m2到S/C的距離為r2。設(shè)距離單位為D(D=D1+D2)，時(shí)間單位為1/n(n為小天體圍繞大天體運(yùn)動(dòng)的角速度)，那么航天器S/C在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中的無量綱動(dòng)力學(xué)方程如式(1)：

(1)

式(1)所示圓形限制性三體動(dòng)力學(xué)方程存在著對(duì)稱性，即由一條標(biāo)準(zhǔn)軌道可映射出兩種鏡像軌道[31]：①與平面對(duì)稱的鏡像軌道；②與軸對(duì)稱的鏡像軌道。與平面對(duì)稱的鏡像軌道是將標(biāo)準(zhǔn)軌道以該平面為對(duì)稱面映射出的一條軌道，該鏡像軌道與標(biāo)準(zhǔn)軌道在垂直于對(duì)稱面的分量互為相反數(shù)。與軸對(duì)稱的鏡像軌道是將標(biāo)準(zhǔn)軌道以該軸為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)180°而獲得的一條軌道，該映射軌道在垂直于旋轉(zhuǎn)軸上的分量與標(biāo)準(zhǔn)軌道互為相反數(shù)。圓形限制性三體的對(duì)稱性可由動(dòng)力學(xué)方程(1)證明[31]。因此，圓形限制性三體中的對(duì)稱性預(yù)示著該模型下存在著兩類對(duì)稱周期軌道：①關(guān)于X-Z平面對(duì)稱的周期軌道；②關(guān)于X軸對(duì)稱的周期軌道。利用牛頓微分迭代可求解這兩類周期軌道。

3 DRO與HEO(2∶1/3∶1)共振軌道延拓求解

定義二體模型下順行繞地的開普勒共振軌道的共振比p·q為：月球公轉(zhuǎn)軌道周期與航天器軌道周期的整數(shù)比例關(guān)系。共振比還可以理解為：航天器繞地球旋轉(zhuǎn)p圈的時(shí)間段內(nèi)，月球繞地球旋轉(zhuǎn)q圈。我們將此類共振軌道稱為“地心系開普勒共振軌道”?？紤]共振軌道關(guān)于X軸對(duì)稱，在Y=0時(shí)航天器速度垂直于地月連線且在地月公轉(zhuǎn)平面內(nèi)。這種對(duì)稱的地心系開普勒共振軌道的主要設(shè)計(jì)參數(shù)為共振比p·q與近地點(diǎn)地心距x0，當(dāng)這兩個(gè)參數(shù)給定，那么可以唯一確定一條共振軌道，其近地點(diǎn)或遠(yuǎn)地點(diǎn)在某一參考時(shí)刻的地月連線上。

圖2 初值在地球附近的1∶1共振軌道(左圖為地月旋轉(zhuǎn)系，右圖為地心慣性系)Fig.2 The 1∶1 resonant orbit near the Earth (the left picture was plotted in the rotating frame, the right picture was plotted in inertial frame)

圖3 初值在月球附近的周期軌道(左圖為地月旋轉(zhuǎn)系，右圖為地心慣性系)Fig.3 The periodic orbit near the Moon (the left picture was plotted in the rotating frame, the right picture was plotted in inertial frame)

圖3顯示1∶1共振軌道延拓到三體模型下成為環(huán)月軌道。由于月球引力的影響，周期從原來的一個(gè)月球周期(2π)變成了0.021936(可認(rèn)為環(huán)月軌道周期)，軌道形狀發(fā)生了大幅改變。右圖中的黑色軌道為一個(gè)軌道周期的軌跡，當(dāng)多個(gè)周期后，航天器會(huì)再次回到x0附近，如藍(lán)色軌道顯示。

在得到圖2～3所示的圓形限制性三體共振軌道之后，延拓x0(逐步增大或減少)以獲得DRO周期軌道族。周期軌道的迭代初值都由相鄰的已迭代出的限制性三體共振軌道給出。當(dāng)周期軌道距離月球或地球300 km，或無法延拓時(shí)(延拓迭代無法收斂)，延拓過程終止，所得到的兩類周期軌道族初始位置x0與速度vy(Y軸方向速度)的關(guān)系如圖4：

圖4 DRO周期軌道族的位置x0與速度關(guān)系Fig.4 The velocities of the family of DRO as a function of the DRO’s x0 values

圖4顯示兩類周期軌道族的曲線一致，說明它們是同一個(gè)軌道族。所得到的DRO周期軌道族如圖5所示，圖5中的箭頭方向代表軌道運(yùn)動(dòng)方向。

圖6 初值在地球附近的HEO(2∶1)共振軌道(左圖為地月旋轉(zhuǎn)系，右圖為地心慣性系)Fig.6 The HEO (2∶1) near the Earth (the left picture was plotted in the rotating frame, the right picture was plotted in inertial frame)

圖5 DRO軌道周期軌道族(地月旋轉(zhuǎn)系)Fig.5 The family of DRO (plotted in the rotating frame)

圖7 初值在月球附近的HEO(2∶1)共振軌道(左圖為地月旋轉(zhuǎn)系，右圖為地心慣性系)Fig.7 The HEO (2∶1) near the Moon (the left picture was plotted in the rotating frame, the right picture was plotted in inertial frame)

得到圖6～7所示的圓形限制性三體共振軌道之后，延拓x0(逐步增大或減少)以獲得周期軌道族。當(dāng)周期軌道距離天體300 km或無法繼續(xù)延拓時(shí)，延拓過程終止，所得到的兩類周期軌道族初始位置與速度曲線如圖8。

圖8 HEO(2∶1)共振軌道族的位置x0與速度關(guān)系Fig.8 The velocities of the family of HEO (2∶1) as a function of the x0 values

圖9 圖6軌道延拓的HEO(2∶1)共振周期軌道族(左圖為地月旋轉(zhuǎn)系，右圖為地心慣性系)Fig.9 The family of HEO (2∶1) continued from the orbit in figure 6 (the left picture was plotted in the rotating frame, the right picture was plotted in inertial frame)

從圖8可知：圖6的共振軌道只能延拓到x0=0.5399處(藍(lán)色曲線)；圖7的共振軌道只能延拓到x0=0.8645處(紅色曲線)。它們分別屬于不同的軌道族，其中初始位置x0在[0.005304 0.5399]區(qū)間的軌道族的初始速度vy大于0，而在[0.8645 0.9724]區(qū)間的初始速度vy小于0。

圖6與圖7中的2∶1共振軌道族分別如圖9與圖10所示。

采取相同的延拓方法(延拓x0)，得到的兩類周期軌道族初始位置速度曲線如圖13。

顯然它們屬于不同的軌道族，圖11軌道只能延拓到x0=0.5399處；圖12軌道則可延拓到地球附近。從月球到地球方向延拓的過程中(紅色曲線)，在x0=0.7544處速度vy=0，意味著在此處速度方向發(fā)生變化。兩條曲線相切于A點(diǎn)，即在A點(diǎn)處兩類共振軌道是同一條軌道。在A點(diǎn)向月球延拓會(huì)沿著藍(lán)色曲線從而最后終止于x0=0.5399，而向地球延拓則沿著紅色曲線最終到達(dá)地球附近。兩類周期軌道族如圖14～15所示。其中圖15說明從月球附近向地球附近延拓過程中，3∶1共振軌道會(huì)逐漸形成繞地軌道，尤其當(dāng)軌道遠(yuǎn)離月球，受到月球引力比較小時(shí)，可視為地心系開普勒軌道。

圖10 圖7軌道延拓的HEO(2∶1)共振周期軌道族(左圖為地月旋轉(zhuǎn)系，右圖為地心慣性系)Fig.10 The family of HEO (2∶1) continued from the orbit in figure 7 (the left picture was plotted in the rotating frame, the right picture was plotted in inertial frame)

圖11 初值在地球附近的HEO(3∶1)共振軌道(左圖為地月旋轉(zhuǎn)系，右圖為地心慣性系)Fig.11 The HEO (3∶1) near the Earth (the left picture was plotted in the rotating frame, the right picture was plotted in inertial frame)

圖12 初值在月球附近的HEO(3∶1)共振軌道(左圖為地月旋轉(zhuǎn)系，右圖為地心慣性系)Fig.12 The HEO (3∶1) near the Moon (the left picture was plotted in the rotating frame, the right picture was plotted in inertial frame)

圖13 兩類HEO(3∶1)周期軌道族的位置x0與速度關(guān)系Fig.13 The velocities of the family of HEO (3∶1) as a function of the x0 values

由圖5、圖14與圖15可知：當(dāng)1∶1共振軌道延拓到月球附近，會(huì)逐漸變成逆行繞月軌道(Distant Retrograde Orbit，DRO)；形如三葉草的3∶1共振軌道在接近月球的情況下，靠近月球一側(cè)的形狀會(huì)明顯偏大，而從月球延拓到地球附近時(shí)，會(huì)逐漸變成一條繞地軌道。說明月球引力會(huì)影響到共振軌道的形狀與周期。

在圓形限制性三體模型下的閉合共振軌道在地心慣性系中不再閉合。只有整數(shù)比的共振軌道既在地月旋轉(zhuǎn)系下閉合，又在地心慣性系下閉合。圓形限制性三體共振軌道周期無法像開普勒軌道那樣計(jì)算(即僅與半長軸相關(guān))。我們需要重新審視圓形限制性三體中的共振比概念，但共振比仍可定義為月球公轉(zhuǎn)軌道周期與繞地軌道周期比例關(guān)系，共振比接近整數(shù)比的軌道仍然被稱為共振軌道。

圖14 圖11軌道延拓的HEO(3∶1)共振周期軌道族(左圖為地月旋轉(zhuǎn)系，右圖為地心慣性系)Fig.14 The family of HEO (3∶1) continued from the orbit in figure 11 (the left picture was plotted in the rotating frame, the right picture was plotted in inertial frame)

圖15 圖12軌道延拓的HEO(3∶1)共振周期軌道族(左圖為地月旋轉(zhuǎn)系，右圖為地心慣性系)Fig.15 The family of HEO (3∶1) continued from the orbit in figure 12 (the left picture was plotted in the rotating frame, the right picture was plotted in inertial frame)

圖16顯示了在地月旋轉(zhuǎn)系與地心慣性系下的由1∶1開普勒共振軌道延拓所得的一條軌道。圖中A為近地點(diǎn)，B為遠(yuǎn)地點(diǎn)。本文定義軌道周期為相鄰兩次經(jīng)過近地點(diǎn)的時(shí)間。根據(jù)定義，航天器從A點(diǎn)出發(fā)經(jīng)過B點(diǎn)再次回到A點(diǎn)為一個(gè)周期，在地月旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下順時(shí)針環(huán)月一周(如左圖)，但在慣性系下環(huán)繞地球不到半圈(見右圖)，原本1∶1共振比發(fā)生大的變化，變?yōu)榻咏?∶1。

圖16 DRO共振軌道(左圖為地月旋轉(zhuǎn)系，右圖為地心慣性系)Fig.16 The resonant orbit DRO (the left picture was plotted in the rotating frame, the right picture was plotted in inertial frame)

圖17 HEO(3∶1)共振軌道(左圖為地月旋轉(zhuǎn)系，右圖為地心慣性系)Fig.17 The resonant orbit HEO (3∶1) (the left picture was plotted in the rotating frame, the right picture was plotted in inertial frame)

圖17為3∶1共振軌道族中的一條軌道，航天器從遠(yuǎn)地點(diǎn)B出發(fā)，依次經(jīng)過近月點(diǎn)A1、A2與A3，在地月旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下形成閉合的共振軌道。在圓形限制性三體模型下的一個(gè)軌道周期里，航天器在慣性系下環(huán)繞地球三圈，先后三次經(jīng)過近地點(diǎn)與遠(yuǎn)地點(diǎn)，此時(shí)共振比變化并不大。因此根據(jù)文中周期定義，周期有三個(gè)時(shí)間段，分別是圖中A1到A2的時(shí)間T1、A2到A3的時(shí)間T2與A3到A1的時(shí)間T3。由于三體模型下的對(duì)稱性，T1=T2。而在月球引力的影響下，靠近月球的葉片要大于其他兩個(gè)葉片，所以T3與T1、T2并不完全相等。因此，我們?nèi)≈芷赥=(T1+T2+T3)/3，即三個(gè)周期的平均值。同理，2∶1共振軌道族中的周期計(jì)算與之類似，即為兩個(gè)周期的平均值。

4 DRO非開普勒軌道特征與共振特性

當(dāng)DRO初始位置在地球或月球附近時(shí)，軌道分別呈現(xiàn)地心或月心開普勒運(yùn)動(dòng)，比如圖2與圖3中的軌道。然而當(dāng)DRO初始位置在地球與月球連線之間的某些位置時(shí)，會(huì)出現(xiàn)非開普勒特性。本文利用地心與月心慣性系下的能量E確定這一位置區(qū)間，其中E的表達(dá)式為式(2)：

(2)

其中下標(biāo)c代表中心天體地球(earth)或月球(moon)，r與v為慣性系下航天器相對(duì)中心天體的位移與速度大小，GM為中心天體的引力常數(shù)。在圓形限制性三體模型下E不再是一個(gè)常量，而是有一定的波動(dòng)。取每條DRO對(duì)應(yīng)的最大能量Emax、最小能量Emin與平均能量Emax，如圖18～19所示。

圖18 DRO初始位置對(duì)應(yīng)的地心慣性系最大能量Emax、平均能量Eaver與最小能量EminFig.18 The max energy Emax, average energy Eaver and min energy Emin of the family of DRO in ECI as a function of the x0 values

圖19 DRO初始位置對(duì)應(yīng)的月心慣性系最大能量Emax、平均能量Eaver與最小能量EminFig.19 The max energy Emax, average energy Eaver and min energy Emin of the family of DRO in LCI as a function of the x0 values

圖20 地心慣性系下的HEO(2∶1/3∶1)共振周期軌道族初始位置對(duì)應(yīng)的ErateFig.20 The Erate of the family of HEO (2∶1/3∶1) in ECI as a function of the x0 values

圖18～19中DRO能量E波動(dòng)得越大說明非開普勒特性越明顯。從圖中可知DRO初值在地球或月球附近時(shí)，能量E的波動(dòng)幅值很小，可視為開普勒軌道。當(dāng)DRO初值從地球附近向月球附近延拓時(shí)(或從月球附近向地球附近延拓)，波動(dòng)的波動(dòng)幅值越來越大，其非開普勒特性越來越明顯。取參數(shù)Erate=(Emax-Emin)/|Eaver|×100%。本文定義：當(dāng)軌道的Erate<25%時(shí)，則認(rèn)為該軌道是開普勒軌道，或者是帶攝動(dòng)的開普勒軌道；當(dāng)Erate>25%時(shí)，則認(rèn)為該軌道是非開普勒軌道(定義旨在區(qū)分DRO與HEO的不同特性)。圖18～19中的A與B點(diǎn)處的Erate=25%，因此，我們認(rèn)為非開普勒的初始位置區(qū)間為x0∈[0.6856 0.8831]，即距離地心2.6×105km到3.4×105km之間。

同理，經(jīng)延拓得到的HEO(2∶1/3∶1)周期共振軌道族(見圖8與圖13)依然可采用Erate確定其非開普勒特性。圖20為2∶1與3∶1周期軌道族在地心慣性系下的Erate。Erate均不超過25%，說明它們是帶攝動(dòng)的地心開普勒軌道，不存在明顯的非開普勒軌道特征。

DRO非開普勒特性包括其軌道族的周期變化。雖然DRO都是從1∶1共振軌道延拓而來，但是因?yàn)檐壍乐芷诘母淖?周期變小)，可得到整數(shù)比2∶1、3∶1與4∶1的共振軌道，如圖21所示，其中A點(diǎn)與B點(diǎn)之間為非開普勒區(qū)域。

這三種整數(shù)比共振軌道都在DRO的非開普勒區(qū)域內(nèi)，由于是整數(shù)比的共振軌道，所以它們不僅在地月旋轉(zhuǎn)系下是周期軌道(閉合)，在慣性系下也是周期軌道(閉合)，如圖22～24所示。該三條DRO共振軌道從形狀上也展現(xiàn)了明顯的非開普勒軌道特征。DRO(2∶1)形狀近似為橢圓形，但地球并不在焦點(diǎn)而在中心，在旋轉(zhuǎn)系中逆行繞月2圈才能形成在慣性系中一條閉合軌道，分別2次經(jīng)過近地點(diǎn)與遠(yuǎn)地點(diǎn)；DRO(3∶1/4∶1)形狀無法近似為橢圓，非開普勒軌道特性更加明顯，DRO(3∶1)分別3次經(jīng)過近地點(diǎn)與遠(yuǎn)地點(diǎn)，在慣性系中的1個(gè)軌道周期中，在旋轉(zhuǎn)系中逆行繞月3圈；同理，DRO(4∶1)在慣性系下分別4次經(jīng)過近地點(diǎn)與遠(yuǎn)地點(diǎn)。

圖21 DRO初始位置對(duì)應(yīng)的軌道周期TFig.21 The period T of the family of DRO as a function of the x0 values

整數(shù)比的DRO只是理想情況，它們附近還存在一般意義上的2∶1與3∶1共振軌道，即共振比接近2∶1與3∶1的準(zhǔn)共振狀態(tài)，在地心慣性系下的長期運(yùn)動(dòng)軌跡表現(xiàn)為近地點(diǎn)指向的進(jìn)動(dòng)，如圖25所示。由于篇幅所限，一般意義上的4∶1共振軌道不再列舉。

從上述DRO共振特性分析可以看出，較為常規(guī)的共振比定義可以得到不同的軌道類型，如DRO與HEO均有2∶1和3∶1共振，但軌道形式具有明顯差異。若要能夠區(qū)分不同類型，需要修改共振比定義。另外，準(zhǔn)共振軌道在慣性系中具有近/遠(yuǎn)地點(diǎn)進(jìn)動(dòng)特性，如何描述進(jìn)動(dòng)規(guī)律仍有待深入分析，若描述進(jìn)動(dòng)的參數(shù)與共振比值也具有簡單整數(shù)比現(xiàn)象，那么DRO存在更多、更豐富的共振特性。

圖22 整數(shù)比DRO(2∶1)共振軌道(左圖為地月旋轉(zhuǎn)系，右圖為地心慣性系)Fig.22 The integral rate resonant orbit DRO (2∶1) (the left picture plotted in the rotating frame, the right picture plotted in inertial frame)

圖23 整數(shù)比DRO(3∶1)共振軌道(左圖為地月旋轉(zhuǎn)系，右圖為地心慣性系)Fig.23 The integral rate resonant orbit DRO (3∶1) (the left picture was plotted in the rotating frame, the right picture was plotted in inertial frame)

圖24 整數(shù)比DRO(4∶1)共振軌道(左圖為地月旋轉(zhuǎn)系，右圖為地心慣性系)Fig.24 The integral rate resonant orbit DRO (4∶1) (the left picture was plotted in the rotating frame, the right picture was plotted in inertial frame)

圖25 共振比接近但不等于2∶1與3∶1的DRO(左圖為2∶1，右圖為3∶1)Fig.25 The resonant orbit DRO (the resonant rate nears 2∶1 or 3∶1) (the left picture shows 2∶1 resonant orbit, the right picture shows 3∶1 resonant orbit)

5 圓形限制性三體共振軌道穩(wěn)定性分析及其潛在應(yīng)用

在二體模型下，所有的共振軌道都是穩(wěn)定的，且只與半長軸相關(guān)。而在圓形限制性三體模型下，由于月球引力場(chǎng)的引入，極大地復(fù)雜了航天器的受力環(huán)境，其動(dòng)力學(xué)方程的非線性遠(yuǎn)遠(yuǎn)強(qiáng)于二體模型，因此各類共振軌道不都是穩(wěn)定的，需要用動(dòng)力系統(tǒng)理論對(duì)其的穩(wěn)定性及其穩(wěn)定程度做出判斷。由動(dòng)力系統(tǒng)知識(shí)可知，周期軌道的穩(wěn)定性與其Monodromy矩陣密切相關(guān)，當(dāng)M矩陣存在模大于1的特征值時(shí)，則該周期軌道不穩(wěn)定；當(dāng)M矩陣所有特征值都小于或等于1時(shí)，則該周期軌道是穩(wěn)定的[32]。因此我們可定義L為共振軌道的穩(wěn)定性指標(biāo)，L的表達(dá)式為式(3)：

L=ln(max(|λi|))

(3)

其中λi是M矩陣的特征值。L的數(shù)學(xué)含義是對(duì)所有特征值的模之最大值取對(duì)數(shù)，很好地描述了周期軌道的穩(wěn)定性；若L比0大，那么軌道是不穩(wěn)定的，比0大得越多，軌道越不穩(wěn)定；若L在0附近或小于0的話，那么軌道為穩(wěn)定周期軌道。

5.1 DRO共振軌道

根據(jù)軌道周期與穩(wěn)定性的定義，由地心開普勒1∶1共振軌道延拓所得地月空間DRO的穩(wěn)定性指標(biāo)L與相應(yīng)的軌道周期T如圖26所示。

圖26 DRO周期軌道族的穩(wěn)定性及其周期Fig.26 The period T and the stability index L of the family of DRO as a function of the x0 values

圖26中橫坐標(biāo)為共振軌道在地月連線上的初始位置x0，縱坐標(biāo)分別為周期T與穩(wěn)定參數(shù)L，AB兩點(diǎn)之間為非開普勒區(qū)域，C點(diǎn)(x0=0.73)為穩(wěn)定區(qū)域與不穩(wěn)定區(qū)域分界點(diǎn)。DRO初始位置在地球附近時(shí)，它的周期大約為一個(gè)月(27天)，與二體下的1∶1共振軌道幾乎相同，在理論上不穩(wěn)定但仍接近穩(wěn)定狀態(tài)。當(dāng)延拓所得DRO接近月球時(shí)(x0>0.73)，軌道周期會(huì)逐漸變小，形成一個(gè)大尺度的穩(wěn)定逆行繞月軌道。而隨著進(jìn)一步延拓，軌道周期會(huì)快速變小從而最終成為主要受月球引力影響的一條近似環(huán)月開普勒軌道。

然而，在真實(shí)星歷下與其它攝動(dòng)力下，圓形限制性三體模型下的DRO穩(wěn)定性會(huì)發(fā)生變化。文獻(xiàn)[25]的仿真結(jié)果說明：對(duì)應(yīng)部分軌道周期的DRO會(huì)產(chǎn)生不穩(wěn)定的現(xiàn)象(僅考慮圓形限制性三體模型則是穩(wěn)定的)，其中太陽引力是對(duì)穩(wěn)定性影響最大的攝動(dòng)力。根據(jù)文獻(xiàn)[33]的分析，在太陽系各類攝動(dòng)力下(包括太陽引力、太陽光壓與行星引力攝動(dòng))，長達(dá)500年穩(wěn)定的DRO(2∶1)的周期區(qū)間為T∈[11.4 12.21]∪[12.29 12.78]∪[12.99 13.08](單位：天)，在地月旋轉(zhuǎn)系下如圖27所示。文獻(xiàn)[34]對(duì)DRO的30年穩(wěn)定性開展了數(shù)值仿真研究，用以支持在DRO部署航天器的應(yīng)用任務(wù)。

圖27 穩(wěn)定的DRO(2∶1)準(zhǔn)共振周期軌道族示意圖Fig.27 The stable DROs (2∶1)

圖27中的DRO軌道族在空間任務(wù)設(shè)計(jì)中有其特殊用途。該DRO距離地球較遠(yuǎn)，部署在DRO的航天器可以避免地球磁場(chǎng)輻射以及空間碎片的影響，并根據(jù)任務(wù)需求保持與地球的距離。這類性質(zhì)可用在天體物理中，比如空間光學(xué)望遠(yuǎn)鏡。在深空探測(cè)任務(wù)中，它可以作為從地球到深空的一種中轉(zhuǎn)站，實(shí)現(xiàn)不同艙段在此交會(huì)對(duì)接后進(jìn)入深空飛往其他行星系[23]。

5.2 HEO(3∶1)共振軌道

同理，3∶1共振軌道中的穩(wěn)定性指標(biāo)L與相應(yīng)的軌道周期如圖28所示。已知3∶1共振軌道存在兩族軌道，左圖顯示的是從月球向地球延拓得到的軌道族曲線，右圖顯示的是從地球向月球延拓得到的軌道族曲線，其中A點(diǎn)(x0=0.4696)是兩類軌道族的交集。由左圖可知該3∶1共振軌道族初始狀態(tài)在x0<0.4696時(shí)軌道才是穩(wěn)定的，在x0>0.4696時(shí)(包括靠近月球的軌道)都是不穩(wěn)定的。在月球附近(x0=0.9022)到A點(diǎn)處(x0=0.4696)，共振軌道周期變化并不大，共振比接近3∶1。當(dāng)從A延拓到地球附近時(shí)，軌道周期快速減小，最終趨向于0，因此共振比發(fā)生大的變化，成為繞地軌道。右圖則表明該軌道族在地球附近與A點(diǎn)之間是不穩(wěn)定的，其共振比接近3∶1。而當(dāng)從A點(diǎn)向月球延拓時(shí)會(huì)形成穩(wěn)定的周期軌道，周期逐漸增大，最終延拓到x0=0.5398處，周期變?yōu)?4.3天，共振比接近2∶1。

圖28 HEO(3∶1)共振周期軌道族的穩(wěn)定性及其周期Fig.28 The period T and the stability index L of the family of HEO (3∶1) as a function of the x0 values

當(dāng)近地點(diǎn)離地球高度只有300 km時(shí)(圖11～12中的軌道)，HEO(3∶1)不穩(wěn)定的共振軌道即可接近地球，也可接近月球(離月球低軌道仍有一定距離)，可稱之為地月自由往返共振軌道(無法從月球低軌道發(fā)射的不是傳統(tǒng)意義上的自由往返軌道)?？紤]它的不穩(wěn)定性，在此軌道上的航天器的機(jī)動(dòng)能力強(qiáng)，可以無需消耗工質(zhì)在地月之間進(jìn)行轉(zhuǎn)移，通?？勺鳛檩d人登月的軌道。從地球到月球只需要大約5天，若航天器在向月球的途中發(fā)生故障，可直接利用軌道的對(duì)稱性返回地球。另一個(gè)重要的用途在于它是可以實(shí)現(xiàn)地球大氣再入的軌道，因此出于其它軌道的航天器需要再入大氣時(shí)可先行轉(zhuǎn)移到該軌道。

若要使初值在月球附近的3∶1共振軌道保持穩(wěn)定，則需要消耗一定數(shù)量的能量。首先我們定義一些函數(shù)。在已知延拓出的3∶1平面共振軌道的初值下定義V0=P1(x0)，即初始位置對(duì)應(yīng)的初始速度。之后，將這個(gè)初始狀態(tài)數(shù)值積分近3個(gè)軌道周期，即大約一個(gè)季度的時(shí)間，當(dāng)它第三次經(jīng)過靠近月球的地月連線時(shí)，記錄此時(shí)航天器的位置xt與速度Vt，定義Vt=P2(xt)與映射xt=Σ(x0)，如圖29所示。

圖29 HEO(3∶1)共振軌道在地月旋轉(zhuǎn)系下函數(shù)與映射示意圖Fig.29 The resonant orbit HEO (3∶1) in the rotating frame and its mappings

由函數(shù)的定義可知，當(dāng)航天器在初始位置x0經(jīng)過運(yùn)動(dòng)映射到初始位置x時(shí)，需要施加速度脈沖dv(x)=|P2(x)-P1(x)|即可進(jìn)入初始位置為x的3∶1共振軌道。而Σ(x)通過數(shù)值計(jì)算可得，因此具體的軌道保持過程可由圖30所示。

圖30 HEO(3∶1)共振軌道由映射所表示的軌道保持示意圖Fig.30 The orbital maintenance of the resonant orbit HEO (3∶1) from the mappings

圖30中的直線xt=x是一條斜率為45°的直線。根據(jù)映射Σ(x)可知初始位置在A1的航天器將要運(yùn)動(dòng)到A2處，施加速度脈沖大小為dv2后將運(yùn)動(dòng)到A3處，依次類推，它可以逐漸過渡到初始位置逐漸遠(yuǎn)離月球的3∶1共振軌道上。圖30中總共施加速度脈沖16次，軌道維持大約4年，總消耗不超過130 m/s。在此期間航天器近月點(diǎn)移動(dòng)不超過6 km。

5.3 HEO(2∶1)共振軌道

同理，2∶1共振軌道中的穩(wěn)定參數(shù)L與相應(yīng)的周期如圖31所示。兩類2∶1共振軌道族的初始位置分別存在于區(qū)間I(x0∈[0.005304 0.5399])與區(qū)間II(x0∈[0.8645 0.9724])。其它范圍的共振軌道都無法延拓得出，因此兩類軌道族沒有關(guān)聯(lián)。初始位置處于區(qū)間I中的軌道都是穩(wěn)定的(L的值幾乎為0)；初始位置處于區(qū)間II的軌道是不穩(wěn)定的(L的值均大于4)，且軌道周期要大于區(qū)間I中的軌道周期。

圖31 HEO(2∶1)共振周期軌道族的穩(wěn)定性及其周期Fig.31 The period T and the stability index L of the family of HEO (2∶1) as a function of the x0 values

該軌道處于區(qū)間II，是不穩(wěn)定的周期軌道，遠(yuǎn)地點(diǎn)為34×104km，近地點(diǎn)為13×104km。特殊之處在于它的軌道周期為29.25天，恰好比月球軌道周期(27天)多出1/12。每一個(gè)月球周期遠(yuǎn)地點(diǎn)會(huì)逆時(shí)針進(jìn)動(dòng)30°，即一年時(shí)間內(nèi)遠(yuǎn)地點(diǎn)方向繞地球一周，可稱之為拱線太陽同步共振軌道。如圖32所示。拱線進(jìn)動(dòng)太陽同步共振軌道在科學(xué)研究中具有潛在應(yīng)用價(jià)值，比如觀測(cè)太陽與地磁場(chǎng)，研究太陽風(fēng)對(duì)地球磁場(chǎng)的影響[35]。由于該軌道是不穩(wěn)定的，需要進(jìn)行軌道維持，維持方法與3∶1共振軌道一致。

圖32 線拱線進(jìn)動(dòng)太陽同步共振軌道(左圖為地月旋轉(zhuǎn)系，右圖為地心慣性系)Fig.32 The periapsis Sun-synchronous resonant orbit (the left picture was plotted in the rotating frame, the right picture was plotted in inertial frame)

6 結(jié)論

本文分析了在圓形限制性三體模型下DRO與HEO(2∶1/3∶1)共振軌道的特性(包括穩(wěn)定特性與共振比變化)。通過對(duì)二體模型下開普勒共振軌道初始狀態(tài)延拓求解得到DRO及HEO。利用動(dòng)力系統(tǒng)理論穩(wěn)定性分析方法，給定了DRO及HEO(2∶1/3∶1)的穩(wěn)定范圍。根據(jù)相對(duì)地球與月球的能量E的變化確定DRO非開普勒區(qū)域，發(fā)現(xiàn)非開普勒區(qū)域中的DRO周期發(fā)生大的變化(其中存在2∶1、3∶1與4∶1的共振軌道)。HEO(3∶1)呈現(xiàn)出近地軌道與月球的往返方案，選擇合適的軌道能實(shí)現(xiàn)地月之間的貨運(yùn)或載人往返，初步估計(jì)了地月往返軌道[HEO(3∶1)]維持所需的能量消耗(4年不超過130 m/s速度脈沖)。HEO(2∶1)根據(jù)其兩類延拓結(jié)果可分為穩(wěn)定軌道與不穩(wěn)定軌道兩個(gè)區(qū)間，其中不穩(wěn)定軌道中存在拱線太陽同步共振軌道，能用來探測(cè)太陽磁場(chǎng)在地月空間中的分布；根據(jù)本文的分析，DRO與HEO(2∶1/3∶1)在空間探測(cè)中有著潛在應(yīng)用價(jià)值，有待進(jìn)一步研究探討。