王智慧，徐文娟，周志成，王文龍，張 喆

(桂林特邦新材料有限公司，廣西桂林 541004)

1 引言

超硬復(fù)合片具有高硬度、高耐磨性、高導(dǎo)熱系數(shù)和高加工精度等優(yōu)點(diǎn)，可實(shí)現(xiàn)以車代磨，因之廣泛應(yīng)用于航天航空、汽車及工程機(jī)械等高端制造業(yè)領(lǐng)域[1]。超硬復(fù)合片是高價(jià)值的產(chǎn)品，使用商對(duì)復(fù)合片性能的穩(wěn)定性提出了很高的要求，希望產(chǎn)品能進(jìn)行100%檢驗(yàn)。然而復(fù)合片大多數(shù)質(zhì)量表征指標(biāo)的檢驗(yàn)是破壞性的，只能進(jìn)行抽檢。在設(shè)計(jì)抽樣檢驗(yàn)方案時(shí)，使用方希望使用方風(fēng)險(xiǎn)質(zhì)量p1小、使用方風(fēng)險(xiǎn)β低，而生產(chǎn)方則希望生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn)α低，根據(jù)目前的超硬復(fù)合片生產(chǎn)水平，生產(chǎn)質(zhì)量不可能太高，即生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn)質(zhì)量p0較大，操作比p1/p0可能會(huì)很小，而國(guó)標(biāo)給出的檢驗(yàn)方案為[2]：使用方風(fēng)險(xiǎn)β固定為10%，生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn)α約為5%，操作比p1/p0大于2。若上述要求發(fā)生改變，就不能通過(guò)查國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行超硬復(fù)合片計(jì)數(shù)型抽樣檢驗(yàn)方案設(shè)計(jì)，因此，本文介紹一種利用excel中插入函數(shù)進(jìn)行計(jì)數(shù)型一次及二次抽樣檢驗(yàn)方案的設(shè)計(jì)方法，該方法只需會(huì)excel表操作，就會(huì)進(jìn)行計(jì)數(shù)型一次及二次抽樣檢驗(yàn)方案設(shè)計(jì)，可以滿足使用方提出的各種特殊質(zhì)量要求。

2 各概率分布函數(shù)的應(yīng)用范圍

利用下節(jié)論述的方法設(shè)計(jì)抽樣檢驗(yàn)方案時(shí),首先要確定概率分布函數(shù)。各概率分布函數(shù)的應(yīng)用范圍如表1所示〔3〕。表1中,N為批量,n為樣本數(shù),D為批中不合格品數(shù);p為批中不合格品率，p等于D/N，p的取值范圍為0～1;p’為批中不合格率(文獻(xiàn)〔3〕寫(xiě)成單位產(chǎn)品的缺陷數(shù))，p’取值范圍為大于或等于0。為簡(jiǎn)化起見(jiàn)，本文將不區(qū)分p及p’，全用p表示，在計(jì)件檢驗(yàn)中，p表示不合格品率，在計(jì)點(diǎn)檢驗(yàn)中，p表示不合格率。

表1 接收概率分布函數(shù)

3 計(jì)數(shù)型抽樣檢驗(yàn)方案設(shè)計(jì)簡(jiǎn)述

計(jì)數(shù)型抽樣分為計(jì)件型抽樣及計(jì)點(diǎn)型抽樣[4]。計(jì)件型抽樣檢驗(yàn)是統(tǒng)計(jì)樣本中的不合格品數(shù)，樣本中不合格品數(shù)必定少于樣本數(shù)；計(jì)點(diǎn)型抽樣檢驗(yàn)是統(tǒng)計(jì)樣本中的不合格數(shù)，樣本中的不合格數(shù)可以大于樣本數(shù)。

GB/T2828標(biāo)準(zhǔn)中將計(jì)數(shù)型抽樣檢驗(yàn)分為一次抽樣檢驗(yàn)、二次抽樣檢驗(yàn)及五次抽樣檢驗(yàn)[5]。表2為三種抽樣方案優(yōu)劣對(duì)比。

表2 三種抽樣方案優(yōu)劣對(duì)比列表

抽樣方案設(shè)計(jì)實(shí)際上是在己知使用方風(fēng)險(xiǎn)質(zhì)量p1、使用方風(fēng)險(xiǎn)β、生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn)質(zhì)量p0、生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn)α的條件下，求抽樣檢驗(yàn)樣本量n、接收數(shù)Ac及拒收數(shù)Re。

設(shè)樣本量為n的樣本中恰好出現(xiàn)k次不合格品數(shù)或不合格數(shù)這一事件為X，則X為隨機(jī)事件，其概率用P{X=k}表示，它是風(fēng)險(xiǎn)質(zhì)量p、樣本量n及不合格品數(shù)或不合格數(shù)k的函數(shù)[6]。

對(duì)一次抽樣檢驗(yàn)方案：設(shè)樣本量為n1、接收數(shù)為Ac及拒收數(shù)為Re，則該批產(chǎn)品接收的概率L用下式表示。

根據(jù)題意列出下列方程組：

Re=Ac+1;

聯(lián)合解上列各式,可求得一次抽樣檢驗(yàn)方案:樣本量n1、接收數(shù)Ac及拒收數(shù)Re。

對(duì)二次抽樣檢驗(yàn)方案：

設(shè)第一次抽樣檢驗(yàn)的接收數(shù)及拒收數(shù)為AC1和Re1，第二次抽樣檢驗(yàn)的接收數(shù)及拒收數(shù)為AC2和Re2,二次抽樣檢驗(yàn)方案每一次抽樣檢驗(yàn)的樣本量相同，均為n2。

Re2=AC2+1

令：Re1=AC1+m1+1 ；m1=1，2，3……;

m1表示AC1與Re1之間數(shù)字的個(gè)數(shù)，如AC1等于1，Re1等于5，中間有2、3、4共3個(gè)數(shù)字，則：m1=3;

令：AC2=Re1-1+m2；m2=0、1、2……; 則：AC2=AC1+m1+m2;

令：P0=P{X≤AC1}

P1=P{X=(AC1+1)}*P{X≤[Ac2-(AC1+1)]}=P{X=(AC1+1)}*P{X≤(m1+m2-1)}

P2=P{X=(AC1+2)}*P{X≤[Ac2-(AC1+2)]}=P{X=(AC1+2)}*P{X≤(m1+m2-2)}

……

Pm1=P{X=(AC1+m1)}*P{X≤[Ac2-(AC1+m1)]}=P{X=(AC1+m1)}*P{X≤m2}

L=P0+P1+P2+……+Pm1=F(AC1，Re1；AC2，Re2；n2；p0或p1)

L為接收概率;

根據(jù)題意，可列出下列方程組：

L0=F(AC1，Re1;AC2，Re2,n2,p0)=1-α

L1=F(AC1，Re1;AC2，Re2,n2,p1)=β

Re2=AC2+1

要求：AC1，Re1;AC2，Re2,n2全為正整數(shù)及盡量小。聯(lián)合解上述方程可求出AC1，Re1;AC2，Re2及n2。

經(jīng)查閱資料及參考GB/T 2828系列標(biāo)準(zhǔn)總結(jié)出下列規(guī)律：

(1)n1/n2≈1.55 ；n1為一次抽樣檢驗(yàn)方案的樣本量，n2為二次抽樣檢驗(yàn)方案每一次抽樣的樣本量；

(2)1≤m1≤AC， 0≤m2≤AC;

(3)一般來(lái)說(shuō)：AC≥AC1≥AC/2-2 ；

其中n1、Ac為一次抽樣檢驗(yàn)方案的樣本量和接收數(shù);

五次抽樣檢驗(yàn)方案設(shè)計(jì)不適應(yīng)用excel表的引用函數(shù)進(jìn)行計(jì)算。

4 幾種常用抽樣檢驗(yàn)方案設(shè)計(jì)方法優(yōu)劣對(duì)比

利用上述原理，前人己將計(jì)算結(jié)果列成表，制成圖。因此，抽樣檢驗(yàn)方案設(shè)計(jì)常用方法有：查表法、圖解法、編程法、excel表計(jì)算法，表3列出了它們的優(yōu)劣及應(yīng)用范圍。

表3 抽樣檢驗(yàn)方案設(shè)計(jì)方法優(yōu)劣及應(yīng)用范圍列表

5 excel表在產(chǎn)品抽樣檢驗(yàn)方案設(shè)計(jì)中的應(yīng)用

(1)excel表插入函數(shù)介紹

A.泊松分布

P{X=d}=POISSON(d,λ,FALSE) ；P{X≤d}=POISSON(d,λ,TRUE)

其中λ=n*p為泊松分布的期望值。

B.二項(xiàng)分布

P{X=d}=BINOM.DIST(d,n,p,FALSE) ；P{X≤d}=BINOM.DIST(d,n,p,TRUE)

式中：n為樣本量；為d樣本中不合格品數(shù)或不合格數(shù)；p為不合格品率或不合格率。

(2)一次抽樣方案設(shè)計(jì)程序

下面通過(guò)舉例說(shuō)明用excel表插入函數(shù)進(jìn)行一次抽樣檢驗(yàn)方案設(shè)計(jì)的程序?，F(xiàn)對(duì)批量N為1000片復(fù)合片產(chǎn)品的抗彎強(qiáng)度進(jìn)行計(jì)件型一次抽樣檢驗(yàn)方案設(shè)計(jì),經(jīng)生產(chǎn)方和使用方協(xié)商，得知α為0.0405、p0為0.015、β為0.1、p1為0.1064。其步驟如下：

A.按表1規(guī)定確定接收概率分布函數(shù)。本例預(yù)選用二項(xiàng)分布函數(shù)。

B.設(shè)計(jì)excel表頭。表頭如圖1所示。圖1中n10是與生產(chǎn)方同風(fēng)險(xiǎn)α匹配的樣本量,n11是與使用方同風(fēng)險(xiǎn)β匹配的樣本量，令：B1=n11/n10，B1應(yīng)盡量接近于1。

C.求樣本量n1及接收數(shù)Ac。

計(jì)算過(guò)程及結(jié)果如圖1所示。

由圖1可得出下列結(jié)論：

A.當(dāng)Ac取2，n1、n10、n11取49或50時(shí)與要求最接近，當(dāng)n1為49時(shí)對(duì)生產(chǎn)方有利，當(dāng)n1為50時(shí)對(duì)使用方有利。抽樣檢驗(yàn)方案以誰(shuí)優(yōu)先，最好在合同中約定。若合同中無(wú)約定，樣本量n1可取中位值。

本例不合格品出現(xiàn)的概率用服從二項(xiàng)分布求解，得Ac等于2，n1等于50或49;由于接收數(shù)Ac只能取整數(shù)，該解與要求有一定的差距。

當(dāng)Ac等于2，n1等于50時(shí)，若保持風(fēng)險(xiǎn)質(zhì)量p0等于0.015及p1等于0.1064不變，則生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn)α為0.0392，使用方風(fēng)險(xiǎn)β為0.0877;若保持生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn)α等于0.0405及使用方風(fēng)險(xiǎn)β等于0.1不變，則生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn)質(zhì)量p0為0.0152，使用方風(fēng)險(xiǎn)質(zhì)量p1為0.103。當(dāng)Ac等于2，n1等于49時(shí)，若保持風(fēng)險(xiǎn)質(zhì)量p0等于0.015及p1等于0.1064不變，則生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn)α為0.0373，使用方風(fēng)險(xiǎn)β為0.0949;若保持生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn)α等于0.0405及使用方風(fēng)險(xiǎn)β等于0.1不變，則生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn)質(zhì)量p0為0.0155，使用方風(fēng)險(xiǎn)質(zhì)量p1為0.105。

圖1 一次抽樣方案設(shè)計(jì)截圖Fig.1 The screenshot of single sampling

B. 本批的不合格品件數(shù)D=15件，遠(yuǎn)小于樣本量n=50件，因此本例不合格品出現(xiàn)的概率用服從二項(xiàng)分布求解是不合適的。本例不合格品出現(xiàn)的概率最好用服從超幾何分布求解，但因超幾何分布求解比較復(fù)雜，而p1為0.1064只稍超0.1，因此，本例不合格品出現(xiàn)的概率用服從泊松分布求解比較合適。

C. 如圖1所示，不合格品出現(xiàn)的概率用服從泊松分布求解的結(jié)果為：Ac等于2，n1等于50，與不合格品出現(xiàn)的概率用服從二項(xiàng)分布求解的結(jié)果相似。本例用服從泊松分布求解的結(jié)果完全滿足要求是因?yàn)楸纠∽訥B/T2828.1國(guó)標(biāo)中的一組數(shù)據(jù)，且在國(guó)標(biāo)中就是以服從泊松分布求解的，這也有利于判斷本文計(jì)算是否正確。

(2)二次抽樣方案設(shè)計(jì)程序

下面仍以上述例子說(shuō)明用excel表插入函數(shù)進(jìn)行二次抽樣方案設(shè)計(jì)的程序。

A.按表1規(guī)定確定接收概率分布函數(shù)。如上所述，本例選用泊松分布函數(shù)。

B.用excel表計(jì)算一次抽樣方案

由上述計(jì)算可得一次抽樣方案：Ac=2,n1=50

C.對(duì)二次抽樣方案的某些參數(shù)進(jìn)行估計(jì)

n2≈n1/1.55=32；0≤AC1≤2

1≤m1≤2； 0≤m2≤2;

D.設(shè)計(jì)excel表頭

用excel表設(shè)計(jì)二次抽樣檢驗(yàn)方案的表頭如圖2所示。第3行及第4行為試算欄，第6行～第13行為結(jié)果欄。與生產(chǎn)方有關(guān)數(shù)據(jù)行表示的數(shù)據(jù)為λ20、p0、L0;與使用方有關(guān)數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)為λ21、p1、L1；

當(dāng)m1=2時(shí)，計(jì)算接收概率有P0、P1、P2三列，對(duì)應(yīng)的第2行取1、2；

E.試算

對(duì)AC1=0～2，m1=1～2，m2=0～2，逐項(xiàng)試算，若生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn)α接近0.0405，使用方風(fēng)險(xiǎn)β接近于0.1,再改變樣本量。幾種較優(yōu)設(shè)計(jì)方案如圖2所示。

F.方案選擇

從圖2可見(jiàn)，當(dāng)AC1=0、m1=2、m2=1、n2=32～39時(shí), 均滿足設(shè)計(jì)要求。

此時(shí):Re1=AC1+m1+1=3;AC2=AC1+m1+m2=3;Re2=AC2+1 =4

此例二次抽樣檢驗(yàn)方案為：AC1為0、AC2與Re1為3、Re2為4、n2為32與39之間任意整數(shù)(以合同約定等為準(zhǔn))，若合同未約定，取中位數(shù)n2等于36。GB/T2828.1標(biāo)準(zhǔn)中,取n2取32,主要是考慮樣本量的系列化及標(biāo)準(zhǔn)化。

圖2 二次抽樣檢驗(yàn)方案設(shè)計(jì)截圖Fig.2 The screenshot of the secondary sampling

由于接收數(shù)AC1及AC2、拒收數(shù)Re1只能取整數(shù)，該解與要求有一定的差距。當(dāng)n2等于32時(shí)，若保持風(fēng)險(xiǎn)質(zhì)量p0為0.015及p1為0.1064不變，則生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn)α為0.0228，使用方風(fēng)險(xiǎn)β為0.0997；若保持生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn)α等于0.0405及使用方風(fēng)險(xiǎn)β等于0.1不變，則生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn)質(zhì)量p0為0.0184，使用方風(fēng)險(xiǎn)質(zhì)量p1為0.1063，該方案對(duì)生產(chǎn)方有利。當(dāng)n2等于39時(shí)，若保持風(fēng)險(xiǎn)質(zhì)量p0為0.015及p1為0.1064不變，則生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn)α為0.0399，使用方風(fēng)險(xiǎn)β為0.041；若保持生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn)α等于0.0405及使用方風(fēng)險(xiǎn)β等于0.1不變，則生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn)質(zhì)量p0為0.0151，使用方風(fēng)險(xiǎn)質(zhì)量p1為0.0872，該方案對(duì)使用方有利。當(dāng)n2等于36時(shí)，若保持風(fēng)險(xiǎn)質(zhì)量p0等于0.015及p1等于0.1064不變，則生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn)α為0.0319，使用方風(fēng)險(xiǎn)β為0.0603；若保持生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn)α等于0.0405及使用方風(fēng)險(xiǎn)β等于0.1不變，則生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn)質(zhì)量p0為0.0163，使用方風(fēng)險(xiǎn)質(zhì)量p1為0.0945，該方案生產(chǎn)方及使用方利益均等。

5 結(jié)論

(1)利用excel表插入函數(shù)可以很方便地進(jìn)行各種條件下的一次抽樣檢驗(yàn)方案及二次抽樣檢驗(yàn)方案的精準(zhǔn)設(shè)計(jì)，克服了采用圖或表設(shè)計(jì)時(shí)，在某些特殊要求下設(shè)計(jì)精度不夠的問(wèn)題;

(2)質(zhì)量設(shè)計(jì)人員掌握了用excel表插入函數(shù)進(jìn)行一次抽樣檢驗(yàn)及二次抽樣檢驗(yàn)方案設(shè)計(jì)方法，可了解國(guó)標(biāo)GB/T2828系列標(biāo)準(zhǔn)中圖或表數(shù)據(jù)來(lái)源，對(duì)更好地理解和應(yīng)用GB/T2828系列標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行超硬復(fù)合片的抽樣檢驗(yàn)方案設(shè)計(jì)是十分有益的。