何 謙 王艾倫 陳中祥 楊 俊

1.湖南師范大學工程與設計學院，長沙，410081 2.中南大學高性能復雜制造國家重點實驗室，長沙,410083

0 引言

拉桿轉子具有質量小、剛度大、加工容易以及便于冷卻和維修等突出優(yōu)勢，被廣泛應用于航空發(fā)動機及大功率重型燃氣輪機中[1]。不同于整體轉子，拉桿轉子通過周向均勻分布的多根拉桿將軸頭和輪盤預緊連接而成，因而在結構上存在多個非連續(xù)的接觸界面，物理特性非常復雜。由于接觸問題的本質是非線性的，零件的材質、表面形貌、載荷情況等因素都會對結合面的接觸狀態(tài)和接觸剛度造成影響[2]，很難用一個統一的模型加以描述，這給拉桿轉子的深入研究帶來了巨大的困難?，F階段對接觸問題的研究主要有兩種方法，即建立解析模型和開展數值計算。解析的方法通常依托Greenwood等在1966年提出的GW 模型以及以其為基礎的各種改良模型，如MB 分形接觸模型、GW 修正模型等。以上模型都基于某些假設，而且在參數的確定上需要依托實驗和統計的數據，操作起來比較困難[3]，結果的精度也難以保證。隨著計算機技術的飛速發(fā)展，以有限元為代表的數值計算方法在接觸分析中得到了越來越廣泛的應用[4]，其參數化的設計方法不僅能方便高效地獲取實驗樣本，而且更容易發(fā)現或形成規(guī)律性的認識和結論。將其運用于拉桿轉子的動力學特性分析，成效顯著[5-7]。

由于彎曲振動是拉桿轉子動力學特性中最為重要的環(huán)節(jié)，故在業(yè)已開展的研究中，絕大部分都是針對這一問題進行的。事實上，拉桿轉子的軸向振動問題也不容忽視。據報道，2001年廣東月亮灣燃機電廠燃氣輪機發(fā)電機組投產一周后，就出現了機組轉子因軸向振動劇烈而導致的故障[8]。早在20世紀50年代，燃氣輪機轉子的軸向振動問題就引起人們注意[9]，但由于檢測困難等原因，研究未能深入。目前，國內外對轉子軸向振動問題的研究相對較少，而關于拉桿轉子軸向振動問題的研究更少。文獻[10]用傳遞矩陣法對多輪盤轉子系統軸向振動的固有特性進行了研究，但其研究對象為整體轉子。文獻[11]運用鍵合圖的方法建立了拉桿轉子軸向振動的動力學模型，但該方法界面接觸剛度計算方面主要參照了文獻[12]的結論，給出的輪廓面積比ηca在某一范圍內，實際確定起來比較復雜。

本文在分析和總結現有研究成果的基礎上，提出了一種基于有限元分析結果的輪盤結合面法向接觸剛度的確定方法，將其與轉子的集中質量模型結合，計算了某型實驗轉子軸向振動的固有頻率，通過對比理論計算和實驗實測的結果，驗證該方法的有效性。

1 輪盤結合面法向剛度的確定

1.1 三維粗糙表面的生成

THOMAS等[13]已證明指數自相關函數能夠很好地描述現實世界中的許多隨機現象；WHITEHOUSE等[14]通過實驗證明了許多工程表面輪廓具有指數自相關函數關系。一般給定指數形式的自相關函數為

τx=1,2,…,Nτy=1,2,…,N

式中，σ為表面粗糙度；βx、βy分別為x、y方向上的相關長度。

根據輪盤表面的粗糙度數值，按指數自相關值，以粗糙度Ra=3.2 μm為例，在MATLAB中生成相應的微觀表面，見圖1。

圖1 微體單元粗糙表面形貌Fig.1 Rough surface features of the microbody

1.2 基于微體單元的結合面法向剛度的確定

由于零件的宏觀尺寸均遠遠大于用以描述表面形貌的參數尺寸，故如果考慮表面的微觀形貌直接對零件開展有限元分析，將會導致單元和節(jié)點的數目巨大，可能會因計算量過大而無法進行。當粗糙表面微型長方體的宏觀尺寸達到一定數值時，所得的分析結果與繼續(xù)擴大微體尺寸并無二致[15]，因此，借助具有合適幾何尺寸的微體單元，所得的結果完全能反映實際零件的接觸情況。據此將MATLAB中所獲得的點云數據導入CAD軟件中，生成一個左端面為粗糙表面的微型長方體，3個方向的尺寸分別為1 mm×1 mm×5 mm。

考慮到兩粗糙表面微元體接觸和單個粗糙面與剛性平面接觸的分析結果在保證微體單元足夠長度后并無差別[16]，本文直接采用相對簡單的微體單元與剛性平面接觸的分析方法。將CAD中生成的模型導入ANSYS，網格劃分采用10節(jié)點四面體單元，微體單元定義為彈塑性，各項力學指標依據輪盤材料給定。分析時，對長方體的底面加以約束，并限制粗糙表面上位于剛性平面內的節(jié)點的位移。在與粗糙表面相對的右端面上，施加一個由轉子預緊力轉換而成的分布力p。查看分析結果，獲得微體單元在該方向的變形量，由此獲得整個微體單元在該作用力下的等效法向剛度keq：

keq=pA/Δl

式中，A為微體單元的橫截面面積；Δl為微體單元在該方向的變形。

依據圣維南原理，粗糙表面的變形情況對距離其較遠區(qū)域的影響很小。據此可按有限元軟件的分析結果將微體劃分為粗糙段和光滑段兩部分，粗糙段為微體單元受力時發(fā)生塑性變形的區(qū)域，用lc表示；余下部分視作只發(fā)生彈性變形，用ls表示，見圖2。

圖2 微體單元等效模型Fig.2 Equivalent model of the microbody

顯然，微體單元在不同載荷作用下的粗糙段lc的長度也不相同。改變壓力p，得到lc與p的變化關系曲線，見圖3。

圖3 粗糙段長度與作用力的關系曲線Fig.3 Relation curve of rough section length & press

由材料力學可知，彈性軸段ls的法向剛度

ks=EA/ls

式中，E為輪盤材料的彈性模量；ls為彈性光滑段的長度。

用kc表示粗糙段的剛度。顯然，微體單元各段的剛度kc、ks和等效法向剛度keq三者之間存在以下關系：

聯立以上各式，即可求得粗糙段的剛度kc。

定義kj為輪盤結合面的法向剛度?？紤]到實際情況為兩粗糙表面接觸，故有

kj=kc/2

2 拉桿轉子軸向振動集中參數模型

盡管不同廠家及不同型號的拉桿轉子在幾何尺寸上差異明顯，但轉子的組成和結構卻基本相同，即均通過長螺栓將軸頭和輪盤串連而成。為方便說明和計算，本文對拉桿轉子的形態(tài)進行了適當簡化，其物理結構見圖4。

圖4 拉桿轉子結構示意圖Fig.4 Schematic view of the rodfastening rotor

2.1 拉桿轉子質量的集中參數化

結合軸向振動分析的要求以及拉桿轉子的結構特點，選取單個輪盤作為基本單元進行集中參數化：將輪盤的質量集中到兩端，將其變形集中到中間。輪盤之間的接觸剛度用一根無質量的彈簧表示。拉桿處理方式與輪盤類似。需要注意的是，由于位居拉桿兩端的螺栓頭和螺母與軸頭沒有相對運動，故可將拉桿的集中質量看作與兩軸頭外側的質量單元固連在一起。相應的力學模型見圖5。

圖5 拉桿轉子軸向振動集中質量模型Fig.5 Lumped-mass model of the rodastening rotor axial vibration

圖5中，kd、krod、kj分別為輪盤、拉桿以及輪盤接合面的法向剛度。kd、krod的確定不考慮塑性變形的影響，依據式(4)和零件的材料和幾何尺寸獲得，其中，krod為所有拉桿的剛度之和。

2.2 數學模型的建立

由于轉子系統一般都是弱阻尼系統，故在建模和計算過程中可以不計阻尼。依據圖5中的集中參數模型，寫成矩陣的形式，即

X=[x1x2…x2n]TF=[f1f2…f2n]T

K=

據此可以求得拉桿轉子軸向振動時的固有頻率和振型[17]。

3 實驗及數據分析

實驗用拉桿轉子由4輪盤8拉桿組成，每根拉桿的預緊力為4 kN，輪盤的大圓直徑與中心孔直徑分別為100 mm和40 mm，輪盤厚度為30 mm，拉桿的直徑為10 mm，輪盤中心與拉桿中心的距離為35 mm。為排除支承的影響，用兩根繞在轉子軸頭的彈性繩將轉子水平自由懸掛。用力錘沿軸線方向敲擊轉子的端面，用壓電加速度計測量響應，并借助信號分析處理系統獲得轉子的固有頻率和振型。

為驗證2.2節(jié)轉子模型的有效性，將實驗轉子的相關參數代入該模型進行計算。作為對比，還建立了同形態(tài)整體轉子的有限元模型。3種渠道所獲得的該型轉子前3階軸向振動的固有頻率見表1。

表1 軸向振動固有頻率比較 (預緊力為4 kN)

為研究拉桿預緊力對拉桿轉子動力學行為的影響，采用1.2節(jié)的方法，從零開始逐步加大拉桿的預緊力，得到輪盤結合面法向剛度隨作用力(壓力)變化的曲線,見圖6。將該結果代入集中質量模型進行計算，得到該型轉子在不同預緊力作用下的前3階固有頻率,見圖7。

圖6 結合面法向剛度與壓力的關系曲線Fig.6 Relation curve of the contact surface normal stiffness & press

圖7 固有頻率與結合面壓力的關系曲線Fig.7 Relation curve of the natural frequency & contact surface press

從表1中數據可以看出，拉桿轉子與具有相同外部形態(tài)的整體轉子的固有頻率差距明顯，而實驗實測值與用本文方法計算所得的結果非常接近,誤差在5%范圍內，遠低于整體轉子模型誤差。這表明對拉桿轉子開展動力學特性分析，必須考慮結合面法向剛度的影響。

由圖6和圖7可知，拉桿轉子輪盤結合面的法向剛度和軸向振動的固有頻率主要取決于拉桿預緊力的大小，但它們之間并非簡單的線性關系。特別需要注意的是，當預緊力達到一定數值(對應圖6中約100 MPa處)后，增大預緊力，結合面剛度和固有頻率的變化很小，即進入所謂的預緊力飽和階段[18]。在這一階段，拉桿轉子的固有頻率與整體轉子趨于一致[11]。進一步加大拉桿的預緊力，當結合面間的壓力超過200 MPa時，無論結合面剛度還是固有頻率都呈現下降的態(tài)勢，其原因是壓力值超出了輪盤材料的屈服極限，導致發(fā)生塑性變形的區(qū)域迅速擴大(見圖3)。此外，比較轉子各階次固有頻率隨結合面法向剛度變化的情況可以發(fā)現，低階頻率曲線從形態(tài)上與剛度曲線吻合程度更高，表明結合面剛度對低階次固有頻率的影響較大，而高階次頻率反映了轉子整體剛度的變化。

4 結論

(1) 具有相同外部形態(tài)的拉桿轉子和整體轉子在動力學行為上存在較大的差別，分析拉桿轉子的動力學特性必須考慮輪盤結合面法向剛度的影響。用本文方法得到的實驗轉子的軸向振動固有頻率數值與實驗實測值非常接近，誤差低于5%，表明該方法切實可行，并且具有較高的精度。

(2) 拉桿的預緊力直接影響輪盤結合面的法向剛度和轉子的固有頻率，但并不一直隨著拉桿預緊力的增大而增加，而是存在預緊力飽和階段。處于這一階段的拉桿轉子的固有頻率也與整體轉子趨于一致。

(3) 可借助結合面法向剛度的分析獲取拉桿轉子預緊力飽和的范圍，此范圍可以作為合理確定拉桿預緊力的數值以及保證拉桿轉子結構完整性的重要設計依據。