劉杰，孫玉鳳，王成燁

(沈陽工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 沈陽市 110870)

0 前言

齒輪系統(tǒng)作為傳遞運(yùn)動和動力的關(guān)鍵部件，其性能的好壞將直接影響整個(gè)機(jī)械系統(tǒng)的精度與穩(wěn)定性[1]。在齒輪傳動中，嚙合剛度的時(shí)變特性是齒輪傳動系統(tǒng)一種主要的動態(tài)激勵(lì)源,將會引起系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)。郭輝等[2]利用有限元法模擬齒根裂紋擴(kuò)展過程。Pandya[3]等基于線彈性斷裂力學(xué)的二維彈性體，使用二維有限元模擬直齒圓柱齒根的裂紋擴(kuò)展。萬志國等[4-5]分析了齒根裂紋擴(kuò)展及不同深度的齒根裂紋對時(shí)變嚙合剛度的影響。Hui Ma等[6-7]利用多種方法計(jì)算裂紋對嚙合剛度的影響并與有限元法相比較，從而驗(yàn)證了有限元法的精確性。Chang等[8]利用有限元法與解析法相結(jié)合的方法，提出了嚙合力、齒輪參數(shù)對齒輪嚙合剛度的影響。唐進(jìn)元等[9]利用有限元方法，分析了不同載荷下齒輪的嚙合剛度。陳銳博等[10]通過有限元法，分別討論了在不同負(fù)載以及發(fā)生軸向偏載的情況下齒輪嚙合剛度的變化規(guī)律。常樂浩等[11]利用有限元法和彈性接觸理論相結(jié)合的方法，分析了齒輪的嚙合剛度。王旭等[12]利用材料力學(xué)的方法把齒輪簡化為變截面的懸臂梁，分析了裂紋對齒輪嚙合剛度的影響。崔玲麗等[13]利用有限元法與能量法計(jì)算了含裂紋齒輪的嚙合剛度，證實(shí)了有限元法的有效性。國內(nèi)外許多著名學(xué)者都對裂紋齒輪進(jìn)行了研究，但是對于非穿透型裂紋齒輪的裂紋擴(kuò)展和嚙合剛度的研究較少。

本文通過ANSYS有限元軟件，在建立齒輪系統(tǒng)有限元模型的基礎(chǔ)上，利用有限元法模擬了三維非穿透型齒根裂紋在齒寬方向的擴(kuò)展過程，并分析了齒寬方向不同穿透程度的齒根裂紋以及齒廓方向裂紋尾部不同高度，對齒輪嚙合剛度和等效應(yīng)力、總位移的影響。

1 齒根裂紋擴(kuò)展

1.1 裂紋尖端附近的應(yīng)力和位移場

根據(jù)斷裂力學(xué)理論[14]，裂紋可分為三種類型，即Ⅰ型裂紋(張開型裂紋)、Ⅱ型裂紋(滑開型裂紋)、Ⅲ型裂紋(撕開型裂紋)。齒根裂紋同時(shí)存在Ⅰ型和Ⅱ型，即齒根裂紋為復(fù)合型裂紋，裂紋擴(kuò)展示意圖如圖1所示。

對于Ⅰ型裂紋，裂紋尖端應(yīng)力場為

(1)

對于Ⅱ型裂紋，裂紋尖端應(yīng)力場為

(2)

式中，KⅠ、KⅡ?yàn)棰裥?、Ⅱ型裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子；r、θ為裂紋尖端附近點(diǎn)的極坐標(biāo)。

將式(1)和(2)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程，并運(yùn)用疊加原理得到裂紋尖端附近的極應(yīng)力表達(dá)式

(3)

裂紋沿著應(yīng)變能釋放率達(dá)到最大的方向擴(kuò)展，即

(4)

(5)

由式(4)、(5)可求得開裂角θ=θ0，即裂紋擴(kuò)展角計(jì)算公式為

(6)

圖1 裂紋擴(kuò)展示意圖

1.2 齒根裂紋擴(kuò)展模擬

在健康齒輪模型的基礎(chǔ)上建立三維齒根裂紋有限元模型，齒輪參數(shù)見表1。初始裂紋長度為5 mm，當(dāng)齒根裂紋擴(kuò)展到15 mm時(shí)的有限元模型如圖2a所示。根據(jù)斷裂力學(xué)理論解得應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅠ、KⅡ，同時(shí)求得裂紋擴(kuò)展角確定裂紋擴(kuò)展路徑由A擴(kuò)展到B，如圖2b所示。經(jīng)計(jì)算，應(yīng)力強(qiáng)度因子歷程曲線如圖3所示。

表1 齒輪副基本參數(shù)

圖2 齒根裂紋模型

圖3 應(yīng)力強(qiáng)度因子隨裂紋長度的變化曲線

由圖3可知，非穿透型裂紋由5 mm擴(kuò)展到15 mm的過程中，隨著裂紋長度的增加應(yīng)力強(qiáng)度因子逐步增加。KⅠ的增加幅度更加顯著，且KⅠ遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于KⅡ，由此可表明，齒輪的斷裂主要受Ⅰ型裂紋的影響。

2 齒輪嚙合剛度分析

2.1 有限元法分析齒輪嚙合剛度

建立三維四對齒輪體有限元模型，對主動輪內(nèi)孔邊界所有節(jié)點(diǎn)施加切向力F來模擬轉(zhuǎn)矩，健康齒輪加載模型如圖4所示。其中，切向力的大小由公式(7)來確定。

圖4 齒輪副加載模型

切向力F的表達(dá)式為

(7)

式中，T為輸入扭矩；ri為主動輪內(nèi)孔半徑；n為小動輪內(nèi)孔邊界節(jié)點(diǎn)數(shù)。

在健康齒輪模型建立的基礎(chǔ)上，創(chuàng)建裂紋深度q=1 mm、裂紋擴(kuò)展角β=45°，在齒寬方向和齒廓方向采用布爾運(yùn)算建立不同穿透程度Lc和不同高度hi的齒根裂紋，如圖5所示。由圖5c可以看出，當(dāng)hi=0 mm時(shí)，圖5b中的裂紋類型就變成了圖5a中的裂紋類型，圖5a中的Lc即為圖5c中的OB。

圖5 齒根裂紋示意圖

齒輪單雙齒交替嚙合產(chǎn)生的周期性變形是引起齒輪剛度激勵(lì)的原因，輪齒變形的大小直接影響齒輪的嚙合剛度。

嚙合剛度公式

(8)

扭轉(zhuǎn)嚙合剛度公式

(9)

扭轉(zhuǎn)嚙合剛度與嚙合剛度的關(guān)系為

(10)

因此齒輪嚙合剛度公式

(11)

式中，T為齒輪轉(zhuǎn)矩；Δθ為齒輪轉(zhuǎn)角變形值；rb為基圓半徑。

假設(shè)雙齒嚙合在零角度位置，在單雙齒嚙合區(qū)的內(nèi)設(shè)置合理的步長，提取每一轉(zhuǎn)角下的變形量，由嚙合剛度計(jì)算原理求得嚙合剛度，如圖6所示。

圖6 健康齒輪嚙合剛度

2.2 ISO驗(yàn)證健康齒輪嚙合剛度

ISO6336-1∶2006中給出，單對齒嚙合剛度的最大值為

(12)

(13)

式中，q′為輪齒柔度的最小值，mm·μm/N

(14)

式中，Zn1為小齒輪當(dāng)量齒數(shù)；Zn2為大齒輪當(dāng)量齒數(shù)；系數(shù)參數(shù)如表2所示。

表2 系數(shù)參數(shù)

齒輪嚙合剛度均值的計(jì)算公式為

cr=(0.75εa+0.25)c′

(15)

式中，εα為重合度。

由ISO標(biāo)準(zhǔn)可知，α=20°的齒輪副，當(dāng)變位系數(shù)X1≥X2、-0.5≤X1+X2≤2時(shí)，單齒嚙合剛度的最大值為[15]

k=0.8×103b/q′ N/mm

(16)

利用有限元法和ISO標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算齒輪的單齒嚙合剛度最大值、齒輪嚙合剛度均值，兩者相互比較，如表3所示，可得到有限元法與ISO標(biāo)準(zhǔn)值較為接近，由此證明了有限元法的有效性。

表3 嚙合剛度計(jì)算誤差比較

3 裂紋齒輪嚙合剛度分析

3.1 不同穿透程度的裂紋齒輪的嚙合剛度

不同穿透程度的裂紋齒輪，即為圖5c中hi=0 mm，只改變OB的長度(即OB=Lc)。在健康齒輪模型的基礎(chǔ)上，創(chuàng)建非穿透型齒根裂紋，來模擬實(shí)際工程中的齒輪裂紋情況，如圖5a所示。其中深度q=1 mm，裂紋擴(kuò)展角β=45°，齒寬方向裂紋穿透程度為25%、50%、75%、100%(即Lc=5 mm、10 mm、15 mm、20 mm)的裂紋。在通透型裂紋尖端處，采用四分之一節(jié)點(diǎn)位移法，將裂紋尖端附近單元邊上的節(jié)點(diǎn)調(diào)到裂紋尖端節(jié)點(diǎn)位置，使得裂紋尖端處網(wǎng)格具有奇異性，如圖7所示。

圖7 裂紋齒輪網(wǎng)格模型

根據(jù)健康齒輪嚙合剛度的分析方法，來分析裂紋深度q=1 mm，裂紋擴(kuò)展角β=45°，齒寬方向不同穿透程度的齒根裂紋對齒輪嚙合剛度的影響。提取主動輪扭轉(zhuǎn)變形量，由嚙合剛度計(jì)算原理計(jì)算出嚙合剛度值，如圖8所示。

圖8 不同穿透程度的裂紋齒輪嚙合剛度

由圖8可知，在裂紋齒參與嚙合的兩個(gè)嚙合周期內(nèi)嚙合剛度都有所減小，并且后一嚙合周期較前一嚙合周期減小的幅度稍小。隨著裂紋在齒寬方向穿透程度(Lc)的增加，嚙合剛度的降低幅度隨之增加。Lc從0增加到50%的時(shí)候，齒輪副嚙合剛度的減小幅度稍??；當(dāng)Lc從50%增加到75%、75%增加到100%時(shí)嚙合剛度的減小幅度明顯增大。

3.2 齒廓方向裂紋尾部不同高度的裂紋齒輪的嚙合剛度

為了進(jìn)一步分析非穿透型裂紋對齒輪副嚙合剛度的影響，還考慮了齒廓方向裂紋尾部不同高度的裂紋齒輪，即為圖5c中OB不變，只改變hi的高度。建立了深度q=1 mm，裂紋擴(kuò)展角β=45°，齒寬方向裂紋穿透程度為50%裂紋齒輪(即Lc=10 mm)，齒廓方向裂紋尾部的高h(yuǎn)i設(shè)為從分度圓處投影到水平面(即圖5c中的OB)平均分為三份(即hi=0 mm、0.65 mm、1.30 mm、1.95 mm)的裂紋齒輪，如圖5b、圖5c所示。

圖9 裂紋尾部不同高度裂紋齒輪嚙合剛度

由圖9可知，當(dāng)hi不斷增大時(shí)，嚙合剛度則隨之逐漸減小。其中雙齒嚙合區(qū)的減小幅度要稍大些，單齒嚙合區(qū)的減小幅度明顯小于雙齒嚙合區(qū)的減小幅度。從齒寬方向50%的裂紋，齒廓方向hi為0 mm增加到1.95 mm時(shí)嚙合剛度的減小幅度幾乎相同。

4 不同裂紋類型對等效應(yīng)力及位移的影響

為了分析不同裂紋類型對等效應(yīng)力和總位移的影響，提取了主動輪上四條路徑的等效應(yīng)力和總位移，路徑位置如圖10所示。路徑1為此時(shí)的嚙合線、路徑2在分度圓處、路徑3靠近裂紋處、路徑4最靠近齒根處，四條路徑上的等效應(yīng)力如圖11所示，總位移如圖12所示。

圖10 主動輪上的路徑位置示意圖

對于健康齒輪，等效應(yīng)力的分布沿齒寬不均勻，如圖11所示。兩齒邊緣的等效應(yīng)力與齒中間的應(yīng)力不同，表明等效應(yīng)力和應(yīng)變狀態(tài)分別出現(xiàn)在齒緣和中間部分。

對于穿透程度達(dá)到50%的裂紋齒輪，如圖11b、圖11c、圖11d所示(即路徑2、3、4中)，在裂紋部分(即齒寬在0～10 mm處)的等效應(yīng)力小于非穿透型裂紋健康部分的等效應(yīng)力。然而，路徑1上的50%裂紋齒輪的等效應(yīng)力的變化趨勢與健康齒輪的變化趨勢相似，這是因?yàn)槁窂?為此時(shí)的嚙合線。

通透型裂紋齒輪的等效應(yīng)力分布類似于健康齒輪應(yīng)力的分布。然而，等效壓力的大小是不同的。當(dāng)出現(xiàn)裂紋時(shí)，路徑2、3、4下的等效應(yīng)力急劇下降。以路徑3為例，裂紋部分的等效應(yīng)力約為0.095×109Pa，而健康齒輪對的應(yīng)力約為1.27×109Pa如圖11c所示。

圖11 不同路徑下的等效應(yīng)力

健康齒輪的總位移分布沿齒寬方向也是不均勻的，在兩端齒邊緣的位移大于齒中間部位的位移如圖12所示。對于非穿透型裂紋來說，路徑1和2的位移變化趨勢與健康齒輪相似,如圖12a、圖12b所示，但路徑3和4裂紋部分(即齒寬在0～10 mm處)的位移大于健康部分的位移的，如圖12c、圖12d所示。在通透型裂紋齒輪下，除路徑1以外的所有路徑上的總位移都大于健康齒輪的總位移。

圖12 不同路徑下的總位移

5 結(jié)論

(1)對非穿透型齒根裂紋擴(kuò)展的模擬得到了齒根裂紋的擴(kuò)展路徑，并且應(yīng)力強(qiáng)度因子隨著裂紋穿透程度的增大而增大，而KⅠ的增加幅度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于KⅡ的增加幅度。由于KⅠ明顯大于KⅡ，表明了齒輪的斷裂主要受Ⅰ型裂紋的影響。

(2)隨著裂紋在齒寬方向上穿透程度的增加，齒輪副的嚙合剛度隨之減小。裂紋的穿透程度從0增加到50%的過程中，嚙合剛度的減小幅度較??；當(dāng)裂紋的穿透程度達(dá)到50%以上時(shí)，齒輪嚙合剛度的減小幅度明顯增大。

(3)對于齒廓方向上裂紋尾部的不同高度hi對嚙合剛度的影響，沒有齒寬方向上裂紋長度Lc對嚙合剛度的影響顯著。隨著裂紋尾部高度的增加，嚙合剛的減小幅度明顯小于不同穿透程度的裂紋齒輪嚙合剛度的減小幅度。

(4)在通透型裂紋齒輪下的等效應(yīng)力、總位移的分布與健康齒輪的分布趨勢相似；在非穿透型裂紋齒輪下的等效應(yīng)力和總位移波動較大些，表明了非穿透型裂紋是齒輪加載分布不均勻。