陳智偉，張興福，胡 波，劉 成

(1.廣東工業(yè)大學(xué)測(cè)繪工程系，廣東 廣州 510006；2.中國鐵路設(shè)計(jì)集團(tuán)有限公司，天津 300251)

GNSS測(cè)量能夠精確快速獲取地面點(diǎn)的三維坐標(biāo)，通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換可以獲得地面點(diǎn)在國家或工程坐標(biāo)系中的高精度平面坐標(biāo)，但是由于GNSS測(cè)量獲取的是大地高，無法直接用于工程建設(shè)，需要通過高程轉(zhuǎn)換將大地高轉(zhuǎn)換為正常高。高程轉(zhuǎn)換的精度受數(shù)學(xué)模型、GNSS/水準(zhǔn)點(diǎn)的密度，以及分布情況、測(cè)區(qū)高程異常起伏大小等多重因素的影響，因此在實(shí)際應(yīng)用中還需要開展大量的試驗(yàn)研究。

目前確定高程異常值的常用方法主要有：函數(shù)模型擬合法[1-4](平面、曲面等)、區(qū)域似大地水準(zhǔn)面模型法[5-6]、重力場(chǎng)模型法[7-9]、基于移去恢復(fù)技術(shù)的函數(shù)模型擬合法[10-12]等。不同方法具有不同的適用性，其高程轉(zhuǎn)換的精度也各不相同。徑向基函數(shù)(radial basis functions，RBF)以其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、擬合精度較高、收斂速度快等優(yōu)勢(shì)被廣泛應(yīng)用于非線性函數(shù)逼近、模型分類等領(lǐng)域[13]。因此本文以美國GSVS2011項(xiàng)目的GNSS/水準(zhǔn)數(shù)據(jù)為例，對(duì)利用RBF實(shí)現(xiàn)GNSS高程轉(zhuǎn)換方法展開研究，詳細(xì)分析Thinplate、Cubic、Gaussian、Multiquadrics、Linear 5種RBF核函數(shù)的GNSS高程轉(zhuǎn)換精度。

1 方法和原理

RBF可以看作是一個(gè)高維空間中的模型擬合(逼近)問題，通過學(xué)習(xí)在多維空間中尋找一個(gè)與訓(xùn)練數(shù)據(jù)最佳匹配的模型，用該模型處理檢核數(shù)據(jù)。RBF的結(jié)構(gòu)分為3層：第1層為輸入層，將已知數(shù)據(jù)通過該層輸入系統(tǒng)，作為訓(xùn)練學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)；第2層為隱含層(核函數(shù)層)，作為已知數(shù)據(jù)訓(xùn)練的依據(jù)；第3層為輸出層，通過對(duì)核函數(shù)訓(xùn)練模型的結(jié)果進(jìn)行加權(quán)處理[14-15]，使輸出結(jié)果達(dá)到最優(yōu)。數(shù)據(jù)處理基本流程如圖1所示。

圖1 數(shù)據(jù)處理流程

下面為5種RBF核函數(shù)的表達(dá)式，用φ(r)表示。

Thinplate核函數(shù)

φ(r)=r2ln(r+1)

(1)

Cubic核函數(shù)

φ(r)=r3

(2)

Gaussian核函數(shù)

(3)

Multiquadrics核函數(shù)

(4)

Linear核函數(shù)

φ(r)=r

(5)

徑向基函數(shù)的插值函數(shù)表達(dá)式為

(6)

2 算例及精度分析

本文采用美國GSVS2011項(xiàng)目(https:∥www.ngs.noaa.gov/)的GNSS/水準(zhǔn)數(shù)據(jù)，該線路長(zhǎng)度約325 km，共有218個(gè)GNSS/水準(zhǔn)點(diǎn)，相鄰兩個(gè)點(diǎn)相隔約1.5 km，線路GNSS/水準(zhǔn)點(diǎn)分布和沿線高程異常起伏情況如圖2、圖3所示。利用該數(shù)據(jù)對(duì)第1節(jié)中5種RBF核函數(shù)的擬合精度進(jìn)行分析，本次試驗(yàn)共有6種選點(diǎn)方案，具體方案見表1。表1中“a(5 km)”代表方案a中的點(diǎn)間距約5 km，其他以此類推。為了方便論述，用字母T、C、G、M、L分別代表Thinplate核函數(shù)、Cubic核函數(shù)、Gaussian核函數(shù)、Multiquadrics核函數(shù)、Linear核函數(shù)。

圖2 GNSS/水準(zhǔn)點(diǎn)分布情況

圖3 沿線高程異常起伏情況

表1 選點(diǎn)方案

根據(jù)以上6種選點(diǎn)方案分別進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，采用式(7)進(jìn)行精度統(tǒng)計(jì)

(7)

式中，vi為檢核點(diǎn)的實(shí)測(cè)值和擬合值的差值；n為檢核點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

RBF的5種核函數(shù)在各檢核點(diǎn)處的殘差值如圖4所示，殘差值的最大值、最小值、平均值與擬合精度統(tǒng)計(jì)結(jié)果見表2。各模型在不同點(diǎn)間距情況下的高程擬合精度如圖5所示。

圖4 各方案殘差值

表2 擬合高程精度統(tǒng)計(jì) mm

由表2及圖5可知，除核函數(shù)G外，其余核函數(shù)高程擬合殘差絕對(duì)值均不超過10.0 cm；當(dāng)點(diǎn)間距不大于15 km時(shí)，T、C、M這3種核函數(shù)的擬合精度相當(dāng)，擬合精度約1.0 cm，高程殘差絕對(duì)值均小于5.0 cm；當(dāng)點(diǎn)間距從15 km減小到5 km時(shí)，G、L兩種核函數(shù)擬合精度分別從1.7 cm、1.6 cm提高到1.2 cm、1.0 cm，而且點(diǎn)間距為5 km時(shí)，高程擬合殘差絕對(duì)值均不超過4.0 cm；當(dāng)點(diǎn)間距30 km減小到15 km時(shí)，5種核函數(shù)的擬合精度迅速提高，分別提高了1.6 cm、2.1 cm、2.5 cm、1.7 cm和1.3 cm，而且點(diǎn)間距為15 km時(shí)，高程擬合殘差絕對(duì)值均不超過7.0 cm。

為了進(jìn)一步分析5種RBF核函數(shù)的擬合精度，現(xiàn)根據(jù)工程測(cè)量規(guī)范(GB 50026—2007)對(duì)6種方案的高差擬合精度進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果見表3。由表4可知，T、C、M這3種核函數(shù)在各種選點(diǎn)方案中超過95.3%的擬合高差均滿足四等水準(zhǔn)測(cè)量的限差要求，而且在方案b中能達(dá)到98.0%；G、L兩種核函數(shù)分別有超過90.7%和92.5%的擬合高差滿足四等水準(zhǔn)測(cè)量限差要求。高差擬合精度超出四等水準(zhǔn)測(cè)量限差的測(cè)段主要出現(xiàn)在線路約50 km、85 km、200 km和300 km等處(如圖3所示)，原因是這些區(qū)域的高程異常變化復(fù)雜，在50 km處的高程異常變化尤為明顯。另外，除了方案a中的核函數(shù)G滿足五等水準(zhǔn)測(cè)量限差要求的比例為95.4%，其他的方案滿足五等水準(zhǔn)測(cè)量限差要求的比例均超過98%，而且超限的測(cè)段主要在線路約50 km處。

圖5 高程擬合精度統(tǒng)計(jì)

表3 擬合高差精度統(tǒng)計(jì) (%)

3 結(jié) 論

本文研究基于5種RBF核函數(shù)的高程擬合方法，統(tǒng)計(jì)分析了不同點(diǎn)間距下各種核函數(shù)模型在擬合線狀工程中GNSS高程轉(zhuǎn)換的精度，結(jié)論如下：

(1) 高程擬合精度統(tǒng)計(jì)表明，當(dāng)點(diǎn)間距較小時(shí)，5種核函數(shù)均能獲得較好的擬合精度。當(dāng)點(diǎn)間距從30 km減小到15 km時(shí)，5種核函數(shù)的擬合精度均迅速提高；當(dāng)點(diǎn)間距不大于15 km時(shí)，T、C、M這3種核函數(shù)的擬合精度約為1.0 cm。

(2) 在高差精度統(tǒng)計(jì)中，T、C、M這3種核函數(shù)滿足四等水準(zhǔn)測(cè)量限差要求的比例超過95.3%，滿足五等水準(zhǔn)測(cè)量限差要求的比例超過98.0%，均優(yōu)于G、L兩種核函數(shù)。

(3) 在高程異常變化較為平坦的測(cè)區(qū)，用RBF擬合時(shí)建議點(diǎn)間距不宜大于30 km。