陳 星，王 艷，吳 漩

(重慶師范大學 數(shù)學科學學院，重慶 401331)(*通信作者電子郵箱905740114@qq.com)

0 引言

圖像分割是圖像處理的關(guān)鍵步驟，其目的是把圖像分割成若干個具有獨特性質(zhì)的區(qū)域并對其中感興趣的目標加以提取。到目前為止，大量的圖像分割算法被提出，其中，幾何活動輪廓模型憑借其獨特的優(yōu)勢，如對分割目標具有較大的捕獲范圍、可有效地處理拓撲結(jié)構(gòu)的變化等，近年來被廣泛應(yīng)用[1-6]。

幾何活動輪廓模型可分為兩大類，即基于邊緣的活動輪廓模型[7-8]和基于區(qū)域的活動輪廓模型[9-10]。其中，前者利用圖像的梯度信息驅(qū)使活動輪廓朝目標邊緣移動，而后者利用的是圖像的區(qū)域信息。這兩類模型的分割效果取決于待分割圖像所具有的具體特征，本文討論的是基于區(qū)域的活動輪廓模型。

根據(jù)所利用的區(qū)域信息的特點，基于區(qū)域的活動輪廓模型又可分為基于全局圖像信息的區(qū)域模型和基于局部圖像信息的區(qū)域模型。分片常值(Piecewise Constant, PC)模型[11]是一個典型的基于全局圖像信息的區(qū)域模型,常稱為C-V(Chan-Vese)模型，其主要優(yōu)點是計算的復(fù)雜度較低、演化結(jié)果對初始輪廓不敏感等，但其無法實現(xiàn)對圖像的快速分割，且無法分割灰度不均圖像和復(fù)雜圖像。

為了提高圖像分割的速度，研究者們從不同方向?qū)-V模型進行了改進，張開華等[12]提出的改進C-V模型，能夠快速分割圖像，且抗噪性較強；周小舟等[13]提出的基于C-V水平集的梯度加速模型，在提高分割速度的同時，可以提高分割精度且保證分割過程的穩(wěn)定性。為了處理灰度不均圖像，基于局部圖像信息的區(qū)域模型被提出。如Zhang等[14]提出了一種局部統(tǒng)計活動輪廓模型(Local Statistic Active Contour Model, LSACM)，該模型可直接應(yīng)用于3T和7T磁共振圖像的同時分割和偏差校正。Li等[15]提出了著名的區(qū)域可變擬合(Region-Scalable Fitting, RSF)模型，但是其演化速度較慢；為了彌補RSF模型的不足，Zhang等[16]提出了局部圖像擬合(Local Image Fitting, LIF)模型，實現(xiàn)了對灰度不均圖像的有效分割，但其存在分割結(jié)果對初始輪廓的大小、形狀和位置較為敏感的不足。

為了克服LIF模型的不足，許多學者通過融入全局圖像信息使分割結(jié)果對初始輪廓的敏感度降低[17]。受此啟發(fā)，本文借鑒基于變異系數(shù)的分片常值圖像快速分割模型[18]的思想，在LIF模型的基礎(chǔ)上融入全局圖像信息，從而提出一個結(jié)合全局信息的局部圖像灰度擬合模型，解決了LIF模型對初始輪廓的大小、形狀和位置敏感的問題，而且在無初始輪廓的情形下，該模型也能快速分割一些真實圖像和人造圖像。

1 相關(guān)模型

1.1 LIF模型

LIF模型利用分片光滑函數(shù)來模擬原始圖像，具體地講，對于圖像區(qū)域Ω中的任意一點x，圖像的局部灰度擬合函數(shù)被定義為：

ILIF=m1Hε(φ)+m2(1-Hε(φ))

其中，圖像局部加權(quán)平均灰度m1、m2的定義方式如下：

(1)

式中，Wk(x)是一個矩形窗口函數(shù)。LIF模型選取的是大小為(4k+1)×(4k+1)的矩形窗口函數(shù)Kσ(x)，其中，σ為標準差，k為小于σ的最大整數(shù)。

LIF模型的能量泛函定義為：

(2)

根據(jù)變分原理和梯度下降流方法，LIF模型最終的水平集演化方程為：

(3)

LIF模型能有效地分割灰度不均圖像，但由于m1、m2為圖像的局部加權(quán)平均灰度，只涉及到圖像的局部灰度信息，并沒有涉及到全局圖像信息，所以該模型雖然能夠有效地分割灰度不均圖像，但是分割結(jié)果對初始輪廓的大小、形狀和位置較為敏感。

1.2 基于變異系數(shù)的分片常值圖像快速分割模型

文獻[18]定義了如下能量泛函：

(4)

其中：μ、λ1、λ2均為常數(shù)；C表示演化曲線。

將正則化的Heaviside函數(shù)H(φ)引入式(4)中，則式(4)可轉(zhuǎn)化為一個關(guān)于嵌入函數(shù)φ的能量泛函，固定φ，分別相對c1、c2極小化能量泛函式(4)，可得：

(5)

(6)

根據(jù)變分原理和梯度下降流方法，得到關(guān)于φ的歐拉方程：

(7)

其中，δε(φ)為正則化的Dirac函數(shù)。

(8)

該模型能夠?qū)崿F(xiàn)分片常值圖像的快速分割，且對初始輪廓的魯棒性較強，但由于不包含局部圖像信息，因此不能有效地分割灰度不均圖像。

2 本文模型

2.1 模型描述

第1.1節(jié)已經(jīng)指出，LIF模型能夠有效地分割灰度不均圖像，但由于不包含全局圖像信息，所以對初始輪廓的大小、形狀和位置較為敏感。而文獻[18]對初始輪廓大小、形狀和位置的選取都不敏感，但由于不包含局部圖像信息，所以不能較好地分割灰度不均圖像。

本文直接從水平集演化的偏微分方程入手，構(gòu)造一個包含局部項和全局項的偏微分演化方程。

局部項FL選取為LIF模型的右端項，即：

FL=δε(φ)(I-ILIF)(m1-m2)

(9)

其中ILIF=m1Hε(φ)+m2(1-Hε(φ))，m1、m2的計算方法和LIF模型相同，且本文和LIF模型選取相同的矩形窗口函數(shù)Kσ(x)，Hε(φ)和δε(φ)為正則化的Heaviside函數(shù)和Dirac函數(shù)，定義方式如下：

(10)

(11)

其中，c1、c2的計算方法和文獻[18]相同。

綜上所述，本文模型定義為：

(12)

其中，參數(shù)ω(ω>0)為權(quán)重系數(shù)，其作用是控制局部項和全局項對待分割圖像的影響，局部項可以使本文模型有效地分割灰度不均圖像，全局項可以實現(xiàn)對初始輪廓的魯棒性，參數(shù)ω的具體取值取決于待分割圖像的具體特征，如目標和背景的復(fù)雜程度。若圖像比較簡單，未呈現(xiàn)出較為嚴重的灰度不均，則ω應(yīng)選取較大值；相反的，若圖像比較復(fù)雜，呈現(xiàn)出嚴重灰度不均，則ω應(yīng)選取較小值。因此，若適當選取ω，本文模型既能有效地分割灰度不均圖像，又能使分割結(jié)果對初始輪廓的大小、形狀和位置都不敏感。在本文中，除特別說明外，參數(shù)ω的默認值選取為1。

2.2 數(shù)值實現(xiàn)

φn+1=φn+Δt·F(φn)

(13)

在傳統(tǒng)的水平集方法中，水平集函數(shù)通常初始化為符號距離函數(shù)，而且為了避免水平集函數(shù)在演化過程中過于陡峭和平滑，必須周期性地重新初始化水平集函數(shù)為符號距離函數(shù)，這將會導(dǎo)致計算復(fù)雜度較高、耗時較長。本文模型允許水平集函數(shù)初始化為二值函數(shù)和常值函數(shù)，而且在整個演化過程中，水平集函數(shù)φ無需重新初始化。此外，為了確保水平集函數(shù)的光滑作用，本文模型以Zhang等[19]提出的高斯濾波φ=Gζ*φ代替?zhèn)鹘y(tǒng)正則項div(▽φ/|▽φ|)δ(φ)來正則化水平集函數(shù)。

本文模型數(shù)值實現(xiàn)的算法步驟可歸納為以下幾步：

步驟1 初始化水平集函數(shù)φ，并設(shè)置n=0。

二值水平集定義方式為：

常值水平集定義方式為：

φ0=φ(t=0)=0

其中，Ω0為圖像區(qū)域Ω的一個子集，?Ω0為Ω的邊界。

步驟2 按照式(5)和式(6)計算c1(φn)、c2(φn)，按照式(1)計算m1(φn)、m2(φn)。

步驟3 按照式(13)演化水平集函數(shù)φ，得到φn+1。

步驟5 檢查迭代過程是否收斂,若收斂，則停止演化；若不收斂，則設(shè)置n=n+1，并返回步驟2。

3 實驗結(jié)果與分析

本章通過實驗驗證所提模型具有以下性能:1)能有效地分割灰度不均圖像;2)對初始輪廓具有較強的魯棒性，具體表現(xiàn)為對初始輪廓的大小、形狀和位置都不敏感;3)在無初始輪廓的情形下，能快速分割一些真實圖像和人造圖像。

數(shù)值實現(xiàn)采用有限差分法，程序用Matlab R2016a編寫，運行平臺為Windows 10的聯(lián)想電腦，處理器為Intel(R) Core (TM) i5-6200U CPU @ 2.30 GHz，內(nèi)存為4.00 GB。

本文模型中，選取ε=1，ζ=0.5，Δt=0.005，m=5，除特別說明外，默認參數(shù)ω=1，參數(shù)σ的值在實驗中具體給出。需要指出的是，若圖像呈現(xiàn)出嚴重灰度不均，σ應(yīng)選取較小值(0.2～6)，收斂的迭代次數(shù)相對較多，但迭代過程更穩(wěn)定；若圖像未呈現(xiàn)出較為嚴重的灰度不均，σ應(yīng)選取較大值(6～15)，收斂的迭代次數(shù)相對較少，但σ的值不宜過大，否則會導(dǎo)致迭代過程不穩(wěn)定(通常σ的取值在0.2～15)，各圖中的迭代次數(shù)均為實驗時圖像得以正確分割且達到穩(wěn)定狀態(tài)的迭代次數(shù)。

3.1 對灰度不均圖像的分割

文獻[18]模型和本文模型分別對一幅像素大小為133×136的三相圖像、一幅像素大小為335×333的人造圖像、一幅像素大小為103×97的人造圖像、一幅像素大小為217×227的大腦外輪廓圖像的分割結(jié)果如圖1所示，其中前兩幅為灰度均勻圖像，后兩幅為典型的灰度不均圖像。從圖1可以看出：文獻[18]模型只能分割灰度均勻圖像，不能處理灰度不均圖像；而本文模型既能分割灰度均勻圖像，也能有效地分割灰度不均圖像。在該實驗中，選取的初始輪廓是以中心像素點為圓心，半徑分別為50、50、25、50的圓形初始輪廓，參數(shù)σ分別選取為5、5、8、13，其中，后兩幅圖像的ω均選取為0.01。

圖1 不同模型的分割結(jié)果對比Fig. 1 Segmentation result comparison of different models

3.2 初始輪廓大小的敏感性

LIF模型、LSACM和本文模型對一幅像素大小為135×126的遙感圖像的分割結(jié)果如圖2所示。從圖2可以看出，當初始輪廓選取為一組圓心相同、半徑不同的圓形時，本文模型的分割過程比較穩(wěn)定，其分割結(jié)果不受圓形初始輪廓大小的影響；而LIF模型對圓形初始輪廓的大小較為敏感，分割結(jié)果依賴于初始輪廓半徑的大小，LIF模型和LSACM的分割結(jié)果不準確。LIF模型、LSACM和本文模型的迭代次數(shù)和分割時間對比如表1所示(表1～4中的“—”均表示相應(yīng)模型無法正確分割圖像)。

從表1可以看出，本文模型的分割速度較LIF模型有了明顯的提升，迭代次數(shù)和分割時間大致縮短為LIF模型的三分之一。此外，本文模型的分割時間明顯少于LSACM。在該實驗中，選取的初始輪廓是以中心像素點為圓心，半徑大小分別為25、30、40、50的圓形初始輪廓，參數(shù)σ=1。

圖2 圓形初始輪廓大小不同時不種模型的分割結(jié)果對比Fig. 2 Segmentation result comparison of different models with different initial circular contour sizes表1 不同模型分割圖2中圖像的迭代次數(shù)和分割時間Tab.1 Iteration numbers and segmentation times of images inFig. 2 segmented by different models

模型圖像1迭代次數(shù)分割時間/s圖像2迭代次數(shù)分割時間/s圖像3迭代次數(shù)分割時間/s圖像4迭代次數(shù)分割時間/sLIF23008.278216505.7890————LSACM1005.40291609.487030014.516650023.7972本文模型7002.58656502.40595302.05514301.5819

LIF模型、RSF模型、LSACM和本文模型對一幅像素大小為107×121的CT圖像的分割結(jié)果如圖3所示。

圖3 矩形初始輪廓大小不同時不同模型的分割結(jié)果對比Fig. 3 Segmentation result comparison of different models with different rectangular initial contour sizes

從圖3可以看出，當初始輪廓選取為一組形狀相同、大小不同的矩形時，本文模型均能得到正確的分割結(jié)果；而LIF模型和RSF模型對矩形初始輪廓的大小較為敏感，若初始輪廓大小選取不當，將無法得到正確的分割結(jié)果，RSF模型和LSACM的分割結(jié)果不準確。LIF模型、RSF模型、LSACM和本文模型的迭代次數(shù)和分割時間對比如表2所示。從表2可以看出，本文模型的分割速度較LIF模型有了明顯的提升，迭代次數(shù)和分割時間大致縮短為LIF模型的二分之一，分割時間少于LSACM。在該實驗中，選取的初始輪廓為矩形初始輪廓，其大小分別(45：65,45：65)、(35：75,35：75)、(25：85,25：85)、(20：90,20：90)，其中 (a：b,c：d)表示一個對稱中心位于原圖像的((a+b)/2,(c+d)/2)點處、大小為(b-a)×(d-c)的矩形。LIF模型選取σ=2，本文模型選取σ=2.5、ω=0.1。

表2 不同模型分割圖3中圖像的迭代次數(shù)和分割時間Tab. 2 Iteration numbers and segmentation times of images in Fig. 3 segmented by different models

3.3 初始輪廓形狀的敏感性

LIF模型和本文模型對一幅像素大小為63×58的灰度不均圖像的分割結(jié)果如圖4所示。從圖4可以看出，當選取不同形狀的初始輪廓時，本文模型的分割結(jié)果不受影響，且迭代次數(shù)比較穩(wěn)定，均為140次左右；而LIF模型對初始輪廓的形狀較為敏感，當初始輪廓的形狀選取不當時，將不能得到正確的分割結(jié)果，且迭代次數(shù)也依賴于初始輪廓形狀的選取。在該實驗中，選取的初始輪廓為矩形初始輪廓，其大小分別為(25：35,25：35)、(25：45,25：35)、(25：35,25：45)、(25：30,25：60)，參數(shù)σ=3。

圖4 初始輪廓形狀不同時不同模型的分割結(jié)果對比Fig. 4 Segmentation result comparison of different models with different initial contour shapes

3.4 初始輪廓位置的敏感性

LIF模型、RSF模型、LSACM和本文模型對一幅像素大小為195×183的細胞圖像的分割結(jié)果如圖5所示。從圖5可以看出，當選取不同位置的圓形初始輪廓時，本文模型的分割結(jié)果不受影響；LIF模型和RSF模型在初始輪廓的位置選取不當時不能正確分割圖像，LSACM無法得到準確的分割結(jié)果。LIF模型、RSF模型、LSACM和本文模型的迭代次數(shù)和分割時間對比如表3所示。從表3可以看出，本文模型迭代次數(shù)較少，且分割時間少于LIF模型和LSACM。在該實驗中，初始輪廓選取為位置不同、大小相同的圓形初始輪廓，其圓心的像素點分別為(0,0)、(+70,0)、(0,-70)、(0,+70)，半徑大小均為15，LIF模型選取σ=10，本文模型選取σ=2.5。

圖5 圓形初始輪廓位置不同時不同模型的分割結(jié)果對比Fig. 5 Segmentation result comparison of different models with different circular initial contour locations表3 不同模型分割圖5中圖像的迭代次數(shù)和分割時間Tab. 3 Iteration numbers and segmentation times of images inFig. 5 segmented by different models

模型圖像1迭代次數(shù)分割時間/s圖像2迭代次數(shù)分割時間/s圖像3迭代次數(shù)分割時間/s圖像4迭代次數(shù)分割時間/sLIF16515.0710——5150523.1069——RSF302.2447——55534.8911——LSACM809.0574808.998315016.9207809.0146本文模型4304.72441551.75951201.36241101.2584

LIF模型、RSF模型、LSACM和本文模型對一幅像素大小為88×88的血管圖像的分割結(jié)果如圖6所示。從圖6可以看出，當初始輪廓選取為不同位置的矩形初始輪廓時，本文模型的分割結(jié)果不受影響；而LIF模型和RSF模型對矩形初始輪廓的位置較為敏感，其分割結(jié)果依賴于矩形初始輪廓位置的選取，此外，RSF模型和LSACM無法得到準確的分割結(jié)果。LIF模型、RSF模型、LSACM和本文模型對圖5中四幅圖像的迭代次數(shù)和分割時間對比如表4所示。從表4可看出，本文模型的迭代次數(shù)明顯少于LIF模型，且分割時間少于LIF模型、RSF模型和LSACM。在該實驗中，初始輪廓選取的是位置分別為(40：55,40：55)、(10：25,10：25)、(40：55,10：25)、(10：25,65：80)的矩形，參數(shù)σ=3、ω=0.3。

3.5 無需初始輪廓的圖像分割

本文模型分別對一幅像素大小為146×142的二值圖像、一幅像素大小為256×256的多目標大米圖像、一幅像素大小為285×228的深度圖像、一幅像素大小為136×136的漸變圖像和一幅像素大小為211×161的真實圖像的分割結(jié)果如圖7所示。從圖7可以看出，在無初始輪廓的情形下，本文模型可以快速有效地分割這些真實圖像和人造圖像。在該實驗中，參數(shù)σ的值分別選取3、3.7、1、3。

圖6 矩形初始輪廓位置不同時不同模型的分割結(jié)果對比Fig. 6 Segmentation result comparison of different models with different rectangular initial contour locations表4 不同模型分割圖6中圖像的迭代次數(shù)和分割時間Tab. 4 Iteration numbers and segmentation times of images inFig. 6 segmented by different models

模型圖像1迭代次數(shù)分割時間/s圖像2迭代次數(shù)分割時間/s圖像3迭代次數(shù)分割時間/s圖像4迭代次數(shù)分割時間/sLIF——6502.6171375015.0071——RSF4303.25713202.62884403.3604——LSACM1953.77091903.58272254.17542254.2208本文模型5152.09785302.15374351.75485152.1191

圖7 無初始輪廓情形下本文模型對部分圖像的分割結(jié)果Fig. 7 Segmentation results of partial images by the proposed model without initial contour

4 結(jié)語

本文提出一個以偏微分方程形式存在的結(jié)合全局信息的局部圖像灰度擬合模型，該模型既能分割灰度均勻圖像，也能有效處理灰度不均圖像，而且對初始輪廓具有較強的魯棒性，同時在無初始輪廓的情形下能夠快速分割一些真實圖像和人造圖像。然而本文模型的迭代次數(shù)有待提高，且在無初始輪廓的情形下無法分割灰度不均圖像，因此如何使得模型減少迭代次數(shù)，在無初始輪廓的情形下分割灰度不均圖像等更多種類的圖像，將是我們接下來的工作。