（海軍航空大學(xué) 煙臺 264001）

1 引言

1914年，英國工程師F.W.Lanchester提出Lanchester方程［1］。該類方程首次使用數(shù)學(xué)方法定量分析戰(zhàn)爭結(jié)果與作戰(zhàn)雙方兵力規(guī)模和火力強(qiáng)弱的關(guān)系，許多學(xué)者針對該類方程的線性率和平方率進(jìn)行了系統(tǒng)的研究［2～4］，并針對不同的情況對方程進(jìn)行補(bǔ)充與拓展［5～12］。在之前的研究中，大多研究對象為兩方作戰(zhàn)［13～17］，對于三方作戰(zhàn)的研究處于起步階段［18］。在在當(dāng)前錯(cuò)綜復(fù)雜的世界格局里，一些國家和地區(qū)不可避免地會出現(xiàn)內(nèi)亂和多方混戰(zhàn)的情況，比如波斯尼亞內(nèi)戰(zhàn)、伊拉克內(nèi)戰(zhàn)和敘利亞動(dòng)亂［19］，由于缺少理論分析工具，會使國家在分析、處理這種局勢尤其在對戰(zhàn)爭結(jié)果預(yù)測中出現(xiàn)一定的偏差。本文基于這樣的背景下對三方作戰(zhàn)進(jìn)行分析，嘗試得到一些有意義的結(jié)果。

2 三方作戰(zhàn)Lanchester模型

2.1 經(jīng)典Lanchester作戰(zhàn)模型

經(jīng)典Lanchester作戰(zhàn)模型中使用B和R表示參戰(zhàn)雙方的兵力，則B(t)和R(t)表示作戰(zhàn)雙方在t時(shí)刻的部隊(duì)規(guī)模，其具體形式如式（1）所示：

其中 F(x，y)和G(x，y)表示在t時(shí)刻 B和 R的戰(zhàn)斗損傷兵力數(shù)，α和β為非戰(zhàn)斗減員系數(shù)，U(t)和V(t)為B和R的增援率。

在不考慮自然環(huán)境、士氣、等條件，方程組（1）可轉(zhuǎn)化為線性率和平方率，分別如式（2）和式（3）所示：

式（2）中al和bl分別表示R和B的損傷系數(shù)，即單位數(shù)量的一方在單位時(shí)間內(nèi)對另一方打擊造成被打擊方損傷的單位數(shù)。式（3）中as和bs與式（2）中的al和bl意義相同。線性率主要適用于間接瞄準(zhǔn)的面射擊情況，即雙方由于地形等因素影響導(dǎo)致無法精確瞄準(zhǔn)而只能對區(qū)域進(jìn)行射擊的情況，適用于表示游擊隊(duì)作戰(zhàn)損傷情況，平方率主要適用于在規(guī)模化集團(tuán)軍隊(duì)?wèi)?zhàn)斗條件，用于擬合正規(guī)軍作戰(zhàn)損傷情況。

2.2 基于經(jīng)典方程的三方Lanchester作戰(zhàn)模型

作戰(zhàn)對象由兩方拓展到三方需要考慮以下因素：一是要考慮參戰(zhàn)部隊(duì)的性質(zhì)，從而確定使用線性率或者平方率。二是要考慮部隊(duì)之間的關(guān)系，由于一方要考慮同時(shí)對兩方作戰(zhàn)，使用的武器和分配的兵力并不完全相同，需考慮兵力分配問題。三是三方作戰(zhàn)隨著時(shí)間的演化會有多種結(jié)果，需分情況分析。

在不考慮士氣、通信和網(wǎng)絡(luò)等條件下建立基于平方率的三方Lanchester作戰(zhàn)模型如式（4）所示：

式中：Ii(t)，i=1，2，3表示第 i方在第 t時(shí)刻的部隊(duì)規(guī)模。 aij，i，j=1，2，3 表示第 j方對第 i方的損傷系數(shù)，這是由戰(zhàn)斗所使用的武器裝備決定的，yij，i，j=1，2，3 表示第 j方對第 i方的兵力分配系數(shù)，這是由作戰(zhàn)策略和兵力分布決定的。Ui(t)，i=1，2，3 為第 i方的增援率。 τ1表示三方作戰(zhàn)第一階段結(jié)束時(shí)間。該模型考慮的作戰(zhàn)三方皆為正規(guī)軍，故以經(jīng)典Lanchester平方率為基礎(chǔ)進(jìn)行拓展。

當(dāng)作戰(zhàn)三方皆為游擊隊(duì)時(shí)，在不考慮其他因素下建立三方作戰(zhàn)Lanchester如式（5）所示：

式（5）與式（4）的參數(shù)意義相同。對于式（4）和式（5），有以下約束條件：Ii(0)≥0=1，aij＞0，i，j=1，2，3。對于三方作戰(zhàn)的任何一方部隊(duì)，其部隊(duì)規(guī)模是有限的，故其必須在初始時(shí)刻部隊(duì)規(guī)模大于等于0才可使得模型有意義，且一方分兵對抗兩方作戰(zhàn)其兵力系數(shù)的總和為1，損傷系數(shù)也不可為負(fù)，否則與戰(zhàn)爭的實(shí)際情況不符。

2.3 混合戰(zhàn)情況下三方Lanchester作戰(zhàn)模型

目前在現(xiàn)實(shí)中的多方作戰(zhàn)，并不是完全的同種性質(zhì)部隊(duì)間的對抗，常常會出現(xiàn)游擊隊(duì)和正規(guī)軍之間的作戰(zhàn)，而正規(guī)軍常常為本國或他國的政府軍，游擊隊(duì)則為本國的反政府武裝或者是極端組織軍隊(duì)。此時(shí)的作戰(zhàn)已經(jīng)屬于混合戰(zhàn)的范疇，需要重新建立模型。

Deithman.S.J于1962年以Lanchester線性率和平方率為依據(jù)，建立Lanchester混合戰(zhàn)模型［20］，假設(shè)藍(lán)方為正規(guī)軍，紅方為游擊隊(duì)，在不考慮自然環(huán)境、士氣和增援等情況下建立模型如下：

式中am和bm分別表示藍(lán)方和紅方的損傷系數(shù)。由于游擊隊(duì)活動(dòng)范圍大，隱蔽性高，與正規(guī)軍交戰(zhàn)時(shí)常采用機(jī)動(dòng)靈活的戰(zhàn)術(shù)，導(dǎo)致正規(guī)軍對游擊隊(duì)的打擊多為間接瞄準(zhǔn)的面射擊，故游擊隊(duì)?wèi)?yīng)符合線性率。而正規(guī)軍多在開闊地帶，所受游擊隊(duì)的范圍打擊，故符合平方率。

在三方作戰(zhàn)中混合率模型分為兩種形式，一種是兩方為正規(guī)軍，一方為游擊隊(duì)，其模型如下所示：

式中，J(t)表示在t時(shí)刻游擊隊(duì)的規(guī)模；Ii(t)，i=1，2表 示 在 t時(shí) 刻 正 規(guī) 軍 的 規(guī) 模 ；bi，i=1，2表示游擊隊(duì)對第i方正規(guī)軍的損傷系數(shù)；aji，i，j=0，1，2，i≠j表示第 i方正規(guī)軍對第 j方的損傷系數(shù)；V(t)和Ui(t)，i=1，2表示游擊隊(duì)和政府軍的增援率。

第二種為兩方為游擊隊(duì)，一方為正規(guī)軍，其模型如下所示：

式中，Ji(t)，i=1，2表示在t時(shí)刻游擊隊(duì)的規(guī)模；I(t) 表 示 在 t 時(shí) 刻 正 規(guī) 軍 的 規(guī) 模 ；bji，i，j=0，1，2，i≠j表示第 i方游擊隊(duì)對第 j方的損傷系數(shù)，ai，i=1，2表示正規(guī)軍對第i方游擊隊(duì)的損傷系數(shù)，Vi(t)，U(t)，i=1，2 表示游擊隊(duì)和政府軍的增援率。

2.4 作戰(zhàn)結(jié)果的情況分析

由于三方作戰(zhàn)與兩方作戰(zhàn)相比結(jié)果更為復(fù)雜，需將作戰(zhàn)分為兩個(gè)階段，第一階段為三方初期作戰(zhàn)階段，時(shí)間范圍為[0，τ1)，此時(shí)三方皆在作戰(zhàn)，到達(dá)時(shí)間點(diǎn)τ1時(shí)，此時(shí)在戰(zhàn)場上最多有兩方作戰(zhàn)，也就是說，在第一階段戰(zhàn)斗結(jié)束后，至少有一方部隊(duì)被消滅。第二階段為決勝作戰(zhàn)階段，時(shí)間范圍為[τ1，τ2)，此時(shí)戰(zhàn)場上最多存在兩方勢力，三方作戰(zhàn)模型轉(zhuǎn)化為經(jīng)典Lanchester作戰(zhàn)模型，當(dāng)?shù)竭_(dá)時(shí)間點(diǎn)τ2時(shí)，此時(shí)戰(zhàn)場上最多有一方，此時(shí)戰(zhàn)斗結(jié)束，僅存的一方獲得戰(zhàn)斗勝利。

同時(shí)由于參數(shù)設(shè)置的不同，最終的作戰(zhàn)結(jié)果會出現(xiàn)以下五種情況：1）在作戰(zhàn)第一階段作戰(zhàn)三方在一定的時(shí)間內(nèi)同時(shí)被消滅，此時(shí)作戰(zhàn)沒有勝利方。2）在作戰(zhàn)第一階段作戰(zhàn)三方在一定的時(shí)間保持穩(wěn)定共存，此時(shí)作戰(zhàn)會一直繼續(xù)直到出現(xiàn)影響平衡的第三方因素出現(xiàn)從而改變作戰(zhàn)結(jié)果。3）在作戰(zhàn)第一階段有一方被消滅，到達(dá)第二階段剩余兩方保持穩(wěn)定共存。4）在作戰(zhàn)第一階段有一方被消滅，到達(dá)第二階段有一方被消滅，剩余一方獲勝。5）在作戰(zhàn)第一階段作戰(zhàn)三方中兩方被同時(shí)消滅，剩余一方獲勝。

3 多方Lanchester作戰(zhàn)模型

根據(jù)經(jīng)典和三方Lanchester作戰(zhàn)模型，在不考慮自然環(huán)境、士兵士氣、指揮方式、敵我情報(bào)、策略、通信等條件下，將參與作戰(zhàn)的部隊(duì)分為正規(guī)軍部隊(duì)和游擊隊(duì)，但兩兩之間互相為敵，建立多方Lanchester作戰(zhàn)模型如下：

假設(shè)參戰(zhàn)部隊(duì)有m方正規(guī)軍和n方游擊隊(duì)，正規(guī)軍陣地位于開闊地形間，便于其火力的展開，符合Lanchester平方率的適用條件，游擊隊(duì)陣地位于山地中且活動(dòng)范圍較廣受到的攻擊為間接的“面射擊”，符合Lanchester線性率的適用條件，且交戰(zhàn)過程中沒有第三方因素的影響，模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中Ii(t)表示第i方正規(guī)軍在t時(shí)刻的部隊(duì)規(guī)模；Jj(t)表示第 j方游擊隊(duì)在t時(shí)刻的部隊(duì)規(guī)模；ais和am+j，s表示第s方正規(guī)軍對第i方正規(guī)軍和對第 j方游擊隊(duì)的損傷系數(shù)；bil和bm+j，l表示第l方游擊隊(duì)對第i方正規(guī)軍和第 j方游擊隊(duì)的損傷系數(shù)；yis和 ym+j，s表示第s方正規(guī)軍對第i方正規(guī)軍和第 j方游擊隊(duì)的兵力分配系數(shù)；zil和zm+j，l表示第l方游擊隊(duì)對第i方正規(guī)軍和第 j方游擊隊(duì)的兵力分配系數(shù)。

當(dāng)已知各個(gè)參戰(zhàn)部隊(duì)的部隊(duì)規(guī)模、使用武器與戰(zhàn)略戰(zhàn)術(shù)的情況下，可以使用上述多方Lanchester作戰(zhàn)模型進(jìn)行模擬分析并得到宏觀上的結(jié)果。

4 三方Lanchester作戰(zhàn)模型在游擊作戰(zhàn)應(yīng)用

當(dāng)前形勢下，在中東、非洲等地區(qū)常常存在三方甚至是多方作戰(zhàn)，發(fā)生這種戰(zhàn)爭的起因往往是由于一國國內(nèi)政局動(dòng)蕩并受到外部勢力的干預(yù)，導(dǎo)致原來國內(nèi)的一些政府軍發(fā)生叛亂變?yōu)榉凑溲b，這些反政府武裝往往會從平民中募集部隊(duì)使得反政府武裝往往具有游擊隊(duì)性質(zhì)，同時(shí)對于一些邊界地區(qū)，其他國家也會派遣部隊(duì)爭奪，這就造成了在一個(gè)區(qū)域內(nèi)，兩方正規(guī)軍和一方游擊隊(duì)的三方作戰(zhàn)。同時(shí)，游擊隊(duì)的部隊(duì)規(guī)模較小，人員素質(zhì)較低，同時(shí)武器裝備較弱，在三方作戰(zhàn)中很難取得優(yōu)勢。通過混合戰(zhàn)情況下三方Lanchester作戰(zhàn)模型并對其改進(jìn)，得到游擊隊(duì)取勝的臨界條件。

4.1 基于混合戰(zhàn)情況下游擊隊(duì)獲勝條件

假設(shè)參戰(zhàn)三方中有兩方為正規(guī)軍，一方為游擊隊(duì)且兩方正規(guī)軍部隊(duì)規(guī)模不相等但正規(guī)軍所使用的武器裝備相同。同時(shí)，不考慮自然環(huán)境、士氣、通信、增援等因素，則根據(jù)式（7）定義參數(shù)：U1(t)=U2(t)=V(t)=0，I1(0)=3，I2(0)=2，a01=a21=1，a02=a12=1，y01=y02=0.3，y10=y20=0.7，z10=z20=0.5，J(0)的取值范圍為[0.1，10]，bi，i=1，2 取值范圍為 [0.5，3]。利用四階隱式Runge-Kutta法并使用Matlab軟件進(jìn)行數(shù)值模擬，仿真結(jié)果如圖1所示。

圖1 游擊隊(duì)損傷系數(shù)與部隊(duì)規(guī)模臨界曲線

圖1 為通過數(shù)值模擬后得到的游擊隊(duì)損傷系數(shù)與部隊(duì)規(guī)模臨界曲線，從曲線中可以得到四種區(qū)域，其中紅線下方部分表示較大規(guī)模正規(guī)軍勝利區(qū)域，綠線上方表示游擊隊(duì)勝利區(qū)域，紅線與綠線之間表示游擊隊(duì)和較大規(guī)模正規(guī)軍同時(shí)被消滅區(qū)域，黑線下方表示較小規(guī)模正規(guī)軍和游擊隊(duì)同時(shí)被消滅區(qū)域。從圖中可以看出，若使得游擊隊(duì)在三方作戰(zhàn)中獲得勝利，在與正規(guī)軍損傷系數(shù)相同時(shí)需要比較大規(guī)模正規(guī)軍高出1.5倍的部隊(duì)規(guī)模，而當(dāng)部隊(duì)規(guī)模與正規(guī)軍相當(dāng)時(shí)，需要比正規(guī)軍高出1.7倍的損傷系數(shù)，故如果游擊隊(duì)不使用合作策略很難取得最后戰(zhàn)斗的勝利。

4.2 基于合作策略的混合戰(zhàn)模型

從上文的可知，游擊隊(duì)和規(guī)模較小的正規(guī)軍在三方作戰(zhàn)中很難取得勝利，故引入合作策略，使得兩方在作戰(zhàn)第一階段進(jìn)行合作，建立模型如下：

其中，λ表示游擊隊(duì)與正規(guī)軍的不信任因子，其它參數(shù)意義與式（7）相同，λ與游擊隊(duì)部隊(duì)規(guī)模有關(guān)即：

從模型可知，隨著游擊隊(duì)部隊(duì)規(guī)模的減小，與正規(guī)軍合作時(shí)不信任因子越小，游擊隊(duì)與正規(guī)軍合作后因不信任造成的傷亡越小，需要說明的是，不信任因子在式（10）中為常量，即不信任因子的值從游擊隊(duì)和正規(guī)軍開始合作起便固定下來，不再改變。在第一階段戰(zhàn)斗結(jié)束后，根據(jù)戰(zhàn)斗結(jié)果，使用經(jīng)典Lanchester方程得到最終三方作戰(zhàn)結(jié)果。

4.3 合作策略的混合戰(zhàn)模型仿真

在保持4.1節(jié)中正規(guī)軍的參數(shù)不變的情況下，假設(shè)游擊隊(duì)初始部隊(duì)規(guī)模J(0)=1，游擊隊(duì)的損傷系數(shù)為bi=0.7，i=1，2。通過圖1可知，此時(shí)游擊隊(duì)無法取得戰(zhàn)斗勝利，先討論兩種情況，一種為從戰(zhàn)斗開始時(shí)游擊隊(duì)和正規(guī)軍便合作，此時(shí)λ=0.1，另一種為當(dāng)游擊隊(duì)部隊(duì)規(guī)模為初始規(guī)模的0.5倍時(shí)游擊隊(duì)和正規(guī)軍開始合作，此時(shí)λ=0。使用Matlab對以上兩種情況進(jìn)行數(shù)值模擬仿真。

圖2 λ=0.1時(shí)第一階段作戰(zhàn)結(jié)果圖

圖3 λ=0.1時(shí)第二階段作戰(zhàn)結(jié)果圖

圖2 和圖3分表示在游擊隊(duì)未損傷時(shí)即作戰(zhàn)開始時(shí)游擊隊(duì)便和正規(guī)軍合作的作戰(zhàn)結(jié)果，從模擬的結(jié)果可知，在t=1.4時(shí)第一階段結(jié)束，與游擊隊(duì)合作的正規(guī)軍被消滅，此時(shí)剩余兩方在戰(zhàn)場上，使用經(jīng)典Lanchester混合戰(zhàn)模型，在t=10時(shí)，正規(guī)軍被消滅，游擊隊(duì)勝利。在使用合作策略的情況下，游擊隊(duì)取得了在無策略情況無法取得的勝利。

圖4 λ=0時(shí)第一階段未合作時(shí)作戰(zhàn)結(jié)果圖

圖5 λ=0時(shí)第一階段合作時(shí)作戰(zhàn)結(jié)果圖

圖6 λ=0時(shí)第二階段作戰(zhàn)結(jié)果圖

圖4 表示游擊隊(duì)和正規(guī)軍未合作時(shí)的三方戰(zhàn)斗結(jié)果，在時(shí)，游擊隊(duì)規(guī)模為初始規(guī)模的0.5倍，此時(shí)游擊隊(duì)與正規(guī)軍合作，不信任因子。圖5表示游擊隊(duì)與正規(guī)軍合作后的三方作戰(zhàn)結(jié)果在時(shí)，與游擊隊(duì)合作的正規(guī)軍被消滅，此時(shí)三方作戰(zhàn)轉(zhuǎn)化為兩方作戰(zhàn)，適用Lanchester混合戰(zhàn)模型。圖6表示第二階段的作戰(zhàn)結(jié)果，當(dāng)時(shí)游擊隊(duì)的部隊(duì)規(guī)模趨于0，此時(shí)認(rèn)為游擊隊(duì)被消滅，戰(zhàn)斗結(jié)束，正規(guī)軍獲得勝利。雖然游擊隊(duì)與正規(guī)軍進(jìn)行合作，但由于合作時(shí)間選擇失誤，導(dǎo)致在第一階段結(jié)束時(shí)較強(qiáng)正規(guī)軍損失較少使得游擊隊(duì)在第二階段被正規(guī)軍消滅，說明合作的時(shí)機(jī)選定很重要，根據(jù)多次仿真模擬得到當(dāng)游擊隊(duì)損耗為初始規(guī)模的0.6倍時(shí)與正規(guī)軍合作，此時(shí)，在第二階段與正規(guī)軍同時(shí)被消滅，此條件為合作策略下游擊隊(duì)獲得三方作戰(zhàn)勝利的臨界條件。仿真結(jié)果如圖7、圖8和圖9所示。

圖7 臨界條件下合作第一階段未合作時(shí)作戰(zhàn)結(jié)果圖

圖8 臨界條件下合作第一階段合作時(shí)作戰(zhàn)結(jié)果圖

圖9 臨界條件下合作第二階段作戰(zhàn)結(jié)果圖

游擊隊(duì)若想最終取得三方作戰(zhàn)勝利則必須在其部隊(duì)規(guī)模被消耗為初始規(guī)模的0.6倍前與較弱正規(guī)軍合作，超過臨界點(diǎn)合作雖然不信任因子較低，但較強(qiáng)正規(guī)軍在前期作戰(zhàn)保存了大量的部隊(duì)導(dǎo)致最后戰(zhàn)斗無法勝利。

5 結(jié)語

對于傳統(tǒng)兩方作戰(zhàn)，三方作戰(zhàn)相對來說更加復(fù)雜，結(jié)果更難預(yù)測，本文建立的三方作戰(zhàn)模型在不考慮自然環(huán)境、士氣、信息、網(wǎng)絡(luò)等因素的影響下，根據(jù)參戰(zhàn)部隊(duì)的性質(zhì)確定模型的具體形式，引入兵力分配系數(shù)明確參戰(zhàn)三方的各自的兵力分配情況，使得模型的計(jì)算結(jié)果可以更加貼合實(shí)際情況。同時(shí)，考慮了基于混合戰(zhàn)的三方作戰(zhàn)中有游擊隊(duì)和較弱正規(guī)軍合作的情況，引入不信任因子，并求得了臨界條件，宏觀地預(yù)測了戰(zhàn)爭的最終結(jié)果。并且將三方作戰(zhàn)模型推廣到多方作戰(zhàn)，建立多方Lanchester作戰(zhàn)模型，對于解決多方作戰(zhàn)問題有一定的指導(dǎo)意義。