■陳國林

直線與圓是解析幾何初步的內(nèi)容，是學(xué)習圓錐曲線的基礎(chǔ)，但是很多同學(xué)在初學(xué)時常因知識掌握得不夠牢固，而導(dǎo)致解題時出錯。下面以例題形式呈現(xiàn)，給出幾個有關(guān)直線與圓的問題的巧解方法，希望能給同學(xué)們帶來啟示。

一、理清基本概念

例1下列命題中正確的有( )。

①直線的斜率為tanα，則直線的傾斜角是α;

②直線的傾斜角為α，則直線的斜率為tanα;

③由于垂直于x軸的直線的斜率不存在，所以垂直于x軸的直線的傾斜角也不存在。

A.0個 B.1個

C.2個 D.3個

解：直線的斜率為tanα，只有當α∈[0，π)時，α才是直線的傾斜角，①錯誤;任一直線的傾斜角均為α∈[0，π)，而當時，直線的斜率不存在，②錯誤;當直線垂直于x軸時，傾斜角為，③錯誤。應(yīng)選A。

評注:對于直線與傾斜角問題，需要明確傾斜角α∈[0，π)，所有直線都有唯一的傾斜角，但當傾斜角為90°時，直線的斜率不存在。

二、重視直線斜率不存在的情況

例2直線l過點P(-1，2)且到點A(2，3)和點B(-4，5)的距離相等，則直線l的方程為

解法1：當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y-2=k(x+1)，即kx-y+k+2=0。由題意可得即，解得，此時直線l的方程為)，即x+3y-5=0。當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=-1，也符合題意。綜上可得，直線l的方程為x+3y-5=0或x=-1。

解法2：當AB∥l時，可得k=kAB=則直線l的方程為y-2=，即x+3y-5=0。當l過AB的中點時，由AB的中點為(-1，4)，可得直線l的方程為x=-1。綜上可知，直線l的方程為x+3y-5=0或x=-1。評注:部分同學(xué)在求解直線的方程時，常常因忽略直線的斜率不存在的情況，而導(dǎo)致漏解或錯解。實際上，在求解此類問題時，若能夠借助圖形，采用數(shù)形結(jié)合的思想，會使得題目更直觀，且大大降低解題的出錯率。

三、巧用截距為零

例3過點P(2，3)并且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程為( )。A.2x-3y=0

B.3x-2y=0或x+y-5=0

C.x+y-5=0

D.2x-3y=0或x+y-5=0

解：當所求直線與兩坐標軸的截距均不為0時，設(shè)該直線的方程為x+y=a，把點P(2，3)代入所設(shè)的方程，得a=5，則所求直線的方程為x+y=5，即x+y-5=0。當所求直線與兩坐標軸的截距均為0時，設(shè)該直線的方程為y=kx，把點P(2，3)代入所設(shè)的方程，得，則所求直線的方程為y=，即3x-2y=0。綜上可得，所求直線的方程為x+y-5=0或3x-2y=0。

評注:解答本題時，首先，需要分所求直線與兩坐標軸的截距均為0和均不為0兩種情況進行討論;其次，通過把已知點的坐標代入求出直線方程。

四、分清傾斜角的取值范圍

例4經(jīng)過點P(0，-1)作直線l，若直線l與連接點A(1，-2)，B(2，1)的線段總有公共點，則直線l的傾斜角α的取值范圍是。

解：如圖1所示，為使直線l與線段AB總有公共點，則需kPA≤k≤kPB，而kPB＞0，kPA＜0。當k＜0時，α為鈍角;當k=0時，α=0;當k＞0時，α為銳角。因為kPA=所以-1≤k≤1。當0≤k≤1時，當-1≤k＜0時故傾斜角α的取值范圍為

圖1

評注:在求傾斜角α的取值范圍時，如果忽略了傾斜角α∈[0，π)，則會誤解為α∈。在解答這類題目時，如果能夠借助數(shù)形結(jié)合思想，將會使問題變得簡單直觀。

五、注意特殊情況

例5已知線段PQ兩端點的坐標分別為點P(-1，1)和點Q(2，2)，若直線l∶x+my+m=0與線段PQ有交點，則實數(shù)m的取值范圍是

解：如圖2所示，直線l∶x+my+m=0過定點A(0，-1)。當m≠0時，kPA=-2，因為，所以或，解得或當m=0時，直線l的方程為x=0，與線段PQ也有交點。綜上可得，實數(shù)m的取值范圍為

圖2

評注:本題中m=0是個特殊情況，若忽視，會導(dǎo)致所求的實數(shù)m的取值范圍為

六、清楚直線和圓的位置關(guān)系

例6已知直線l∶mx+y-2m-1=0，圓C∶x2+y2-2x-4y=0，當直線l被圓C所截得的弦長最短時，實數(shù)

解：由題意知，直線l過定點(2，1)，設(shè)點A為(2，1)，而圓C∶(x-1)2+(y-2)2=5，其圓心C為(1，2)。當直線l被圓C所截得的弦長最短時，直線AC⊥l，則-1，解得m=-1。

評注:過圓內(nèi)的一點作直線，該直線與圓一定相交，且所截得的最長的弦為過該點的直徑，最短的弦為過該點與直徑垂直的弦。

七、牢記圓的半徑r＞0

例7過點(1，2)總可作兩條直線與圓x2+y2+kx+2y+k2-15=0相切，則實數(shù)k的取值范圍是

評注:二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓時，需要滿足D2+E2-4F＞0，如果忽略了這一條件，會造成待定參數(shù)k的取值范圍擴大。

八、挖掘隱含條件

例8若動點(x，y)在圓(x-2)2+y2=4上，求6x2+8y2的最大值。

解：由(x-2)2+y2=4得y2=4x-x2，所以6x2+8y2=6x2+8(4x-x2)=-2x2+32x=-2(x2-16x+64-64)=-2(x-8)2+128。因為0≤x≤4，所以當x=4時，6x2+8y2的最大值為96。

評注:圓(x-2)2+y2=4是一個封閉的圖形，表示以(2，0)為圓心，以2為半徑的圓，所以x的取值范圍不是R，而是[0，4]。解答本題時，若挖掘不出這一隱含條件，會誤認為當x=8時，6x2+8y2的最大值為128。

九、全面考慮情況

例9圓C∶(x-5)2+(y-1)2=36上到直線4x+3y+2=0的距離為1的點的個數(shù)為

解：因為圓C的半徑為6，圓心(5，1)到直線4x+3y+2=0的距離為5＜6，又因為r-d=6-5=1，所以圓C∶(x-5)2+(y-1)2=36上到直線4x+3y+2=0的距離為1的點的個數(shù)為3。

評注:圓上的點到一條直線的距離等于定值，這樣的點可能有0個，1個，2個，3個，4個等情況，解答此類問題時，需要謹慎思考，要注意區(qū)分直線與圓的交點個數(shù)與圓上的點到一條直線的距離等于定值的點的個數(shù)的區(qū)別。