徐旭華，雷 宇，黃旭東，廖平凱

（1.四川大學(xué)錦江學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院,四川成都610207；2.四川大學(xué)錦江學(xué)院土木工程學(xué)院,四川成都610207）

一種典型的二維CT系統(tǒng)如圖1所示，平行入射的X射線垂直于探測(cè)器平面，每個(gè)探測(cè)器單元看成一個(gè)接收點(diǎn)，且等距排列。X射線的發(fā)射器和探測(cè)器相對(duì)位置固定不變，整個(gè)發(fā)射-接收系統(tǒng)繞某固定的旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180次。對(duì)每一個(gè)X射線方向，在具有512個(gè)等距單元的探測(cè)器上測(cè)量經(jīng)位置固定不動(dòng)的二維待檢測(cè)介質(zhì)吸收衰減后的射線能量，并經(jīng)過增益等處理后得到180組接收信息?，F(xiàn)有均勻固體介質(zhì)組成的標(biāo)定模板，吸收率［1］具體數(shù)據(jù)見文獻(xiàn)［2］，模板幾何信息如圖2所示。根據(jù)這一模板及其接收信息建立數(shù)學(xué)模型，確定探測(cè)器單元之間的距離以及該CT系統(tǒng)X射線的180個(gè)方向。

圖1 CT系統(tǒng)示意圖

圖2 模板示意圖（單位：mm）

1 模型分析與建立

為確定X射線的二維圖像空間分布情況與橢圓固體介質(zhì)的關(guān)系，根據(jù)模板示意圖2，建立直角坐標(biāo)系xoy，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，右邊為X軸的正方向，上邊為Y軸的正方向，X射線一次射入方向如圖3所示，則根據(jù)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)知識(shí)，可得到橢圓的方程

圖3 X射線方向

為確定CT系統(tǒng)探測(cè)器單元之間的距離以及該CT系統(tǒng)使用的X射線的180個(gè)方向，文章首先依據(jù)面積優(yōu)化模型得到對(duì)應(yīng)的未知參數(shù)，再結(jié)合X射線的透射長(zhǎng)度實(shí)際值與理論值建立優(yōu)化模型。上述物體為均勻介質(zhì)，查閱文獻(xiàn)［3］可知CT所用的X射線與物質(zhì)之間相互作用的衰減規(guī)律可用以下定律描述：

其中l(wèi)為物體中的透射長(zhǎng)度；μ為物體對(duì)X射線的衰減系數(shù)；I0是入射物體前的X射線強(qiáng)度；ΔI是射線強(qiáng)度的入射物體后的衰減量。結(jié)合X射線與檢測(cè)器之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得到檢測(cè)器吸收到的強(qiáng)度I為：

根據(jù)上式即可求得實(shí)際透射長(zhǎng)度l的表達(dá)式為：

根據(jù)極限的思想，當(dāng)n→+∞時(shí)，第n-1條射線與第n條射線及橢圓所圍成的面積可以近似成一個(gè)小矩形的面積，記成Sn-1=ln-1d，其中l(wèi)n-1是第n-1條X射線透射長(zhǎng)度，d是探測(cè)器單元之間的距離，整個(gè)橢圓可以近似看成是n-1個(gè)矩形構(gòu)成，由簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)知識(shí)可知橢圓的面積為πab，其中a、b分別為橢圓的長(zhǎng)半軸、短半軸的長(zhǎng)。設(shè)lik是第i次旋轉(zhuǎn)方向上第k條射線所透射的實(shí)際長(zhǎng)度，那么可以得到X射線一個(gè)入射角度的優(yōu)化模型：

整個(gè)發(fā)射-接收系統(tǒng)繞某固定的旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180次，從而有180個(gè)射入角度上的優(yōu)化模型：

面積優(yōu)化模型

根據(jù)圖3可以得到X射線與橢圓固體介質(zhì)相切的第一條直線的方程式為y1=xtanα+L，然后可得到任意兩條X射線在y軸上的截距之差B與探測(cè)器單元之間的距離d之間的關(guān)系式為：

顯然X射線的方程為：

設(shè)Am(xm,ym)(m=1,2...n-1)，Bj(xj,yj)(j=1,2...n-1)是橢圓介質(zhì)與 X射線的兩交點(diǎn)，聯(lián)立（1）式與（3）式可求出Am，Bj之間的距離為：

根據(jù)以上分析，l′可以看成是射線透射介質(zhì)中的理論長(zhǎng)度，考慮到射線透射介質(zhì)中的實(shí)際長(zhǎng)度可以由（2）式求出，設(shè)是第i次旋轉(zhuǎn)方向上第k條射線所透射的理論長(zhǎng)度，可建立射線透射的理論長(zhǎng)度與實(shí)際長(zhǎng)度的優(yōu)化模型：

整個(gè)發(fā)射-接收系統(tǒng)繞某固定的旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180次，從而有180個(gè)角度上的優(yōu)化模型：

長(zhǎng)度優(yōu)化模型

2 模型求解

對(duì)于探測(cè)器單元之間的距離及X射線的180個(gè)方向的求解問題可采用最小二乘法［4］加以解決，利用Matlble數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行編程求解［5］。首先采用橢圓面積優(yōu)化模型求解得到部分參數(shù)，其次結(jié)合透射長(zhǎng)度的理論值與實(shí)際值的優(yōu)化模型對(duì)剩余參數(shù)進(jìn)行求解，求解步驟如下：

Step1：將接收信息數(shù)據(jù)［2］帶入式（2），可求解得到透射長(zhǎng)度；

Step2：近似將X射線與橢圓所圍成的圖形看成是n-1個(gè)矩形，則用實(shí)際透射長(zhǎng)度值lik乘以探測(cè)器單元之間的距離d，得到其中一個(gè)矩形的面積，記成likd；

Step3：將面積likd代入到橢圓面積優(yōu)化模型中，根據(jù)接收信息數(shù)據(jù)［2］可得到一組最優(yōu)化的參數(shù)d、I、μ；

Step4：將求解得到的優(yōu)化參數(shù)代入長(zhǎng)度優(yōu)化模型中，原有五個(gè)參數(shù)d、I、μ、α、L減少至兩個(gè)參數(shù)α、L，根據(jù)接收信息數(shù)據(jù)［2］，可以得到參數(shù)α、L的最優(yōu)解。

根據(jù)上述步驟求解得到探測(cè)器單元之間的距離d=0.2810mm，CT系統(tǒng)使用的X射線的180個(gè)方向如表1所示。

表1 模型測(cè)量方向

3 方差、回歸及殘差分析

該問題的實(shí)際數(shù)據(jù)如表2所示。

表2 實(shí)際方向

根據(jù)上述模型計(jì)算出的結(jié)論前10個(gè)方向上和實(shí)際數(shù)據(jù)是有所差異的，但從第11個(gè)方向開始，理論模型的數(shù)據(jù)就和實(shí)際數(shù)據(jù)很接近了，從第11方向開始用SPSS軟件對(duì)實(shí)際數(shù)據(jù)和理論數(shù)據(jù)進(jìn)行方差分析。

表3 單因素方差分析

從表3可以看出P=0.998955＞0.05，可以認(rèn)為從第11個(gè)方向開始上述模型算出的方向角和實(shí)際方向角沒有顯著差異。通過SPSS軟件，容易求得R2=0.999977431，說明在置信度為95%的條件下，上述模型對(duì)數(shù)據(jù)的解釋總體令人滿意，如表4、5所示。

表4 回歸統(tǒng)計(jì)

表5 方差分析

如表6所示，設(shè)實(shí)際方向角為因變量y，模型計(jì)算結(jié)果為自變量x，由上述回歸分析可得出其一般回歸方程為：

表6 回歸分析

同理，可以利用SPSS軟件進(jìn)行殘差分析，如表7及圖4所示。

表7 殘差輸出

觀測(cè)值 預(yù)測(cè)Y 殘差 標(biāo)準(zhǔn)殘差6 7 8 9 1 0 11 34.49242522 35.44649218 45.09316926 118.1362328 207.4039468 208.5189443 0.15387478 0.199807816-0.296469262-0.692532849 0.242353187 0.116855708 0.45490163 0.590693947-0.876455194-2.047342138 0.716471274 0.345461757

圖4 殘差圖

從圖4可以看出殘差沒有完全落在一條水平帶之間，說明模型是有誤差的，但總體來說，模型的結(jié)果是可以接受的。

4 總結(jié)

文章試圖利用數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實(shí)生活中的問題，在面積優(yōu)化模型建立的過程中，假設(shè)X射線將橢圓無限分割成可數(shù)個(gè)矩形，但實(shí)際上CT探測(cè)器上只有512個(gè)接收點(diǎn)，除去和橢圓相切的兩條，X射線最多將橢圓分割成511個(gè)小區(qū)域，并且這些有限的小區(qū)域并不能保證是矩形，這給后來的運(yùn)算帶來誤差。在對(duì)模型結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)分析中，是從第11個(gè)方向開始進(jìn)行方差分析，而忽略了前10個(gè)方向，這都無疑會(huì)直接影響到模型的真實(shí)性與實(shí)用性，但該模型在一定程度上說明了X射線的大致方向，在解決實(shí)際生活中的優(yōu)化問題時(shí)有一定借鑒意義。