張艷輝，顧海波＊，孫 瑜，王仁正

（1.新疆師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830017;2.新疆巴楚縣第二中學(xué)，新疆 喀什 843800）

分?jǐn)?shù)階微積分學(xué)是經(jīng)典的微積分學(xué)之一，它在機械工程、土木建筑工程、熱能系統(tǒng)和力學(xué)中都扮演著重要的角色。此外，在其他學(xué)科方面應(yīng)用也很廣泛，比如光學(xué)、材料學(xué)、信號處理、辨識系統(tǒng)、控制論等。近年來，分?jǐn)?shù)階微分方程解的存在性方面也產(chǎn)生了一些研究成果［1-3］。另外，也有一些人研究了非線性分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題正解的存在性［4-7］。

2010年W.G.Kelley和A.C.Peterson［8］得到了方程

存在唯一解，并且對解的存在區(qū)間進(jìn)行了估計，區(qū)間長度需滿足

2016年R.A.C.Ferreira［9］討論了兩點Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階微分方程

其解唯一存在的條件是

2017年B.Ahmad［10］研究了當(dāng) (a,b)滿足

時，兩點Liouville-Caputo型分?jǐn)?shù)階微分方程

受以上研究結(jié)果的啟示，文章討論以下分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題：

解的存在唯一性。這里CDα是Caputo型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，它的定義將會在下一節(jié)給出，f是連續(xù)函數(shù)。文章將給出方程（4）的解的唯一存在的充分條件，并對解的存在區(qū)間加以估計。

1 預(yù)備知識

定義1.1［4］函數(shù) f的分?jǐn)?shù)階積分公式為：

其中α＞0，右端積分在[a,∞)上逐點有定義，Γ(·)是Gamma函數(shù)。

定義1.2［4］函數(shù) f的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)公式為：

定義1.3［4］如果 f∈Cn[a,∞)，那么Caputo型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)為：

2 主要結(jié)果

在這一部分，將利用Banach不動點定理證明方程（4）解的存在唯一性。首先，給出一個Banach空間P，P=C([a,b],R)，它包含了所有的[a,b]→R上的連續(xù)函數(shù)；其次，定義了x的范數(shù)為

引理2.1 函數(shù)u∈C2[a,b]是方程（4）的一個解，當(dāng)且僅當(dāng)

這里G(t,s)是Green's函數(shù)，形式如下：

證明 分?jǐn)?shù)階微分方程（4）的解與以下積分方程是等價的：

這里c1,c2,c3是任意的常數(shù)，由邊界條件可以得到 c1=σ1,c2=σ3。

另外，u(b)=σ2意味著

通過計算，有

把 c1,c2,c3代入（6）式中，有

命題2.2 令G為引理2.1中所描述的，那么

證明

定理2.3 如果 f:[a,b]×R→R是一個連續(xù)函數(shù)，并且它滿足Lipschitz條件：

那么，方程（4）有唯一解的充分條件是：

證明 由引理2.1，定義一個算子T，T:P→P，

這里G是由（5）式所給出的，要說明Tu=u，也就是說，算子T有唯一的不動點，這就暗含著方程（4）只存在唯一的解。

令u,v∈P ，那么

由命題2.2和Banach不動點定理，得到了方程（4）在[a,b]存在唯一解。

注：定理2.3說明方程（4）在[a,b]存在唯一解，并且說明了解的存在區(qū)間需要滿足的條件。