梁 波，余振軍，蒲憑山，王曉蘭

（1.蘭州理工大學 電氣工程與信息工程學院 電氣與控制工程國家級實驗教學示范中心，蘭州 730050；2.甘肅省工業(yè)過程先進控制重點實驗室，蘭州 730050；3.隴南師范高等?？茖W校，成縣 742500；4.陜西有色天宏瑞科硅材料有限責任公司，榆林 719208）

0 引言

提取故障特征頻率是實現(xiàn)軸承故障診斷的重要前提條件，目前常用的方法是通過抑制噪聲來提高信號的信噪比，但當故障信號頻率和噪聲頻率接近時，濾除噪聲的同時，也可能損害故障信號的質量。另外，設置合適的閾值是進行高品質消噪的基礎，但在強噪聲干擾下，如何設置合適的消噪閾值也是消噪的難點。

近年來，意大利學者在研究冰川與氣候問題時發(fā)現(xiàn)，微弱信號在發(fā)生隨機共振[1,2]條件下，也能產(chǎn)生較高能量輸出。研究表明，在一個非線性雙穩(wěn)系統(tǒng)中，當系統(tǒng)輸入噪聲增加時會發(fā)生隨機共振現(xiàn)象，使部分噪聲能量轉化為微弱故障信號能量，極大提高輸出信號信噪比[3,4]，并且當噪聲強度增加到某一最佳值時，可將輸出信號頻率峰值最大化[5,6]。然而隨機共振僅適用于絕熱近似物理條件下的小參數(shù)情況[7]，而實際工程問題中信號頻率高達上千赫茲，遠遠超出了隨機共振的應用范圍。

針對大參數(shù)輸入信號問題，文獻[7,8]提出二次采樣隨機共振的方法檢測微弱信號，該方法的優(yōu)點是線性壓縮實際測得的大參數(shù)信號，使之適應隨機共振條件下的小參數(shù)要求，經(jīng)雙穩(wěn)態(tài)非線性隨機共振系統(tǒng)得到響應輸出。但是在實際工程應用中，輸入信號的各種特征值都是未知數(shù)，而進行隨機共振必須選擇合適的采樣頻率以及壓縮頻率，對于大參數(shù)信號來說，如何更好的選擇合適的二次采樣頻率需要更進一步的研究。文獻[9]提出一階線性系統(tǒng)調參廣義隨機共振的特征提取方法，該方法通過調節(jié)一階線性系統(tǒng)參數(shù)，可以得到信噪比取極大值的廣義隨機共振現(xiàn)象。但是該方法僅適用于周期信號與噪聲信號作用下的一階線性系統(tǒng)，而且不能保證輸出譜圖上特征信號能達到理想的識別性，必須確定合適的采樣頻率fs和非線性系統(tǒng)結構參數(shù)a使信號可識別性最佳。因此，如何選擇一個合適的參數(shù)a值對特征信號頻率的判別有著直接的影響。文獻[10]提出基于非線性系統(tǒng)隨機共振的方法，該方法可以檢測出多頻周期性弱信號以及強噪聲背景下較大頻率的多頻周期性信號，同時也能識別和探測某些調制在載波中的弱信號。但是這些信號頻率基本上都在1Hz以下，遠遠低于工程上高頻信號的頻率，所以該方法不能使高頻信號產(chǎn)生隨機共振響應。

本文在以上研究的基礎上，綜合隨機共振方法的檢測特點，針對大參數(shù)信號難以實現(xiàn)隨機共振的問題，提出了一種基于積分補償調節(jié)大參數(shù)的隨機共振方法，并在軸承故障信號檢測中加以應用，同時在LabVIEW軟件環(huán)境下，編寫故障診斷程序，實現(xiàn)信號采集、特征提取、故障判斷等功能，仿真及實驗驗證了理論方法的可行性。

1 基于積分補償調節(jié)大參數(shù)的隨機共振的軸承故障診斷原理

1.1 基本原理

積分補償調節(jié)參數(shù)的隨機共振故障診斷流程圖如圖1所示，首先由AD采集軸承振動信息，獲取軸承振動信號角頻率，即補償系數(shù)；其次對隨機共振系統(tǒng)的非線性方程進行相應的積分補償，并建立新的非線性隨機共振系統(tǒng)模型，同時重新運行新建立的系統(tǒng)模型進行隨機共振，并得到系統(tǒng)輸出信號；最后對輸出信號進行FFT變換，得到軸承故障振動信號的頻譜，再對AD采集的軸承故障信號進行特征頻率計算，將計算出的特征頻率值和輸出信號的FFT頻譜進行對比分析并診斷出故障類型。

圖1 積分補償調參數(shù)的故障診斷流程圖

1.2 滾動軸承故障特征頻率

盾構機主軸承是典型的滾動軸承，其常見的失效方式包括磨損、疲勞腐蝕、壓痕和膠合失效等。滾動軸承在運動過程中失效造成的損傷或缺陷必然會使其產(chǎn)生一定頻率的寬帶沖擊[11]。通常將這種沖擊稱為軸承的故障特征頻率，其一般處于低頻，是進行故障診斷的重要信息特征之一。軸承各元件的故障特征頻率按下式計算。

外圈故障頻率f0：

內圈故障頻率fi：

滾動體故障頻率fb：

式中：fz為轉頻；D為軸承節(jié)徑；d為滾動體直徑；z為滾動體個數(shù)；θ為接觸角。

1.3 隨機共振原理

非線性系統(tǒng)在一定條件下，高頻噪聲的部分能量可以轉移到低頻信號中，從而提高信噪比達到微弱信號檢測的目的，該協(xié)作效應稱為隨機共振。雙穩(wěn)態(tài)隨機共振系統(tǒng)的數(shù)學模型可以用郎之萬（Langevin）方程來描述[12]；

通常勢函數(shù)U(x)的表達式如下：

s(t)為含有噪聲的微弱信號，可表示如下：

將勢函數(shù)式(5)和輸入信號式(6)代入式(4)中得：

式中，a、b為非線性雙穩(wěn)系統(tǒng)的結構參數(shù)；通常a=1，b=1，A為信號幅值，f為信號頻率；為白噪聲，且滿足：

式中D為噪聲強度。

圖2 雙穩(wěn)隨機共振系統(tǒng)

因此隨機共振的產(chǎn)生需要滿足2個條件：

1）由噪聲引起的平衡態(tài)間的跳變必須與輸入信號周期同步，即為Kramers逃逸率。

2）弱信號的幅度A與臨界值Ac相比不能太小，否則即便在噪聲幫助下仍不能克服勢壘而發(fā)生隨機共振。

圖3 勢函數(shù)U(x)

令式(7)中a=1，b=1，A=0.03，f=0.01Hz，且噪聲強度D=0.03，采樣頻率fs=5Hz，建立隨機共振系統(tǒng)模型。利用四階龍格庫塔法對式(1)進行求解，并作時域和頻域分析。系統(tǒng)輸入信號和輸出信號的時域波形圖以及FFT變換后的頻譜圖分別如圖4和圖5所示。

從圖4(a)可以看出，該時域信號為非線性隨機共振輸入信號和噪聲信號的混疊，并且輸入信號被噪聲信號完全淹沒，對該時域信號作FFT變換，得其頻譜如圖4(b)所示，可見當噪聲信號干擾較小時，在0.01Hz處存在幅值較小的譜峰。若將圖4(a)中信號通過隨機共振系統(tǒng)進行處理，可以得到如圖5(a)所示的時域正弦波形，對其作FFT變換，得其頻譜如圖5(b)所示，可見0.01Hz處出現(xiàn)的譜峰幅值較隨機共振之前明顯增大，隨機共振對系統(tǒng)信噪比的優(yōu)化顯而易見。

然而，對于不同的輸入信號，非線性隨機共振系統(tǒng)不可能都能趨近隨機共振狀態(tài)，因此需要對于隨機共振系統(tǒng)自身的參數(shù)進行調節(jié)從而使系統(tǒng)能對不同的輸入信號進行理想的隨機共振響應。

1.4 積分補償原理

由于一般非線性系統(tǒng)（參數(shù)a=1，b=1）中存在阻尼，且從Kramers逃逸率rk的表達式可以看出，rk不能突破極限值因此該系統(tǒng)無法對高頻信號進行提取，只能與0＜f＜0.112Hz的小參數(shù)信號產(chǎn)生隨機共振。

圖4 輸入信號時域圖和頻譜圖

圖5 輸出信號時域圖和頻譜圖

大量的仿真數(shù)據(jù)表明，在沒有滿足隨機共振小參數(shù)信號的條件下，輸入信號的頻率越高，系統(tǒng)阻尼比越大，對應輸出信號頻譜幅值就越低，系統(tǒng)也不會產(chǎn)生隨機共振。從式(7)中可以看出，在系統(tǒng)模型中周期信號被直接輸入到狀態(tài)導數(shù)dx上，所以阻尼對于系統(tǒng)的作用其實是一個積分環(huán)節(jié)，此時系統(tǒng)輸出信號的幅值將變?yōu)樵斎胄盘柗档谋?，其中正弦信號的角頻率為ω。表達式如下：

由式(10)可得輸入信號頻率越高，其輸出幅值越低，能量衰減也越嚴重，所以輸入的大參數(shù)信號沒有足夠的能量穿越雙穩(wěn)態(tài)非線性系統(tǒng)的勢壘，從而不能使系統(tǒng)達到隨機共振狀態(tài)。

由于隨機共振方法在大參數(shù)信號檢測應用中的局限性，本文采用“積分補償”的思想來實現(xiàn)工程實踐中大參數(shù)信號的隨機共振。所謂積分補償隨機共振，即在系統(tǒng)上增加一個放大環(huán)節(jié)抵消阻尼對輸入信號的衰減作用，使得輸入信號能夠穿越雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的壁壘。具體方法是在式(1)的基礎上增加放大環(huán)節(jié)Gain，對該系統(tǒng)進行相應的積分補償：

由式(11)積分補償方程再次建立新的非線性隨機共振系統(tǒng)模型，同時將放大環(huán)節(jié)的Gain值賦值為原輸入信號f的2π倍，對其衰減程度進行相應的補償，同時應用新建立的系統(tǒng)模型進行隨機共振。此時大參數(shù)信號可滿足或接近隨機共振所要求的小參數(shù)前提條件，實現(xiàn)大參數(shù)信號的隨機共振。

2 積分補償調節(jié)大參數(shù)隨機共振檢測方案的實現(xiàn)

外部通過加速度傳感器測量旋轉機械振動，振動信號經(jīng)過AD模塊轉換為對應數(shù)字量并通過USB接口送入上位機。上位機采用LabVIEW完成基于積分補償調節(jié)大參數(shù)隨機共振方法的主軸承故障診斷程序，程序流程如圖6所示。

圖6 積分補償調節(jié)大參數(shù)隨機共振法流程圖

積分補償具體運算過程如下：

1）用LabVIEW的輸入信號為x(t)和勢函數(shù)V(x)建立雙穩(wěn)隨機共振系統(tǒng)U(x)。

2）從輸入信號中獲取有用信號s(t)的頻率f，并乘以2π，得到積分補償系數(shù)Gain。

3）給1）中建立的系統(tǒng)U(x)乘以補償系數(shù)Gain，并建立新的雙穩(wěn)系統(tǒng)U′(x)。

4）啟動雙穩(wěn)系統(tǒng)U′(x)，產(chǎn)生隨機共振，并輸出信號x′(t)。

5）輸出信號x′(t)進行FFT變換，獲得x′(t)的頻譜x(k)。

6）將輸出信號的頻譜x(k)譜峰的頻頻率和計算出的故障特征頻率進行對比分析，診斷出軸承故障類型。

3 基于隨機共振方法的信號仿真分析

假設(7)式中的參數(shù)分別為a=1，b=1，A=0.31，f=40Hz，D=0.31，仿真采樣頻率fs=2000Hz，采樣點數(shù)N=4000，數(shù)值計算步長Ts=h=0.0125。信號經(jīng)圖2隨機共振系統(tǒng)得到輸出響應，并作時域和頻域分析。輸入信號的時域波形圖和頻譜如圖7、圖8所示，信號經(jīng)過積分補償調參隨機共振系統(tǒng)后的時域波形圖和頻譜如圖9、圖10所示。

圖7 輸入信號的時域波形圖

圖8 輸入信號的頻譜圖

從原始信號的時域圖和頻譜上可以看出信號完全無法識別。但是經(jīng)過積分補償隨機共振系統(tǒng)后，時域圖具有了一定的周期性，并且頻譜圖上譜峰最大的點對應的頻率為40Hz。

圖9 輸出信號的時域波形圖

圖10 輸出信號的頻譜圖

4 隨機共振方法在軸承故障分析中的應用

對于施工中的盾構機，較重的負荷使軸承易出現(xiàn)多種故障。但其故障初期的特征信號比較微弱，往往被工作環(huán)境中的各種噪聲所淹沒，因此可利用隨機共振方法進行特征信號提取。

實驗對象選用6205-2RS深溝球軸承，其滾動體直徑為7.94mm，軸承節(jié)徑為39.03mm，滾動體個數(shù)為9個，接觸角為0o。使用電火花加工技術在軸承外圈滾道上布置故障直徑為0.18mm的故障點來模擬滾動軸承的外圈故障。試驗時軸承轉速為1797r/min，信號采樣頻率為20kHz，分析頻率為10kHz，基本采樣點數(shù)N=3072，采樣時模擬抗混濾波器的截止頻率為3kHz，包絡分析時帶通濾波器的通帶為4～10kHz。由軸承參數(shù)以及故障特征頻率公式計算可得，軸承外圈故障特征頻率為107.573Hz。同時為了模擬實際工況，給實驗數(shù)據(jù)增加噪聲強度D=2的高斯白噪聲，圖11為加噪后軸承發(fā)生外圈故障時加速度傳感器所采集的徑向振動信號，圖12是該信號的FFT分析結果，其低頻信號幅值較小，并存在較大的噪聲干擾，不利于故障診斷。

圖11 軸承故障時徑向加噪振動信號

圖12 軸承故障時徑向加噪振動信號FFT頻譜

現(xiàn)對原輸入信號進行積分補償調節(jié)大參數(shù)，隨機共振系統(tǒng)參數(shù)設置如下：a=0.1，b=1，系統(tǒng)的積分補償系數(shù)為Gain=2πf≈675.6，噪聲強度D=2，數(shù)值計算步長h=0.00005。信號經(jīng)過積分補償調節(jié)參數(shù)隨機共振后的輸出信號的時域圖和頻譜圖如圖13、圖14所示。

圖13 積分補償調節(jié)參數(shù)后的軸承故障時徑向輸出信號時域圖

圖14 積分補償調節(jié)參數(shù)后的軸承故障時徑向輸出信號的頻譜圖

對比圖12與圖14可以明顯地看出：圖14中滾動軸承外圈特征頻率處存在很明顯的沖擊性峰譜線，同上述理論分析的故障特征頻率f=107.573Hz基本吻合，從而驗證了積分補償調節(jié)大參數(shù)的隨機共振方法的有效性。

5 結論

由于主軸承振動信號為大參數(shù)信號，F(xiàn)FT方法難以識別幅值較小的故障頻率成分。而普通隨機共振系統(tǒng)在具有阻尼的情況下會對大參數(shù)信號幅值產(chǎn)生嚴重衰減作用，從而難以實現(xiàn)大參數(shù)信號的隨機共振并提取軸承故障特征頻率。本文針對此問題，采用積分補償調節(jié)大參數(shù)的隨機共振方法對故障特征頻率進行提取，仿真與實驗證明了本方法的有效性。