（蘇州大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，蘇州 215021）

0 引言

永磁同步電機(jī)（PMSM）因具有效率高、環(huán)保節(jié)能、高效能、結(jié)構(gòu)類型多樣等特點(diǎn)，在航空航天、船舶電力推進(jìn)、風(fēng)機(jī)水泵、電梯、空調(diào)等領(lǐng)域行業(yè)都有著極大的應(yīng)用[1,2]。由于PI控制器的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、實(shí)現(xiàn)方便、性能優(yōu)良、且對(duì)控制對(duì)象參數(shù)變化不敏感，因此被大量應(yīng)用于PMSM驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)[3]。而PI控制器參數(shù)的設(shè)置將直接影響控制器的控制效果，如果參數(shù)設(shè)置不當(dāng)，系統(tǒng)的性能將大打折扣。

傳統(tǒng)的參數(shù)整定方法，如Z-N法，臨界比例法等，容易陷入局部最優(yōu)，且調(diào)參時(shí)需要人工進(jìn)行大量試驗(yàn)，效率較低，且在試驗(yàn)過(guò)程中，試驗(yàn)人員往往以經(jīng)驗(yàn)為主，根據(jù)過(guò)往調(diào)參時(shí)所使用過(guò)的調(diào)參經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行試湊，因此得到的試驗(yàn)結(jié)果會(huì)帶有較強(qiáng)的主觀性和隨機(jī)性，整定出來(lái)的控制器性能通常也會(huì)較差，無(wú)法滿足性能的要求[4]。隨著控制理論的不斷發(fā)展，出現(xiàn)了一些采用遺傳算法、比例增益法、卡爾曼濾波和Elman神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合法來(lái)整定速度環(huán)控制器參數(shù)的方法，但在線的高階矩陣求逆計(jì)算會(huì)占用大量的系統(tǒng)資源，對(duì)硬件要求較高，大大限制了這些方法的應(yīng)用[6]。為此，本文基于速度環(huán)控制器的數(shù)學(xué)模型，以相角裕度作為衡量系統(tǒng)穩(wěn)定性的指標(biāo)，通過(guò)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)來(lái)計(jì)算出控制器的參數(shù)，并在保證系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下，進(jìn)一步加快系統(tǒng)的響應(yīng)，對(duì)于速度環(huán)控制器參數(shù)整定方法的研究具有十分重要的意義。

1 速度環(huán)控制器數(shù)學(xué)模型

由于永磁同步電機(jī)伺服系統(tǒng)是一個(gè)耦合性較強(qiáng)的非線性系統(tǒng)，為了簡(jiǎn)化永磁同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型的推導(dǎo)過(guò)程，須作以下五點(diǎn)假設(shè)：

1）電機(jī)定子繞組的三相在空間上對(duì)稱分布；

2）空間磁場(chǎng)呈正弦分布；

3）不計(jì)磁滯和渦流損耗；

4）忽略鐵心飽和；

5）忽略齒槽轉(zhuǎn)矩及其他擾動(dòng)影響。

根據(jù)上述五點(diǎn)假設(shè)，采用id=0的磁場(chǎng)定向控制策略，則電機(jī)的電壓方程如下：

式中，Ud和Uq分別d軸和q軸定子電壓，id和iq分別d軸和q軸定子電流，Ld和Lq分別d軸和q軸定子繞組電感，Rs為定子繞組電阻，ωr為電機(jī)電角速度，Ψf為電機(jī)永磁體磁鏈。

電機(jī)的轉(zhuǎn)矩方程為：

式中，Te為電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩，TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩，J為負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，ω為電機(jī)機(jī)械角速度，P為電機(jī)的磁極對(duì)數(shù)，B為粘滯阻尼。

常見(jiàn)的速度環(huán)控制器結(jié)構(gòu)為雙閉環(huán)結(jié)構(gòu)，內(nèi)環(huán)為電流環(huán)，速度環(huán)控制器的系統(tǒng)方塊圖如圖1所示。其中，速度控制器為PI控制器，傳遞函數(shù)為：

式中，Kp為PI控制器的比例增益系數(shù)，Ki為PI控制器的積分時(shí)間常數(shù)。

圖1 速度環(huán)控制器的系統(tǒng)方塊圖

電流環(huán)作為速度環(huán)控制器的內(nèi)環(huán)部分，由于其帶寬遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于速度環(huán)的期望截止頻率，因此可以將電流環(huán)的閉環(huán)傳遞函數(shù)等效為單位增益的慣性環(huán)節(jié)[7]，其傳遞函數(shù)為：

式中，ωc為電流環(huán)的帶寬。

由式(4)可知，電機(jī)電流到電磁轉(zhuǎn)矩的傳遞函數(shù)為：

忽略電機(jī)軸上粘滯阻尼對(duì)系統(tǒng)的影響，由式(3)可知，轉(zhuǎn)矩到轉(zhuǎn)速的傳遞函數(shù)為：

為了抑制速度信號(hào)中所混入的高頻噪聲對(duì)系統(tǒng)的干擾，需要對(duì)速度信號(hào)做濾波處理，通常選用數(shù)字低通濾波來(lái)實(shí)現(xiàn)，其傳遞函數(shù)為：

式中，ωf為數(shù)字濾波器的帶寬。

因此，整個(gè)速度環(huán)控制器的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：

其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖2所示。

圖2 速度環(huán)控制器的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

2 參數(shù)整定方法

通過(guò)觀察速度環(huán)控制器的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)表達(dá)式，發(fā)現(xiàn)在ω=Ki處存在一個(gè)零點(diǎn)，記為Z1；在ω=0處存在兩個(gè)極點(diǎn)，分別記為P1、P2；在ω=ωf處存在一個(gè)極點(diǎn)，記為P3，在ω=ωc處存在一個(gè)極點(diǎn)，記為P4，該系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)。根據(jù)零點(diǎn)和極點(diǎn)位置分布情況的不同，系統(tǒng)的工作狀態(tài)及Bode圖圖像也會(huì)不同，這里假設(shè)電流環(huán)的帶寬總是大于速度濾波器的帶寬，即極點(diǎn)P4處的頻率大于極點(diǎn)P3處的頻率，總共會(huì)有以下三種可能情況：

1）零點(diǎn)Z1處頻率低于極點(diǎn)P3處頻率；

2）零點(diǎn)Z1處頻率介于極點(diǎn)P3以及極點(diǎn)P4處頻率中間；

3）零點(diǎn)Z1處頻率大于極點(diǎn)P4處頻率。

對(duì)于情況一，其Bode圖趨勢(shì)大致如圖3所示，通過(guò)分析可知，當(dāng)零點(diǎn)Z1處頻率低于極點(diǎn)P3處頻率時(shí)，由于交接頻率ω=Ki處微分環(huán)節(jié)的作用，相頻特性曲線從-180°開(kāi)始表現(xiàn)為上升的趨勢(shì)，之后又由于兩個(gè)慣性環(huán)節(jié)的作用，曲線開(kāi)始慢慢下降，因此存在一個(gè)極大值點(diǎn)，只要增益設(shè)置得當(dāng)，就可以得到充足的相角裕度來(lái)保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，一旦增益設(shè)置的太大或太小，系統(tǒng)工作都將會(huì)不穩(wěn)定。

圖3 零點(diǎn)Z1處頻率低于極點(diǎn)P3處頻率Bode圖

對(duì)于情況二，其Bode圖趨勢(shì)大致如圖4所示，通過(guò)分析可知，當(dāng)零點(diǎn)Z1處頻率介于極點(diǎn)P3以及極點(diǎn)P4處頻率中間時(shí)，由于交接頻率ω=ωf處慣性環(huán)節(jié)的作用，相頻特性曲線從-180°開(kāi)始便呈現(xiàn)出下降的趨勢(shì)，即便在之后會(huì)因微分環(huán)節(jié)而帶來(lái)曲線走勢(shì)的部分上升，但相角裕度始終小于零，系統(tǒng)呈現(xiàn)出一種不穩(wěn)定的工作狀態(tài)。

圖4 零點(diǎn)Z1處頻率介于極點(diǎn)P3以及極點(diǎn)P4處頻率中間Bode圖

對(duì)于情況三，其Bode圖趨勢(shì)大致如圖5所示，通過(guò)分析可知，當(dāng)零點(diǎn)Z1處頻率大于極點(diǎn)P4處頻率中間時(shí)，和情況二類似，由于交接頻率ω=ωf處慣性環(huán)節(jié)的作用，相頻特性曲線從-180°開(kāi)始便呈現(xiàn)出一種下降的趨勢(shì)，最后經(jīng)過(guò)微分環(huán)節(jié)作用曲線開(kāi)始上升，并最終趨于-270°，因此該曲線存在一個(gè)極小值點(diǎn)，由于相角裕度始終小于零，系統(tǒng)呈現(xiàn)出一種不穩(wěn)定的工作狀態(tài)。

三種情況中，只有情況一系統(tǒng)可以穩(wěn)定工作。

圖5 零點(diǎn)Z1處頻率大于極點(diǎn)P4處頻Bode圖

相角裕度值的大小決定了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，對(duì)于PI控制器的調(diào)試，通常要求增益穿越頻率處于開(kāi)環(huán)相位的峰值附近[10]，由于電流環(huán)帶寬一般遠(yuǎn)大于濾波器的帶寬，因此在進(jìn)行穩(wěn)定性分析時(shí)，可考慮忽略極點(diǎn)P4所帶來(lái)的影響，因此速度環(huán)控制器的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)可簡(jiǎn)化為：

為了滿足使增益穿越頻率處于開(kāi)環(huán)相位的峰值附近這一設(shè)計(jì)條件，現(xiàn)假設(shè)零點(diǎn)Z1處頻率和極點(diǎn)P3處頻率關(guān)系為：

則有：

由于微分環(huán)節(jié)和慣性環(huán)節(jié)的相頻特性分別為arctanTω和-arctanTω，對(duì)于速度環(huán)控制器，其簡(jiǎn)化過(guò)后的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的相頻特性曲線可表示為：

解得：

故速度環(huán)控制器的增益穿越頻率的位置應(yīng)處于Bode圖中零點(diǎn)Z1處頻率所在位置和極點(diǎn)P3處頻率所在位置的中間，因?yàn)樵鲆娲┰筋l率處的增益為單位增益，故有：

通過(guò)對(duì)式(17)求解，可得：

將式(16)所解得的ω代入式(14)，可得相角裕度為：

上述過(guò)程中求得的Kp，Ki即為整定參數(shù)，這兩個(gè)參數(shù)的適用條件為電流環(huán)帶寬遠(yuǎn)大于濾波器的帶寬，一般為5倍或者5倍以上頻率。將整定得到的參數(shù)代入速度環(huán)控制器的傳遞函數(shù)，得到整定后控制器Bode圖如圖6所示，此時(shí)相角裕度為極大值。

通過(guò)對(duì)式(20)分析可知，隨著τ取值的不斷增大，相角裕度的極大值也會(huì)隨之增大，即系統(tǒng)的穩(wěn)定性也會(huì)隨之加強(qiáng)。

圖6 整定后的速度環(huán)控制器Bode圖

3 仿真與實(shí)驗(yàn)分析

采用Maxon的EC-i 40系列449464型號(hào)電機(jī)作為被控對(duì)象，該款電機(jī)的特性如表1所示。

表1 電機(jī)特性參數(shù)

在Simulink中搭建速度環(huán)控制器系統(tǒng)，模型系統(tǒng)按照?qǐng)D2所示的速度環(huán)控制器來(lái)搭建，如圖7所示。搭建的如圖8所示的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，按圖中所示編號(hào)順序依次為1號(hào)：DSP控制板，2號(hào)：開(kāi)關(guān)電源，3號(hào)：電機(jī)驅(qū)動(dòng)板，4號(hào)：Maxon電機(jī)。

實(shí)驗(yàn)中選擇電流環(huán)的帶寬和濾波器的帶寬分別為3000Hz和500Hz，為了展示控制效果，分別進(jìn)行在相同負(fù)載情況下選取不同τ值以及在相同τ值情況下選取不同負(fù)載一共兩組參數(shù)整定仿真和實(shí)驗(yàn)。

3.1 相同負(fù)載情況下的參數(shù)整定

選用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為100gcm2的負(fù)載，并選用τ值為5，10，20進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，整定得到的參數(shù)如表2所示。

表2 100gcm2負(fù)載下不同τ取值下的整定參數(shù)

圖7 Simulink中搭建的速度環(huán)控制器

圖8 速度環(huán)控制器實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

通過(guò)Simulink仿真和實(shí)驗(yàn)所得到的速度階躍波形分別如圖9(a)和圖9(b)所示，其中，藍(lán)色曲線為τ=5時(shí)的響應(yīng)曲線，紅色曲線為τ=10時(shí)的響應(yīng)曲線，綠色曲線為τ=20時(shí)的響應(yīng)曲線。通過(guò)對(duì)圖像的分析可知，無(wú)論是用仿真還是實(shí)驗(yàn)，所得到的階躍響應(yīng)波形均具有如下特性：

1）隨著τ值的增加，系統(tǒng)的超調(diào)量會(huì)隨之減??；

2）隨著τ值的增加，系統(tǒng)的上升時(shí)間隨之增大。

從這兩個(gè)特性中可以看出，即隨著τ取值的不斷增加，系統(tǒng)的相角裕度會(huì)增大，因此系統(tǒng)的穩(wěn)定性就得到了提高，但相應(yīng)的系統(tǒng)的響應(yīng)速度會(huì)有一些下降，這與最初的分析相符。

圖9 速度階躍波形

3.2 相同τ值情況下的參數(shù)整定

選用τ值為20，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為100gcm2和500gcm2的負(fù)載進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，整定得到的參數(shù)如表3所示。

表3 τ值為20下不同負(fù)載的整定參數(shù)

通過(guò)Simulink仿真和實(shí)驗(yàn)所得到的速度階躍波形分別如圖10(a)和圖10(b)所示，其中，紅色曲線為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為100gcm2的響應(yīng)曲線，藍(lán)色曲線為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為500gcm2的響應(yīng)曲線，通過(guò)觀察曲線可知，當(dāng)負(fù)載加大時(shí)，系統(tǒng)的上升時(shí)間變長(zhǎng)，即系統(tǒng)的響應(yīng)速度變慢，如果想要提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度，可以適當(dāng)?shù)臏p小τ的取值以此來(lái)提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度，不過(guò)這樣會(huì)犧牲部分系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

圖10 速度階躍波形

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種基于速度環(huán)控制器結(jié)構(gòu)模型，采用頻率響應(yīng)的設(shè)計(jì)方法來(lái)對(duì)PMSM伺服系統(tǒng)的速度環(huán)控制器參數(shù)進(jìn)行整定的方法，通過(guò)對(duì)速度環(huán)控制器傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)分布情況的不同，討論了可使系統(tǒng)工作穩(wěn)定的零點(diǎn)和極點(diǎn)的分布情況，并依據(jù)使系統(tǒng)相角裕度最大的設(shè)計(jì)原則對(duì)速度環(huán)控制器的參數(shù)進(jìn)行了設(shè)計(jì)和整定。仿真和實(shí)驗(yàn)表明，采用這套方法所整定的控制器參數(shù)具有可靠性高、響應(yīng)快的特點(diǎn)，對(duì)于電機(jī)轉(zhuǎn)速具有良好的控制效果，在實(shí)際工程應(yīng)用中具有一定的應(yīng)用價(jià)值。