多關(guān)節(jié)機械臂軌跡跟蹤自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑?？刂?/h1>
2018-12-28 04:41:52張愛華
自動化儀表 2018年12期
錢 前，張愛華
(上海工程技術(shù)大學(xué)機械與汽車工程學(xué)院，上海 201620)
0 引言
機械臂控制系統(tǒng)具有強耦合性和復(fù)雜的非線性，系統(tǒng)中存在的不確定干擾和建模誤差會降低控制性能。傳統(tǒng)的控制方法難以保證控制效果和控制精度[1-2]。滑?？刂仆ㄟ^控制量的切換，使系統(tǒng)狀態(tài)能夠沿著滑模面運動，具有對外部擾動以及參數(shù)變化的高度適應(yīng)等優(yōu)點。徑向基函數(shù)(radial basis function,RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制具有對任意不確定非線性函數(shù)逼近的優(yōu)點。因此，具有強魯棒性滑?？刂婆c神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制相結(jié)合的方法廣泛應(yīng)用于機械臂控制系統(tǒng)[3-10]。
本文提出一種自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑?？刂品椒?，對滑?？刂铺砑又笖?shù)趨近律，并使用RBF網(wǎng)絡(luò)逼近不確定項。為了更好地削弱因誤差而引起的抖振、提高系統(tǒng)魯棒性，添加了一個神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近誤差自適應(yīng)補償控制項。采用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論證明系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并通過仿真驗證了該方法的有效性。
1 多關(guān)節(jié)機械臂數(shù)學(xué)模型
對于n關(guān)節(jié)的機械臂，考慮外界擾動和建模誤差影響，并利用拉格朗日方程建立機械臂數(shù)學(xué)模型[11-12]：
(1)
(2)
2 自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑模控制器
2.1 滑?？刂破?/h3>
n關(guān)節(jié)機械臂系統(tǒng)的跟蹤誤差表示為：
(3)
設(shè)計滑模面：
(4)
式中：Λ=diag{λ1,λ2,…,λn}，λ1,λ2,…,λn>0。
對式(4)求微分：
(5)
設(shè)計控制變量：
(6)
為滑模添加指數(shù)趨近律，令：
(7)
式中：η>0;k>0。
根據(jù)等價控制設(shè)計控制器：
u(t)=u1+u2
(8)
(9)
將式(6)、式(7)和式(8)代入式(5)，得到：
(10)
選擇李雅普諾夫函數(shù)：
(11)
對其求微分，并代入式(10),得到：
(12)
根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論可知，系統(tǒng)是全局穩(wěn)定的。
2.2 自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑?？刂破?/h3>
(13)
(14)
式中：φ(x)=[φ1,φ2,…,φn] 為高斯基函數(shù)的輸出；g(x)=exp(-x)為高斯基函數(shù)；ci、σi為高斯基函數(shù)的中心值和基寬；θ為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值。
定義ζ為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近存在誤差，則有：
(15)
設(shè)計神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值的自適應(yīng)律,為:
(16)
式中：?！蔙n×n為調(diào)整系數(shù)。
由于此處存在學(xué)習(xí)誤差，特別當(dāng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)點較少時會出現(xiàn)較大誤差，故重新設(shè)計自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑?？刂坡蔀閡=u1+u2+u3。
(17)
式中：u3為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近誤差的自適應(yīng)補償控制項。
(18)
對RBF網(wǎng)絡(luò)逼近時,作以下合理假設(shè)。
假設(shè)1 RBF網(wǎng)絡(luò)逼近存在一個最優(yōu)權(quán)值θ*，使：
ρ(t)=θ*Tφ(x)+ε
(19)
假設(shè)2 RBF網(wǎng)絡(luò)的輸出是連續(xù)的，并且存在一個特別小的實數(shù)ε0，使式(20)成立：
(20)
3 穩(wěn)定性分析
定義理想的逼近權(quán)值為θ*，有:
(21)
選擇RBF網(wǎng)絡(luò)理想逼近誤差,為：
ρ(t)-ρ(x,θ*)=w*
(22)
最佳逼近權(quán)值與實時權(quán)值誤差為：
(23)
補償誤差的自適應(yīng)控制器的誤差為：
(24)
選擇李雅普諾夫函數(shù)為：
(25)
求微分可得：
(26)
4 仿真研究
(27)
(28)
(29)
RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)采用5個輸入單元、7個中間單元、2個輸出單元的結(jié)構(gòu)。其中：基寬b=2,c=[-3 -2 -1 0 1 2 3] ，自適應(yīng)調(diào)節(jié)矩陣為Γ=diag{5,5}?？刂破髦袇?shù)如下：η=0.8,k=diag(50,50),rw=1。設(shè)定仿真時間為10 s，仿真步長為0.01 s，進(jìn)行相關(guān)仿真。
圖1與圖2為無擾動的雙關(guān)節(jié)軌跡跟蹤與角速度跟蹤圖。從圖2可以看出，系統(tǒng)能以一定速度收斂到平衡點，大大削弱因干擾而引起的抖振，同時能實現(xiàn)良好的軌跡跟蹤與角速度跟蹤。
圖1 雙關(guān)節(jié)軌跡跟蹤圖(無外部擾動)
圖2 雙關(guān)節(jié)角速度跟蹤圖(無外部擾動)
圖3為無擾動的雙關(guān)節(jié)控制力矩圖。從圖3可看出，系統(tǒng)對關(guān)節(jié)的控制力矩平穩(wěn)，幾乎無抖振，可避免機器因抖振而損壞。
圖3 雙關(guān)節(jié)控制力矩圖(無外部擾動)
圖4與圖5為加強外部擾動情況下的雙關(guān)節(jié)軌跡跟蹤與角速度跟蹤圖。從圖4和圖5可以看出，系統(tǒng)在加強外部擾動情況下，仍可保持良好平穩(wěn)的軌跡跟蹤與角速度跟蹤。
圖4 雙關(guān)節(jié)軌跡跟蹤圖(有外部擾動)
圖6為加強外部擾動情況下雙關(guān)節(jié)的控制力矩圖。從圖6可以看出系統(tǒng)對關(guān)節(jié)的控制力矩仍然保持平穩(wěn)，雖在3.5～4 s之間出現(xiàn)輕微抖振現(xiàn)象，但可通過本文提出的控制方法進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)節(jié)，達(dá)到良好的抑制效果。
圖5 雙關(guān)節(jié)角速度跟蹤圖(有外部擾動)
圖6 雙關(guān)節(jié)控制力矩圖(有外部擾動)
5 結(jié)束語
本文提出了一種自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑?？刂扑惴?，可解決存在不確定性和系統(tǒng)建模誤差的多關(guān)節(jié)機械臂跟蹤控制問題。通過自適應(yīng)項改進(jìn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對不確定項ρ(t)的逼近效果，并引入指數(shù)趨近率，改善了控制器的響應(yīng)速度；通過李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，證明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性；通過調(diào)節(jié)參數(shù)，保證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。MATLAB仿真試驗表明，當(dāng)外部擾動變大時，控制算法可以實現(xiàn)對期望軌跡的穩(wěn)定跟蹤，具有較好穩(wěn)定性與魯棒性。
錢 前，張愛華
(上海工程技術(shù)大學(xué)機械與汽車工程學(xué)院，上海 201620)
0 引言
機械臂控制系統(tǒng)具有強耦合性和復(fù)雜的非線性，系統(tǒng)中存在的不確定干擾和建模誤差會降低控制性能。傳統(tǒng)的控制方法難以保證控制效果和控制精度[1-2]。滑?？刂仆ㄟ^控制量的切換，使系統(tǒng)狀態(tài)能夠沿著滑模面運動，具有對外部擾動以及參數(shù)變化的高度適應(yīng)等優(yōu)點。徑向基函數(shù)(radial basis function,RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制具有對任意不確定非線性函數(shù)逼近的優(yōu)點。因此，具有強魯棒性滑?？刂婆c神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制相結(jié)合的方法廣泛應(yīng)用于機械臂控制系統(tǒng)[3-10]。
本文提出一種自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑?？刂品椒?，對滑?？刂铺砑又笖?shù)趨近律，并使用RBF網(wǎng)絡(luò)逼近不確定項。為了更好地削弱因誤差而引起的抖振、提高系統(tǒng)魯棒性，添加了一個神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近誤差自適應(yīng)補償控制項。采用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論證明系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并通過仿真驗證了該方法的有效性。
1 多關(guān)節(jié)機械臂數(shù)學(xué)模型
對于n關(guān)節(jié)的機械臂，考慮外界擾動和建模誤差影響，并利用拉格朗日方程建立機械臂數(shù)學(xué)模型[11-12]：
(1)
(2)
2 自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑模控制器
2.1 滑?？刂破?/h3>
n關(guān)節(jié)機械臂系統(tǒng)的跟蹤誤差表示為：
(3)
設(shè)計滑模面：
(4)
式中：Λ=diag{λ1,λ2,…,λn}，λ1,λ2,…,λn>0。
對式(4)求微分：
(5)
設(shè)計控制變量：
(6)
為滑模添加指數(shù)趨近律，令：
(7)
式中：η>0;k>0。
根據(jù)等價控制設(shè)計控制器：
u(t)=u1+u2
(8)
(9)
將式(6)、式(7)和式(8)代入式(5)，得到：
(10)
選擇李雅普諾夫函數(shù)：
(11)
對其求微分，并代入式(10),得到：
(12)
根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論可知，系統(tǒng)是全局穩(wěn)定的。
2.2 自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑?？刂破?/h3>
(13)
(14)
式中：φ(x)=[φ1,φ2,…,φn] 為高斯基函數(shù)的輸出；g(x)=exp(-x)為高斯基函數(shù)；ci、σi為高斯基函數(shù)的中心值和基寬；θ為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值。
定義ζ為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近存在誤差，則有：
(15)
設(shè)計神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值的自適應(yīng)律,為:
(16)
式中：?！蔙n×n為調(diào)整系數(shù)。
由于此處存在學(xué)習(xí)誤差，特別當(dāng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)點較少時會出現(xiàn)較大誤差，故重新設(shè)計自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑?？刂坡蔀閡=u1+u2+u3。
(17)
式中：u3為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近誤差的自適應(yīng)補償控制項。
(18)
對RBF網(wǎng)絡(luò)逼近時,作以下合理假設(shè)。
假設(shè)1 RBF網(wǎng)絡(luò)逼近存在一個最優(yōu)權(quán)值θ*，使：
ρ(t)=θ*Tφ(x)+ε
(19)
假設(shè)2 RBF網(wǎng)絡(luò)的輸出是連續(xù)的，并且存在一個特別小的實數(shù)ε0，使式(20)成立：
(20)
3 穩(wěn)定性分析
定義理想的逼近權(quán)值為θ*，有:
(21)
選擇RBF網(wǎng)絡(luò)理想逼近誤差,為：
ρ(t)-ρ(x,θ*)=w*
(22)
最佳逼近權(quán)值與實時權(quán)值誤差為：
(23)
補償誤差的自適應(yīng)控制器的誤差為：
(24)
選擇李雅普諾夫函數(shù)為：
(25)
求微分可得：
(26)
4 仿真研究
(27)
(28)
(29)
RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)采用5個輸入單元、7個中間單元、2個輸出單元的結(jié)構(gòu)。其中：基寬b=2,c=[-3 -2 -1 0 1 2 3] ，自適應(yīng)調(diào)節(jié)矩陣為Γ=diag{5,5}?？刂破髦袇?shù)如下：η=0.8,k=diag(50,50),rw=1。設(shè)定仿真時間為10 s，仿真步長為0.01 s，進(jìn)行相關(guān)仿真。
圖1與圖2為無擾動的雙關(guān)節(jié)軌跡跟蹤與角速度跟蹤圖。從圖2可以看出，系統(tǒng)能以一定速度收斂到平衡點，大大削弱因干擾而引起的抖振，同時能實現(xiàn)良好的軌跡跟蹤與角速度跟蹤。
圖1 雙關(guān)節(jié)軌跡跟蹤圖(無外部擾動)
圖2 雙關(guān)節(jié)角速度跟蹤圖(無外部擾動)
圖3為無擾動的雙關(guān)節(jié)控制力矩圖。從圖3可看出，系統(tǒng)對關(guān)節(jié)的控制力矩平穩(wěn)，幾乎無抖振，可避免機器因抖振而損壞。
圖3 雙關(guān)節(jié)控制力矩圖(無外部擾動)
圖4與圖5為加強外部擾動情況下的雙關(guān)節(jié)軌跡跟蹤與角速度跟蹤圖。從圖4和圖5可以看出，系統(tǒng)在加強外部擾動情況下，仍可保持良好平穩(wěn)的軌跡跟蹤與角速度跟蹤。
圖4 雙關(guān)節(jié)軌跡跟蹤圖(有外部擾動)
圖6為加強外部擾動情況下雙關(guān)節(jié)的控制力矩圖。從圖6可以看出系統(tǒng)對關(guān)節(jié)的控制力矩仍然保持平穩(wěn)，雖在3.5～4 s之間出現(xiàn)輕微抖振現(xiàn)象，但可通過本文提出的控制方法進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)節(jié)，達(dá)到良好的抑制效果。
圖5 雙關(guān)節(jié)角速度跟蹤圖(有外部擾動)
圖6 雙關(guān)節(jié)控制力矩圖(有外部擾動)
5 結(jié)束語
本文提出了一種自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑?？刂扑惴?，可解決存在不確定性和系統(tǒng)建模誤差的多關(guān)節(jié)機械臂跟蹤控制問題。通過自適應(yīng)項改進(jìn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對不確定項ρ(t)的逼近效果，并引入指數(shù)趨近率，改善了控制器的響應(yīng)速度；通過李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，證明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性；通過調(diào)節(jié)參數(shù)，保證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。MATLAB仿真試驗表明，當(dāng)外部擾動變大時，控制算法可以實現(xiàn)對期望軌跡的穩(wěn)定跟蹤，具有較好穩(wěn)定性與魯棒性。
